3 نظم المعادلات الخطية وكيفية حلها

ال المعادلات الخطية هم معادلات متعددة الحدود مع واحد أو عدة مجهولين. في هذه الحالة ، لا يتم رفع المجهول إلى الصلاحيات ، ولا يتم تكاثرها فيما بينها (في هذه الحالة يقال إن المعادلة من الدرجة 1 أو من الدرجة الأولى).

المعادلة هي عبارة عن مساواة رياضية حيث يوجد عنصر أو أكثر من عنصر غير معروف نسميه مجهولة أو غير معروفة في حالة وجود أكثر من عنصر. لحل هذه المعادلة ، من الضروري معرفة قيمة المجهولين.

المعادلة الخطية لها البنية التالية:

إلى₀· 1 + أ₁العاشر₁+ إلى₂العاشر₂+... +_نالعاشر_ن= ب

إلى أين₀, إلى₁, إلى₂,..._ن هي أرقام حقيقية نعرف قيمتها وتُسمى المعاملات ، ب هو أيضًا رقم حقيقي معروف يُطلق عليه مصطلح مستقل. وأخيرا هم X₁, X_2,... ، العاشر_ن وهي ما يعرف باسم المجهول. هذه هي المتغيرات التي تكون قيمتها غير معروفة.

نظام المعادلات الخطية هو مجموعة من المعادلات الخطية حيث تكون قيمة المجهول هي نفسها في كل معادلة.

من الناحية المنطقية ، فإن طريقة حل نظام المعادلات الخطية هي تعيين القيم إلى المجهولين ، بحيث يمكن التحقق من المساواة. وهذا يعني ، يجب حساب المجهولين بحيث يتم استيفاء جميع معادلات النظام في وقت واحد. نحن نمثل نظام المعادلات الخطية على النحو التالي

إلى₀· 1 + أ₁العاشر₁ + إلى₂العاشر₂ +... +_نالعاشر_ن = أ_{ن + 1}

ب₀· 1 + ب₁العاشر₁ + ب₂العاشر₂ +... + ب_نالعاشر_ن = ب_{ن + 1}

ج₀· 1 + ج₁العاشر₁ + ج₂العاشر₂ +... + ج_نالعاشر_ن = ج_{ن + 1}

... .

د₀· 1 + د₁العاشر₁ + د₂العاشر₂ +... + د_نالعاشر_ن = د_{ن + 1}

 حيث أ_0, إلى₁,..._ن,ب₀,ب₁,... ، ب_ن ,ج₀ ,ج₁,... ، ج_ن الخ لنا الأعداد الحقيقية والمجهول لحل هي X₀,... ، العاشر_ن ,X_{ن + 1}.

تمثل كل معادلة خطية خطًا وبالتالي يمثل نظام معادلات N المعادلات الخطية N رسمًا مستقيمًا في الفضاء.

اعتمادًا على عدد المجهولين في كل معادلة خطية ، سيتم تمثيل الخط الذي يمثل المعادلة المذكورة في بعد مختلف ، أي معادلة مع مجهولين (على سبيل المثال ، 2 · X₁ + X₂ = 0) يمثل خطًا في مساحة ثنائية الأبعاد ، معادلة مع ثلاثة مجهولة (على سبيل المثال 2 · X₁ + X₂ - 5 · س₃ = 10) سيتم تمثيلها في مساحة ثلاثية الأبعاد وما إلى ذلك.

عند حل نظام المعادلات ، فإن قيم X₀,... ، العاشر_ن ,X_{ن + 1} يحدث أن تكون نقطة قطع بين السطور.

من خلال حل نظام المعادلات ، يمكننا الوصول إلى استنتاجات مختلفة. اعتمادًا على نوع النتيجة التي نحصل عليها ، يمكننا التمييز بين 3 أنواع من أنظمة المعادلات الخطية:

1- تحديد غير محدد

على الرغم من أنها قد تبدو مزحة ، إلا أنه عند محاولة حل نظام المعادلات ، سنصل إلى وضوح الأسلوب 0 = 0.

يحدث هذا النوع من المواقف عندما تكون هناك حلول لا نهائية لنظام المعادلات ، ويحدث هذا عندما يتبين أن المعادلات في نظامنا للمعادلات تمثل نفس الخط. يمكننا أن نرى ذلك بيانيا:

كنظام للمعادلات نأخذ:

من خلال وجود معادلتين مجهولتين لحلها يمكننا تمثيل الخطوط في طائرة ثنائية الأبعاد

كما يمكننا أن نرى الخطوط التي لها نفس ، وبالتالي فإن جميع نقاط المعادلة الأولى تتوافق مع نقاط المعادلة الثانية ، وبالتالي فإن لديها العديد من نقاط القطع مثل النقاط الموجودة في السطر ، أي اللانهاية.

2 - غير متوافق

عند قراءة الاسم ، يمكننا أن نتخيل أن نظام المعادلات التالي لن يكون لديه حل.

إذا حاولنا حل ، على سبيل المثال ، هذا نظام المعادلات

بيانيا سيكون:

إذا ضاعفنا كل مصطلحات المعادلة الثانية ، فسنحصل على X + Y = 1 تساوي 2 · X + 2 · Y = 2. وإذا تم طرح هذا التعبير الأخير من المعادلة الأولى ، نحصل عليها

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

أو ما هو نفسه

0 = 1

عندما نكون في هذا الموقف ، فهذا يعني أن الخطوط الممثلة في نظام المعادلات متوازية ، مما يعني أنه ، بحكم التعريف ، لا يتم قطعها ولا توجد نقطة قطع. عندما يتم تقديم نظام بهذه الطريقة يقال أنه غير متسق.

