معادلات متعددة الحدود (مع تمارين حل)

ال معادلات متعددة الحدود هي عبارة تثير المساواة بين تعبيرين أو أعضاء ، حيث واحد على الأقل من المصطلحات التي تشكل كل جانب من جوانب المساواة هي متعددو الحدود P (x). تتم تسمية هذه المعادلات وفقا لدرجة المتغيرات الخاصة بهم.

بشكل عام ، المعادلة عبارة عن بيان يحدد المساواة بين تعبيرين ، حيث يوجد في واحد على الأقل من هذه الكميات كميات غير معروفة ، تسمى المتغيرات أو غير المعروفة. على الرغم من وجود العديد من أنواع المعادلات ، إلا أنها تصنف عمومًا إلى نوعين: جبري ومتسامي.

تحتوي المعادلات متعددة الحدود فقط على تعبيرات جبرية ، والتي قد يكون لها واحد أو أكثر من المجهولين المشاركين في المعادلة. وفقًا للأسس (الدرجة) ، يمكن تصنيفها إلى: الدرجة الأولى (الخطية) ، الدرجة الثانية (التربيعية) ، الدرجة الثالثة (المكعبة) ، الدرجة الرابعة (التربيعية) ، أكبر من أو تساوي خمسة وغير منطقية.

مؤشر

• 1 الخصائص
• 2 أنواع
  • 2.1 الصف الأول
  • 2.2 الدرجة الثانية
  • 2.3 محلل
  • 2.4 درجة أعلى
• 3 تمارين حلها
  • 3.1 التمرين الأول
  • 3.2 التمرين الثاني
• 4 المراجع

ملامح

معادلات كثير الحدود هي تعبيرات يتم تشكيلها عن طريق المساواة بين متعددو الحدود. أي بمبالغ محدودة من الضرب بين القيم غير المعروفة (المتغيرات) والأرقام الثابتة (المعاملات) ، حيث يمكن أن يكون للمتغيرات أس ، ويمكن أن تكون قيمتها عددًا صحيحًا موجبًا ، بما في ذلك الصفر.

تحديد الأسس درجة أو نوع المعادلة. هذا التعبير من التعبير الذي له أعلى قيمة سيمثل الدرجة المطلقة من كثير الحدود.

تُعرف المعادلات متعددة الحدود أيضًا باسم المعادلات الجبرية ، ويمكن أن تكون معاملاتها أرقامًا حقيقية أو معقدة ، وتكون المتغيرات أرقامًا غير معروفة ممثلة بحرف ، مثل: "x".

إذا استبدلت قيمة المتغير "x" في P (x) كانت النتيجة تساوي الصفر (0) ، يُقال إن هذه القيمة تلبي المعادلة (هي حل) ، وتسمى عمومًا جذر متعدد الحدود.

عندما يتم تطوير معادلة متعددة الحدود ، فأنت تريد أن تجد كل الجذور أو الحلول.

نوع

هناك عدة أنواع من المعادلات متعددة الحدود ، والتي تختلف وفقًا لعدد المتغيرات ، وأيضًا وفقًا لدرجة الأس.

وهكذا ، فإن المعادلات متعددة الحدود - حيث يكون المصطلح الأول متعدد الحدود مع واحد غير معروف ، مع الأخذ في الاعتبار أن شهادته يمكن أن تكون أي عدد طبيعي (n) والمدة الثانية هي صفر- ، يمكن التعبير عنها على النحو التالي:

إلى_{ن *} س^ن + إلى_{1 *} س^{ن 1} +... +_{1 *} س¹ + إلى_{0 *} س₀ = 0

حيث:

- إلى_ن, إلى_{ن 1} و₀, هم معاملات حقيقية (أرقام).

- إلى_ن الأمر مختلف عن الصفر.

- الأس هو عدد صحيح موجب يمثل درجة المعادلة.

- x هو المتغير أو غير المعروف الذي يجب البحث عنه.

الدرجة المطلقة أو أكبر من معادلة متعددة الحدود هي تلك الأس ذات القيمة الأكبر بين كل تلك التي تشكل متعدد الحدود. بهذه الطريقة ، تصنف المعادلات على النحو التالي:

الصف الاول

معادلات متعددة الحدود من الدرجة الأولى ، والمعروفة أيضًا باسم المعادلات الخطية ، هي المعادلات التي تكون فيها الدرجة (الأس الأكبر) تساوي 1 ، ومتعدد الحدود من الصيغة P (x) = 0؛ وهو يتكون من مصطلح خطي ومصطلح مستقل. هو مكتوب على النحو التالي:

الفأس + ب = 0.

حيث:

- a و b أرقام حقيقية و and 0.

- الفأس هو المصطلح الخطي.

- ب هو المصطلح المستقل.

على سبيل المثال ، المعادلة 13x - 18 = 4x.

لحل المعادلات الخطية ، يجب تمرير كل المصطلحات التي تحتوي على المجهول x إلى جانب واحد من المساواة ، وتلك المصطلحات التي لم يتم نقلها إلى الجانب الآخر ، لمسحها والحصول على حل:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

س = 18 ÷ 9

س = 2.

بهذه الطريقة ، تحتوي المعادلة المحددة على حل واحد أو جذر ، وهو x = 2.

الصف الثاني

معادلات متعددة الحدود من الدرجة الثانية ، والمعروفة أيضًا باسم المعادلات التربيعية ، هي المعادلات التي تكون فيها الدرجة (الأس الأكبر) مساوية 2 ، والمعجم متعدد الحدود من الصيغة P (x) = 0 ، ويتكون من مصطلح تربيعي ، خطي وواحد مستقل. يتم التعبير عنها على النحو التالي:

الفأس² + bx + c = 0.

حيث:

- a و b و c أرقام حقيقية و ≠ 0.

- الفأس² هو المصطلح التربيعي ، و "a" هو معامل المصطلح التربيعي.

- bx هو المصطلح الخطي ، و "b" هو معامل المصطلح الخطي.

- c هو المصطلح المستقل.

resolvente

بشكل عام ، يتم إعطاء حل لهذا النوع من المعادلات عن طريق مسح x من المعادلة ، ويتم تركه على النحو التالي ، والذي يسمى محلل:

هناك ، (ب² - يُطلق على 4ac) تمييز المعادلة ويحدد هذا التعبير عدد الحلول التي يمكن أن تحتوي عليها المعادلة:

- نعم (ب)² - 4ac) = 0 ، سيكون للمعادلة حل واحد مزدوج. وهذا هو ، سيكون لديك حلين متساويين.

- نعم (ب)² - 4ac)> 0 ، ستحتوي المعادلة على حلين حقيقيين مختلفين.

- نعم (ب)² - 4AC) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

على سبيل المثال ، لديك المعادلة 4x² + 10x - 6 = 0 ، لحلها ، حدد أولاً المصطلحات a و b و c ، ثم استبدلها في الصيغة:

أ = 4

ب = 10

ج = -6.

هناك حالات لا تحتوي فيها المعادلات متعددة الحدود من الدرجة الثانية على المصطلحات الثلاثة ، ولهذا السبب يتم حلها بشكل مختلف:

- في حالة عدم وجود معادلة خطية في المعادلات التربيعية (أي ، b = 0) ، سيتم التعبير عن المعادلة على أنها ax² + c = 0. لحلها ، يتم مسح x² ويتم تطبيق الجذور التربيعية في كل عضو ، مع تذكُّر أن العلامتين المحتملتين على أن المجهول يمكن اعتبارهما:

الفأس² + ج = 0.

س² = - ج ÷ أ

على سبيل المثال ، 5 ײ - 20 = 0.

5 ײ = 20

س² = 20 ÷ 5

س = ± √4

س = ± 2

س₁ = 2.

س₂ = -2.

- عندما لا تحتوي المعادلة التربيعية على مصطلح مستقل (على سبيل المثال ، c = 0) ، سيتم التعبير عن المعادلة على أنها فأس² + bx = 0. لحلها ، يجب علينا استخراج العامل المشترك للمجهول x في العضو الأول ؛ نظرًا لأن المعادلة تساوي الصفر ، فمن الصحيح أن واحدًا على الأقل من العوامل سوف يساوي 0:

الفأس² + bx = 0.

س (الفأس + ب) = 0.

بهذه الطريقة ، عليك:

س = 0.

x = -b ÷ a.

على سبيل المثال: لديك المعادلة 5x² + 30x = 0. العامل الأول:

5X² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

يتم إنشاء عاملين هما x و (5x + 30). يعتبر أن أحدهما يساوي الصفر وسيتم إعطاء الحل الآخر:

س₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

س = -30 ÷ 5

س₂ = -6.

درجة كبيرة

المعادلات متعددة الحدود بدرجة أكبر هي المعادلات التي تبدأ من الدرجة الثالثة وما بعده ، والتي يمكن التعبير عنها أو حلها باستخدام المعادلة متعددة الحدود العامة لأي درجة:

إلى_{ن *} س^ن + إلى_{1 *} س^{ن 1} +... +_{1 *} س¹ + إلى_{0 *} س₀ = 0

يتم استخدام هذا لأن معادلة بدرجة أكبر من اثنين هي نتيجة لعامل متعدد الحدود. بمعنى ، يتم التعبير عنها كتضاعف متعدد الحدود من الدرجة الأولى أو أكبر ، ولكن بدون جذور حقيقية.

حل هذا النوع من المعادلات مباشر ، لأن تكاثر عاملين سيكون مساوياً للصفر إذا كان أي من العوامل خاليًا (0) ؛ لذلك ، يجب حل كل معادلة متعددة الحدود وجدت ، مطابقة كل من عواملها إلى الصفر.

على سبيل المثال ، لديك معادلة الدرجة الثالثة (مكعب) ׳ + س² +4x + 4 = 0. لحلها ، يجب اتباع الخطوات التالية:

- تم تجميع المصطلحات:

س³ + س² +4x + 4 = 0

(خ³ + س² ) + (4x + 4) = 0.

- يتم تقسيم الأطراف للحصول على العامل المشترك للمجهول:

س² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(خ² + 4)_*(س + 1) = 0.

- بهذه الطريقة ، يتم الحصول على عاملين ، والذي يجب أن يكون مساوياً للصفر:

(خ² + 4) = 0

(س + 1) = 0.

- يمكن أن نرى أن العامل (س² + 4) = 0 لن يكون له حل حقيقي ، في حين أن العامل (x + 1) = 0 نعم. لذلك ، الحل هو:

(س + 1) = 0

س = -1.

تمارين حلها

حل المعادلات التالية:

التمرين الأول

(2X² + 5)_*(س - 3)_*(1 + س) = 0.

حل

في هذه الحالة ، يتم التعبير عن المعادلة كتعدد الحدود. وهذا هو ، هو في الحسبان. لحلها ، يجب أن يكون كل عامل مساوياً للصفر:

- 2X² + 5 = 0 ، لا يوجد لديه حل.

- س - 3 = 0

- س = 3.

- 1 + س = 0

- س = - 1.

وبالتالي ، تحتوي المعادلة المعطاة على حلين: x = 3 و x = -1.

التمرين الثاني

س⁴ - 36 = 0.

حل

أعطيت كثير الحدود ، والتي يمكن إعادة كتابتها على أنها فرق من المربعات للوصول إلى حل أسرع. وهكذا ، تبقى المعادلة:

(خ² + 6)_*(خ² - 6) = 0.

لإيجاد حل المعادلات ، يكون كلا العاملين مساوياً للصفر:

(خ² + 6) = 0 ، ليس لديه حل.

(خ² - 6) = 0

س² = 6

س = ± √6.

وبالتالي ، تحتوي المعادلة الأولية على حلين:

س = √6.

س = - √6.

مراجع

1. أندريس ، ت. (2010). الأولمبياد الرياضي Tresure. الوثاب. نيويورك.
2. آنجيل ، إيه آر (2007). الجبر الابتدائي بيرسون التعليم,.
3. باير ، ر. (2012). الجبر الخطي والهندسة الإسقاطية. شركة البريد السريع.
4. بالدور ، أ. (1941). الجبر. هافانا: ثقافة.
5. Castaño، H. F. (2005). الرياضيات قبل الحساب. جامعة ميديلين.
6. Cristóbal Sánchez، M. R. (2000). دليل الرياضيات لإعداد الأولمبية. جامعة جاومي الأول.
7. كريملي بيريز ، م. ل. (1984). متفوقة الجبر الأول.
8. ماسارا ، إن. سي. (1995). الرياضيات 3.