طرق العوملة والأمثلة

ال توكيل تجاري هي الطريقة التي يتم من خلالها التعبير عن كثير الحدود في شكل مضاعفة العوامل ، والتي يمكن أن تكون أرقامًا أو حروفًا أو كليهما. لتحديد العوامل المشتركة بين المصطلحات ، يتم تجميعها ، وبهذه الطريقة يتم تحليل كثير الحدود في العديد من الحدود متعددة الحدود..

وهكذا ، عندما تتضاعف العوامل بعضها البعض تكون النتيجة هي متعدد الحدود الأصلي. العوملة هي طريقة مفيدة للغاية عندما يكون لديك تعبيرات جبرية ، لأنه يمكن تحويلها إلى ضرب عدة مصطلحات بسيطة ؛ على سبيل المثال: 2a² + 2ab = 2a _* (أ + ب).

هناك حالات لا يمكن فيها أخذ كثير الحدود في الحسبان لأنه لا يوجد عامل مشترك بين المصطلحات ؛ وبالتالي ، فإن هذه التعبيرات الجبرية قابلة للقسمة فقط بينها وبين 1. على سبيل المثال: x + y + z.

في تعبير جبري ، العامل المشترك هو أكبر مقسوم مشترك للمصطلحات التي يتكون منها.

مؤشر

• 1 طرق العوملة
  • 1.1 العوملة بعامل مشترك
  • 1.2 مثال 1
  • 1.3 مثال 2
  • 1.4 العوملة بالتجميع
  • 1.5 مثال 1
  • 1.6 العوملة عن طريق التفتيش
  • 1.7 مثال 1
  • 1.8 مثال 2
  • 1.9 العوملة مع المنتجات الرائعة
  • 1.10 مثال 1
  • 1.11 مثال 2
  • 1.12 مثال 3
  • 1.13 العوملة مع حكم روفيني
  • 1.14 مثال 1
• 2 المراجع

أساليب العوملة

هناك العديد من أساليب العوملة ، والتي يتم تطبيقها حسب الحالة. بعض هذه ما يلي:

العوملة بعامل مشترك

في هذه الطريقة ، يتم تحديد تلك العوامل الشائعة ؛ وهذا هو ، تلك التي تتكرر في شروط التعبير. ثم يتم تطبيق خاصية التوزيع ، ويتم إزالة الحد الأقصى للقسمة المشتركة وإكمال التجهيز.

بمعنى آخر ، يتم تحديد عامل التعبير المشترك ويتم تقسيم كل مصطلح بينهما ؛ سيتم ضرب المصطلحات الناتجة بواسطة أكبر عامل مشترك للتعبير عن العوامل.

مثال 1

عامل (ب²س) + (ب²ذ).

حل

أولاً ، هناك العامل المشترك لكل مصطلح ، وهو في هذه الحالة ب², ثم يتم تقسيم المصطلحات بين العامل المشترك على النحو التالي:

(ب²س) / ب² = س

(ب²ذ) / ب² = ذ.

يتم التعبير عن العامل ، بضرب العامل المشترك بالمصطلحات الناتجة:

(ب²س) + (ب²ذ) = ب² (س + ص).

مثال 2

عامل (2 أ)²ب³) + (3ab²).

حل

في هذه الحالة ، لدينا عاملان يتكرران في كل مصطلح "أ" و "ب" ، ويتم رفعهما إلى قوة. وللتعامل معها ، يتم تقسيم المصطلحين أولاً إلى شكلهما الطويل:

2_*إلى_*إلى_*ب_*ب_*ب + 3 أ_*ب_*ب

يمكن ملاحظة أن العامل "a" يتكرر مرة واحدة فقط في الفصل الثاني ، ويتكرر العامل "b" مرتين فيه ؛ لذلك في الفصل الأول ، يوجد 2 فقط ، عامل "a" و "b" ؛ بينما في الفصل الثاني لا يوجد سوى 3.

لذلك ، نكتب الأوقات التي يتم فيها تكرار "أ" و "ب" وضربها بالعوامل المتبقية من كل مصطلح ، كما هو موضح في الصورة:

العوملة بالتجميع

بما أنه لا يتم في جميع الحالات التعبير عن الحد الأقصى المقسوم على كثير الحدود بشكل واضح ، فمن الضروري اتخاذ خطوات أخرى لتكون قادرًا على إعادة كتابة كثير الحدود وبالتالي عامل.

إحدى هذه الخطوات هي تجميع شروط كثير الحدود في عدة مجموعات ، ثم استخدام طريقة العامل المشترك.

مثال 1

عامل ac + bc + ad + bd.

حل

هناك 4 عوامل يشترك فيها اثنان: في الفصل الأول يكون "c" والثاني هو "d". بهذه الطريقة يتم تجميع المصطلحين وفصلهما:

(ac + bc) + (ad + bd).

من الممكن الآن تطبيق طريقة العامل المشترك ، بتقسيم كل مصطلح على العامل المشترك ثم ضرب هذا العامل المشترك بالشروط الناتجة ، مثل هذا:

(ac + bc) / c = a + b

(الإعلان + دينار بحريني) / د = أ + ب

ج (أ + ب) + د (أ + ب).

الآن يمكنك الحصول على ذات الحدين الشائع لكلا المصطلحين. لعامل فإنه مضروب في العوامل المتبقية ؛ بهذه الطريقة عليك:

ac + bc + ad + bd =  (ج + د) _* (أ + ب).

العوملة عن طريق التفتيش

تستخدم هذه الطريقة لعوامل متعدّدة الحدود من الدرجة الثانية ، وتسمى أيضًا ثلاثية الحدود. وهذا هو ، تلك التي يتم تنظيمها كما الفأس² ± bx + c ، حيث تختلف قيمة "a" عن 1. تُستخدم هذه الطريقة أيضًا عندما يكون الشكل ثلاثي الحدبة x² ± bx + c وقيمة "a" = 1.

مثال 1

عامل س² + 5x + 6.

حل

لديك ثلاثية من الدرجة الثانية من الشكل س² ± bx + c. للتعامل مع ذلك أولاً ، يجب أن تجد رقمين ، عند ضربهما ، تعطي القيمة "c" (أي ، 6) وأن مجموعها يساوي المعامل "b" ، وهو 5. هذه الأرقام هي 2 و 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

بهذه الطريقة ، يتم تبسيط التعبير مثل هذا:

(خ² + 2x) + (3x + 6)

كل مصطلح في الحسبان:

- ل (س² + 2x) المصطلح الشائع مستخلص: x (x + 2)

- لـ (3x + 6) = 3 (x + 2)

وهكذا ، يبقى التعبير:

x (x +2) + 3 (x +2).

نظرًا لأن لديك حدين مشترك ، لتقليل التعبير اضرب هذا بمصطلحات الفائض وعليك:

س² + 5x + 6 = (× + 2) _* (س + 3).

مثال 2

العامل 4 أ² + 12a + 9 = 0.

حل

لديك ثلاثية من الدرجة الثانية للفأس الشكل² ± bx + c ولعاملها ، يتم ضرب كل التعبير بمعامل x². في هذه الحالة ، 4.

و4² + 12a +9 = 0

و4² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 أ² + 12a (4) + 36 = 0

4² إلى² + 12a (4) + 36 = 0

الآن يجب أن نجد رقمين ، عند ضربهما معًا ، نعطي نتيجةً لذلك قيمة "c" (وهي 36) ، وعند إضافتها معًا ينتج معامل معامل "a" ، وهو 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

وبهذه الطريقة يتم إعادة كتابة التعبير ، مع مراعاة ذلك² إلى² = 4 أ _* 4A. لذلك ، يتم تطبيق خاصية التوزيع لكل مصطلح:

(4 أ + 6) _* (4 أ + 6).

أخيرًا ، التعبير مقسومًا على معامل². هذا هو 4:

(4 أ + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

التعبير كالتالي:

و4² + 12a +9 = (2a +3) _* (2 أ + 3).

العوملة مع المنتجات الرائعة

هناك حالات ، بحيث يتم التعامل مع الحدود متعددة الحدود مع الأساليب السابقة ، تصبح عملية طويلة جدًا.

هذا هو السبب في أنه يمكن تطوير تعبير مع صيغ المنتجات الرائعة وبالتالي تصبح العملية أكثر بساطة. من بين المنتجات الأكثر استخدامًا هي:

- الفرق بين مربعين:² - ب²) = (أ - ب) _* (أ + ب)

- مربع مثالي للمبلغ:² + 2ab + ب² = (أ + ب)²

- مربع مثالي للفرق:² - 2ab + ب² = (أ - ب)²

- الفرق بين مكعبين: أ³ - ب³ = (أ ب)_*(أ² + أب + ب²)

- مجموع مكعبين: أ³ - ب³ = (أ + ب) _* (أ² - أب + ب²)

مثال 1

عامل (5² - س²)

حل

في هذه الحالة هناك اختلاف بين مربعين. لذلك ، يتم تطبيق صيغة المنتج الرائع:

(أ² - ب²) = (أ - ب) _* (أ + ب)

(5² - س²) = (5 - س) _* (5 + س)

مثال 2

عامل 16x² + 40x + 25²

حل

في هذه الحالة ، لدينا مربع مثالي للمجموع ، لأنه يمكننا تحديد مصطلحين تربيعيين ، والمصطلح المتبقي هو نتيجة ضرب اثنين بالجذر التربيعي للكلمة الأولى ، بواسطة الجذر التربيعي للمصطلح الثاني.