3- الدعم المحدد

أخيرًا ، وصلنا إلى الحالة التي يكون فيها نظام المعادلات الخاص بنا حلاً وحيدًا ، وهو الحالة التي لدينا فيها خطوط تتقاطع وتولد نقطة تقاطع. دعنا نرى مثالا:

لحلها ، يمكننا إضافة المعادلتين حتى نحصل عليه

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

إذا تبسيطنا فقد تركنا

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

التي نستنتج منها بسهولة X = 2 والاستعاضة عنها أو X = 2 في أي من المعادلات الأصلية التي نحصل عليها Y = 3.

بصريا سيكون:

طرق حل نظم المعادلات الخطية

كما رأينا في القسم السابق ، بالنسبة للأنظمة ذات مجهولين ومعادلتين ، استنادًا إلى عمليات بسيطة مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة والاستبدال ، يمكننا حلها في غضون دقائق. ولكن إذا حاولنا تطبيق هذه المنهجية على الأنظمة التي تحتوي على مزيد من المعادلات والمزيد من المجهول ، فإن الحسابات تصبح مملة ويمكننا أن نخطئ بسهولة.

لتبسيط العمليات الحسابية ، هناك عدة طرق للقرار ، ولكن مما لا شك فيه أن أكثر الطرق انتشارًا هي حكم Cramer والقضاء على Gauss-Jordan..

طريقة كريمر

من أجل شرح كيفية تطبيق هذه الطريقة ، من الضروري معرفة ما هي المصفوفة الخاصة بها ومعرفة كيفية العثور على محددها ، دعنا نجعل قوسين لتحديد هذين المفهومين.

ل قالب ليس أكثر من مجموعة من الأرقام أو الرموز الجبرية الموضوعة في خطوط أفقية وعمودية وترتيبها على شكل مستطيل. بالنسبة إلى موضوعنا ، سوف نستخدم المصفوفة كوسيلة أكثر بساطة للتعبير عن نظام المعادلات لدينا.

دعنا نرى مثالا:

سيكون نظام المعادلات الخطية

هذا النظام البسيط للمعادلات الذي يمكننا تلخيصه هو تشغيل مصفوفة 2 × 2 والتي تؤدي إلى مصفوفة 2 × 1.

المصفوفة الأولى تتوافق مع جميع المعاملات ، المصفوفة الثانية هي المجهول لحلها والمصفوفة الموجودة بعد المساواة يتم تحديدها مع الشروط المستقلة للمعادلات

ال مقرر هي عملية يتم تطبيقها على مصفوفة تكون نتيجتها عددًا حقيقيًا.

في حالة المصفوفة التي وجدناها في مثالنا السابق ، سيكون محددها هو:

بمجرد تحديد مفاهيم المصفوفة والعامل المحدد ، يمكننا توضيح ماهية طريقة Cramer.

من خلال هذه الطريقة ، يمكننا بسهولة حل نظام المعادلات الخطية طالما أن النظام لا يتجاوز المعادلات الثلاث مع ثلاثة مجهولين لأن حساب محددات المصفوفة صعب للغاية بالنسبة للمصفوفات التي تبلغ 4 × 4 أو أعلى. في حالة وجود نظام يحتوي على أكثر من ثلاث معادلات خطية ، يوصى باستخدام طريقة إزالة Gauss-Jordan.

بالاستمرار في المثال السابق ، عن طريق Cramer ، علينا ببساطة حساب اثنين من المحددات ومعه سنجد قيمة المجهولين لدينا.

لدينا نظامنا:

ولدينا نظام يمثله المصفوفات:

تم العثور على قيمة X:

ببساطة في حساب المحدد الموجود في قاسم التقسيم ، استبدلنا البلدية الأولى بمصفوفة المصطلحات المستقلة. وفي قاسم التقسيم ، لدينا محددات المصفوفة الأصلية.

إجراء نفس الحسابات للعثور على Y نحصل عليها:

القضاء على غاوس الأردن

نحن نحدد المصفوفة الموسعة إلى المصفوفة التي تنتج عن نظام المعادلات حيث نضيف المصطلحات المستقلة في نهاية المصفوفة.

تتكون الطريقة من خلال إزالة Gauss-Jordan ، عن طريق العمليات بين صفوف المصفوفة ، من تحويل المصفوفة الممتدة الخاصة بنا إلى مصفوفة أبسط كثيرًا حيث لدي أصفار في جميع الحقول باستثناء المائل ، حيث يجب أن أحصل على بعض. على النحو التالي:

حيث سيكون X و Y أرقامًا حقيقية تتوافق مع مجهول لدينا.

لنحل هذا النظام من خلال القضاء على Gauss-Jordan:

لقد تمكنا بالفعل من الحصول على صفر في الجزء السفلي الأيسر من المصفوفة ، والخطوة التالية هي الحصول على صفر في الجزء العلوي الأيمن منه.

لقد حققنا صفرًا في الجزء العلوي الأيسر من المصفوفة ، والآن يتعين علينا فقط تحويل المائلة إلى أخرى وقمنا بالفعل بحل نظامنا بواسطة Gauss-Jordan.

لذلك توصلنا إلى استنتاج أن:

مراجع

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. نظم المعادلات الخطية (بدون تاريخ). تعافى من uco.es.
4. نظم المعادلات الخطية. الفصل 7. (غير مؤرخ). تم الاسترجاع من sauce.pntic.mec.es.
5. الجبر الخطي والهندسة (2010/2011). نظم المعادلات الخطية. الفصل 1. قسم الجبر. جامعة إشبيلية. اسبانيا. تعافى من algebra.us.es.