الحد الأدنى من طريقة مربع ، تمارين حلها وما يخدمها

طريقة أقل المربعات هو واحد من أهم التطبيقات في تقريب الوظائف. تتمثل الفكرة في العثور على منحنى ، نظرًا لمجموعة من الأزواج المرتبة ، تقارب هذه الوظيفة البيانات بشكل أفضل. يمكن أن تكون الوظيفة عبارة عن خط ، ومنحنى تربيعي ، ومنحنى مكعب ، إلخ..

فكرة هذه الطريقة هي تقليل مجموع مربعات الاختلافات في الإحداثيات (المكون ص) ، بين النقاط التي تم إنشاؤها بواسطة الوظيفة المختارة والنقاط التي تنتمي إلى مجموعة البيانات.

مؤشر

• 1 طريقة المربعات الصغرى
• 2 تمارين حلها
  • 2.1 التمرين 1
  • 2.2 التمرين 2
• 3 ما هذا؟?
• 4 المراجع

طريقة المربعات الصغرى

قبل إعطاء الطريقة ، يجب أولاً أن نكون واضحين بشأن معنى "النهج الأفضل". دعونا نفترض أننا نبحث عن سطر y = b + mx يمثل أفضل مجموعة من النقاط n ، وهي (x1 ، y1) ، (x2 ، y2) ... ، (xn ، yn).

كما هو موضح في الشكل السابق ، إذا كانت المتغيرات x و y مرتبطة بالخط y = b + mx ، فبالنسبة x = x1 ستكون القيمة المقابلة لـ y هي b + mx1. ومع ذلك ، تختلف هذه القيمة عن القيمة الحقيقية لـ y ، وهي y = y1.

تذكر أنه في الطائرة ، يتم إعطاء المسافة بين نقطتين بواسطة الصيغة التالية:

مع وضع ذلك في الاعتبار ، لتحديد كيفية اختيار السطر y = b + mx الذي يقارب البيانات المحددة على أفضل وجه ، من المنطقي استخدام اختيار الخط الذي يقلل مجموع مربعات المسافات بين النقاط كمعيار والمستقيم.

نظرًا لأن المسافة بين النقاط (x1 ، y1) و (x1 ، b + mx1) هي y1- (b + mx1) ، يتم تقليل مشكلتنا إلى إيجاد أرقام m و b بحيث يكون المجموع التالي ضئيلاً:

يُعرف السطر الذي يفي بهذا الشرط باسم "تقريب خط المربعات الصغرى إلى النقاط (x1 ، y1) ، (x2 ، y2) ، ... ، (xn ، yn)".

بمجرد حل المشكلة ، علينا فقط اختيار طريقة للعثور على تقريب المربعات الصغرى. إذا كانت النقاط (x1 ، y1) ، (x2 ، y2) ، ... ، (xn ، yn) كلها على الخط y = mx + b ، فسوف يتعين علينا أن نكون متآمرين و:

في هذا التعبير:

أخيرًا ، إذا لم تكن النقاط خطية ، فيمكنك ترجمة y-Au = 0 والمشكلة إلى إيجاد متجه أو أن تكون القاعدة الإقليدية في حدها الأدنى.

العثور على ناقلات الحد الأدنى ليست صعبة كما تظن. بما أن A عبارة عن مصفوفة nx2 و u عبارة عن مصفوفة 2 × 1 ، لدينا أن المتجه Au عبارة عن متجه في R^ن وينتمي إلى صورة A ، وهي مساحة فرعية من R^ن مع البعد لا يزيد عن اثنين.

سنفترض أن n = 3 لإظهار الإجراء الذي يجب اتباعه. إذا كانت n = 3 ، ستكون صورة A طائرة أو خطًا يمر عبر الأصل.

اسمحوا الخامس يكون ناقلات الحد الأدنى. في الشكل ، نلاحظ أن y-Au يتم تصغيرها عندما تكون متعامدة مع صورة A. وهذا هو ، إذا كانت v هي المتجه إلى أدنى حد ، يحدث أن:

بعد ذلك ، يمكننا التعبير عن ما سبق بهذه الطريقة:

يمكن أن يحدث هذا فقط إذا:

أخيرًا ، المقاصة v ، علينا:

من الممكن القيام بذلك منذ^تيA غير قابلة للانعكاس طالما أن نقاط n المعطاة مثل البيانات ليست خطية.