إلى² + 2ab + ب² = (أ + ب)²

إلى عامل ، يتم حساب الجذور المربعة للفترتين الأولى والثالثة فقط:

√ (16x²) = 4x

√ (25²) = 5.

ثم يتم فصل المصطلحين الناتجين عن طريق علامة العملية ، وتعدد الحدود بأكملها مربعة:

16X² + 40x + 25² = (4x + 5)².

مثال 3

العامل 27 أ³ - ب³

حل

يمثل التعبير طرحًا يتم فيه رفع عاملين إلى المكعب. من أجل معاملتها ، يتم تطبيق صيغة المنتج البارز للفرق المكعب ، وهي:

إلى³ - ب³ = (أ ب)_*(أ² + أب + ب²)

ومن ثم ، للتعبير ، يتم استخراج الجذر التكعيبي لكل مصطلح من الحدين ومضاعفته في مربع الفصل الأول ، بالإضافة إلى ناتج الأول في الفصل الثاني ، بالإضافة إلى الفصل الثاني بالمربع..

27³ - ب³

³√ (27a³) = 3 أ

³√ (-b³) = ب

27³ - ب³ = (3 أ - ب) _* [(3A)² + 3ab + ب²)]

27³ - ب³ = (3 أ - ب) _* (9A² + 3ab + ب²)

العوملة مع حكم روفيني

يتم استخدام هذه الطريقة عندما يكون لديك كثير الحدود من الدرجة أكبر من اثنين ، من أجل تبسيط التعبير إلى العديد من الحدود متعددة الحدود بدرجة أقل.

مثال 1

العامل Q (x) = x⁴ - 9X² + 4x + 12

حل

أولاً ، ابحث عن الأرقام المقسومة على 12 ، وهو المصطلح المستقل ؛ هذه هي ± 1 و ± 2 و ± 3 و ± 4 و ± 6 و ± 12.

ثم يتم استبدال x بهذه القيم ، من الأدنى إلى الأعلى ، وبالتالي يتم تحديدها بأي من القيم سيكون التقسيم دقيقًا ؛ وهذا هو ، يجب أن يكون الباقي 0:

س = -1

س (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

س = 1

س (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

س = 2

س (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

وهكذا لكل مقسم. في هذه الحالة ، فإن العوامل الموجودة هي x = -1 و x = 2.

الآن يتم تطبيق طريقة Ruffini ، والتي سيتم بموجبها تقسيم معاملات التعبير بين العوامل التي وجدت للقسمة دقيقة. يتم ترتيب مصطلحات كثير الحدود من أعلى إلى أدنى الأس. في حالة فقدان مصطلح يحمل الدرجة التالية في التسلسل ، يتم وضع الصفر في مكانه.

توجد المعاملات في مخطط كما هو موضح في الصورة التالية.

يتم تخفيض المعامل الأول وضربه بالمقسوم عليه. في هذه الحالة ، يكون المقسوم الأول هو -1 ، ويتم وضع النتيجة في العمود التالي. ثم تضاف قيمة المعامل رأسياً مع النتيجة التي تم الحصول عليها وتوضع النتيجة أدناه. بهذه الطريقة تتكرر العملية حتى العمود الأخير.

ثم يتم تكرار نفس الإجراء مرة أخرى ، ولكن مع المقسوم الثاني (وهو 2) لأنه لا يزال من الممكن تبسيط التعبير.

وبالتالي ، لكل جذر تم الحصول عليه ، سيكون لعدد الحدود مصطلح (س - أ) ، حيث "a" هي قيمة الجذر:

(س - (-1)) _* (س - 2) = (س + 1) _* (س - 2)

من ناحية أخرى ، يجب ضرب هذه المصطلحات ببقية قاعدة روفيني 1: 1 و -6 ، وهي عوامل تمثل التقدير. بهذه الطريقة يكون التعبير الذي يتكون: (x² + س - 6).

الحصول على نتيجة لعوامل متعدد الحدود بطريقة Ruffini هو:

س⁴ - 9X² + 4x + 12 = (× + 1) _* (س - 2) _* (خ² + س - 6)

للإنهاء ، يمكن إعادة كتابة كثير الحدود من الدرجة 2 التي تظهر في التعبير السابق كـ (x + 3) (x-2). لذلك ، فإن العامل النهائي هو:

س⁴ - 9X² + 4x + 12 = (× + 1) _* (س - 2)_*(س + 3)_*(X-2).

مراجع

1. آرثر جودمان ، إل. إتش. (1996). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. بيرسون التعليم.
2. J ، V. (2014). كيفية تعليم الاطفال عن العوملة متعدد الحدود.
3. مانويل موريلو ، أ. س. الرياضيات الأساسية مع التطبيقات.
4. Roelse، P. L. (1997). الطرق الخطية للعوامل متعددة الحدود على المجالات المحدودة: النظرية والتطبيقات. جامعة إيسن.
5. شارب ، D. (1987). الخواتم والعوامل.