خصائص homothety ، أنواع وأمثلة

ال homotecia هو تغيير هندسي في المستوى حيث ، من نقطة ثابتة تسمى الوسط (O) ، يتم ضرب المسافات بعامل مشترك. وبهذه الطريقة ، تتوافق كل نقطة P مع منتج نقطة P آخر للتحول ، وتتوافق هذه النقاط مع النقطة O.

ثم ، homothety هي المراسلات بين اثنين من الأشكال الهندسية ، حيث تسمى النقاط المحولة homothetic ، وتتوافق هذه مع نقطة ثابتة ومع شرائح موازية لبعضها البعض.

مؤشر

• 1 هوموتيا
• 2 خصائص
• 3 أنواع
  • 3.1 homothety المباشر
  • 3.2 عكس homothety
• 4 التكوين
• 5 أمثلة
  • 5.1 المثال الأول
  • 5.2 المثال الثاني
• 6 المراجع

homotecia

التماثل هو تحول لا يحتوي على صورة متطابقة ، لأنه من الشكل سيتم الحصول على رقم واحد أو أكثر من الأشكال بحجم أكبر أو أصغر من الرقم الأصلي ؛ وهذا يعني ، أن homothety يحول المضلع إلى واحد آخر مماثل.

لكي يتم تحقيق homothety ، يجب أن تتوافق من نقطة إلى أخرى ومن مباشرة إلى مباشرة ، بحيث تتم محاذاة أزواج النقاط المتماثلة مع نقطة ثابتة ثالثة ، وهي مركز homothety.

وبالمثل ، يجب أن تكون أزواج الخطوط التي تربطهم متوازية. العلاقة بين هذه القطاعات هي ثابت يسمى نسبة homothety (ك) ؛ بطريقة يمكن تعريف homothety على النحو التالي:

لجعل هذا النوع من التحول تبدأ من خلال اختيار نقطة تعسفية ، والتي ستكون مركز homothety.

من هذه النقطة ، يتم رسم مقاطع الخطوط لكل قمة من الشكل المراد تحويله. يتم إعطاء المقياس الذي يتم فيه إعادة إنتاج الشكل الجديد لسبب التماثل (k).

خصائص

واحدة من الخصائص الرئيسية لل homothety هو ، لسبب homothety (ك) ، جميع الشخصيات متجانسة متشابهة. من بين الخصائص الأخرى المعلقة ما يلي:

- مركز homothety (O) هو النقطة المزدوجة الوحيدة ويتحول إلى نفسه ؛ وهذا هو ، فإنه لا يختلف.

- إن الخطوط التي تمر عبر الوسط تحول نفسها (وهي مزدوجة) ، لكن النقاط التي تتكون منها ليست مزدوجة.

- تتحول المضيقات التي لا تمر عبر الوسط إلى خطوط متوازية ؛ بهذه الطريقة ، تبقى زوايا homothety كما هي.

- إن صورة قطعة من homothety من المركز O والنسبة k ، هي قطعة موازية لهذا ولها k أضعاف طولها. على سبيل المثال ، كما هو موضح في الصورة التالية ، سينتج عن المقطع AB بالتجانس في جزء آخر A'B ، بحيث تكون AB موازية لـ A'B وستكون k:

- الزوايا المتجانسة متطابقة. وهذا هو ، لديهم نفس التدبير. لذلك ، فإن صورة الزاوية هي الزاوية التي لها نفس السعة.

من ناحية أخرى ، فإن homothety يختلف تبعا لقيمة نسبته (ك) ، وقد تحدث الحالات التالية:

- إذا كان الثابت k = 1 ، يتم إصلاح جميع النقاط لأنها تحول نفسها. وهكذا ، يتزامن الشكل التماثلي مع الأصل وسيطلق على التحول وظيفة الهوية.

- إذا كانت k ≠ 1 ، فإن النقطة الثابتة الوحيدة ستكون مركز التماثل (O).

- إذا كانت k = -1 ، يصبح homothety تماثلًا مركزيًا (C) ؛ وهذا يعني أن دوران حول C سيحدث بزاوية 180^أو.

- إذا كانت قيمة k> 1 ، فسيكون حجم الشكل المحول أكبر من حجم الأصل.

- نعم 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- نعم -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- إذا ك < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

نوع

يمكن تصنيف homothety أيضًا إلى نوعين ، اعتمادًا على قيمة نسبته (k):

homothety المباشر

يحدث ذلك إذا كان الثابت k> 0 ؛ أي أن النقاط التماثلية موجودة في نفس الجانب فيما يتعلق بالمركز:

عامل التناسب أو نسبة التشابه بين الأشكال التماثلية المباشرة سيكون دائمًا إيجابيًا.

عكس متجانس

يحدث ذلك إذا كان ثابت ك < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

عامل التناسب أو نسبة التشابه بين الأشكال العكسية المتجانسة سيكون دائمًا سالبًا.

تركيب

عندما يتم إجراء العديد من الحركات على التوالي حتى الحصول على رقم يساوي الأصلي ، يحدث تكوين الحركات. تكوين العديد من الحركات هي أيضا حركة.

التكوين بين اثنين homothecias يؤدي إلى homothecia جديدة. وهذا يعني أن لدينا منتجًا متجانسًا حيث يتم محاذاة المركز مع مركز التحويلين الأصليين ، والنسبة (k) هي نتاج السببين.

وهكذا ، في تكوين اثنين من homotheces H₁(O₁, ك₁) و H₂(O₂, ك₂) ، ضرب الأسباب الخاصة بك: ك₁ ك ك₂ = 1 سيؤدي إلى homothety من النسبة k₃ = ك₁ ك ك₂. وسط هذا homothety الجديد (O₃) سيكون موجودا على يا مستقيم₁ O₂.

homothety يتوافق مع تغيير مسطح لا رجعة فيه. إذا تم تطبيق اثنين من التماثيل التي لها نفس المركز والنسبة ولكن مع علامة مختلفة ، سيتم الحصول على الرقم الأصلي.

أمثلة

المثال الأول

قم بتطبيق homothety على المضلع المركزي المحدد (O) ، والذي يقع على بعد 5 سم من النقطة A والذي تبلغ نسبته k = 0.7.

حل

يتم اختيار أي نقطة كمركز لل homothety ، ومن هذا الشعاع يتم رسمها بواسطة رؤوس الشكل:

المسافة من المركز (O) إلى النقطة A هي OA = 5 ؛ مع هذا يمكنك تحديد مسافة واحدة من النقاط التماثلية (OA ') مع العلم أيضًا أن k = 0.7:

OA '= k x OA.

الزراعة العضوية = 0.7 × 5 = 3.5.

يمكن القيام بهذه العملية لكل قمة ، أو يمكنك أيضًا رسم المضلع المتماثل متذكراً أن للمضلعين جوانب متوازية:

أخيرًا ، يبدو التحول كالتالي:

المثال الثاني

قم بتطبيق homothety على المضلع المركزي المحدد (O) ، والذي يقع على بعد 8.5 سم من النقطة C والتي تكون نسبة y فيها k = -2.

حل

المسافة من المركز (O) إلى النقطة C هي OC = 8.5 ؛ باستخدام هذه البيانات ، يمكن تحديد مسافة إحدى النقاط التماثلية (OC ') ، مع العلم أيضًا أن k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 × 8.5 = -17

بعد رسم شرائح رؤوس المضلع المحول ، نجد أن النقاط الأولية والتماثلية الخاصة بها تقع في الأطراف المقابلة فيما يتعلق بالمركز:

مراجع

1. ألفارو رندون ، إيه آر (2004). الرسم الفني: دفتر الأنشطة.
2. أنطونيو ألفاريز دي لا روسا ، جيه إل (2002). التقارب ، التماثل والتماثل.
3. باير ، ر. (2012). الجبر الخطي والهندسة الإسقاطية. شركة البريد السريع.
4. Hebert، Y. (1980). الرياضيات العامة والاحتمالات والإحصاء.
5. Meserve، B. E. (2014). المفاهيم الأساسية للهندسة. شركة البريد السريع.
6. Nachbin، L. (1980). مقدمة في الجبر. Reverte.