الآن ، إذا بدلًا من البحث عن خط ، نود العثور على قطع مكافئ (يكون تعبيره بالشكل y = a + bx + cx²) كان هذا تقريبًا أفضل لنقاط البيانات n ، وسيكون الإجراء كما هو موضح أدناه.

إذا كانت نقاط البيانات n موجودة في القطع المكافئ المذكور ، فيجب أن:

ثم:

بطريقة مماثلة يمكننا كتابة y = Au. إذا لم تكن جميع النقاط موجودة في القطع المكافئ ، فلدينا أن y-Au تختلف عن الصفر بالنسبة لأي متجه u ، ومشكلتنا هي مرة أخرى: ابحث عن متجه u في R3 بحيث تكون المعيار || y-Au || أن تكون صغيرة بقدر الإمكان.

بتكرار الإجراء السابق ، يمكننا الوصول إلى المتجه الذي يتم البحث عنه:

تمارين حلها

التمرين 1

ابحث عن السطر الذي يناسب النقاط (1،4) و (-2،5) و (3 و -1) و (4،1).

حل

يجب علينا:

ثم:

لذلك ، نخلص إلى أن السطر الذي يناسب النقاط هو أفضل من:

التمرين 2

لنفترض أن كائنًا تم إسقاطه من ارتفاع 200 متر. أثناء السقوط ، يتم اتخاذ التدابير التالية:

نحن نعلم أن ارتفاع الجسم المذكور ، بعد مرور وقت t ، يعطى بواسطة:

إذا كنا نرغب في الحصول على قيمة g ، فيمكننا إيجاد مكافئ تقريبي أفضل للنقاط الخمس الواردة في الجدول ، وبالتالي سيكون لدينا معامل يرافق t² سيكون تقريبًا معقولًا لـ (-1/2) g إذا كانت القياسات دقيقة.

يجب علينا:

ثم:

لذلك يتم ضبط نقاط البيانات بواسطة التعبير التربيعي التالي:

ثم ، عليك:

هذه قيمة قريبة بشكل معقول من القيمة الصحيحة ، وهي g = 9.81 m / s². من أجل الحصول على تقريب أكثر دقة لـ g ، سيكون من الضروري البدء من الملاحظات الأكثر دقة.

ما هذا؟?

في المشكلات التي تحدث في العلوم الطبيعية أو الاجتماعية ، من المريح أن تكتب العلاقات التي تحدث بين المتغيرات المختلفة عن طريق بعض التعبيرات الرياضية..

على سبيل المثال ، يمكننا ربط التكلفة (C) ، والدخل (I) والأرباح (U) في الاقتصاد من خلال صيغة بسيطة:

في الفيزياء ، يمكننا أن نربط التسارع الناجم عن الجاذبية ، والوقت الذي يسقط فيه جسم ما وارتفاع جسمه بواسطة القانون:

في التعبير السابق s_أو هو الارتفاع الأولي لهذا الكائن و v_أو هي سرعتك الأولية.

ومع ذلك ، فإن العثور على صيغ مثل هذه ليست مهمة بسيطة ؛ عادة ما يكون الأمر متروكًا للمحترف المناوب للعمل مع العديد من البيانات وإجراء عدة تجارب بشكل متكرر (من أجل التحقق من أن النتائج التي تم الحصول عليها ثابتة) لإيجاد علاقات بين البيانات المختلفة.

هناك طريقة شائعة لتحقيق ذلك تتمثل في تمثيل البيانات التي يتم الحصول عليها في المستوى كنقاط والبحث عن وظيفة مستمرة تقترب من هذه النقاط على النحو الأمثل.

إحدى الطرق للعثور على الوظيفة التي "تقارب أفضل" البيانات المقدمة هي طريقة المربعات الصغرى.

بالإضافة إلى ذلك ، كما رأينا أيضًا في التمرين ، بفضل هذه الطريقة ، يمكننا الحصول على تقريب قريب جدًا من الثوابت المادية.

مراجع

1. تشارلز دبليو كورتيس الجبر الخطي. الوثاب-Velarg
2. كاي لاي تشونج نظرية القدرة الأولية مع العمليات العشوائية. Springer-Verlag New York Inc
3. Richar L Burden & J.Douglas Faires. التحليل العددي (7ed). طومسون التعلم.
4. ستانلي غروسمان تطبيقات الجبر الخطي. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
5. ستانلي غروسمان الجبر الخطي MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO