مبدأ مضافة في ما يتألف منها وأمثلة



ال مبدأ المضافة إنها طريقة عد احتمالية تسمح لنا بقياس عدد الطرق التي يمكن بها تنفيذ النشاط ، والتي بدورها لديها العديد من البدائل التي يمكن تنفيذها ، والتي يمكن اختيار واحد منها فقط في وقت واحد. مثال كلاسيكي على ذلك هو عندما تريد اختيار خط نقل للانتقال من مكان إلى آخر.

في هذا المثال ، سوف تتوافق البدائل مع جميع خطوط النقل الممكنة التي تغطي المسار المطلوب ، سواء كان جوًا أو بحريًا أو أرضيًا. لا يمكننا الذهاب إلى مكان باستخدام وسيلتين للنقل في وقت واحد ؛ من الضروري أن نختار واحدة فقط.

يخبرنا مبدأ الإضافة أن عدد الطرق التي يتعين علينا القيام بها في هذه الرحلة سوف تتوافق مع مجموع كل بديل ممكن (وسيلة نقل) موجودة للذهاب إلى المكان المرغوب ، وسيشمل ذلك وسائل النقل التي تتوقف في مكان ما (أو أماكن) متوسطة.

من الواضح ، في المثال السابق ، سنختار دائمًا البديل الأكثر راحة الذي يناسب إمكاناتنا ، لكن من المحتمل جدًا أن نعرف عدد الطرق التي يمكن بها إجراء الحدث..

مؤشر

  • 1 الاحتمال
    • 1.1 احتمال وقوع حدث
  • 2 ما هو مبدأ المضافة؟?
  • 3 أمثلة
    • 3.1 المثال الأول
    • 3.2 المثال الثاني
    • 3.3 المثال الثالث
  • 4 المراجع

احتمال

بشكل عام ، الاحتمال هو مجال الرياضيات المسؤول عن دراسة الأحداث أو الظواهر والتجارب العشوائية.

التجربة أو الظاهرة العشوائية هي إجراء لا يؤدي دائمًا إلى نفس النتائج ، حتى إذا تم ذلك بنفس الشروط الأولية ، دون تغيير أي شيء في الإجراء الأولي.

مثال كلاسيكي وبسيط لفهم ما تتكون منه تجربة عشوائية هو عمل رمي عملة أو نرد. سيكون الإجراء دائمًا هو نفسه ، لكننا لن نحصل دائمًا على "وجه" أو "ستة" ، على سبيل المثال.

الاحتمال مسؤول عن توفير التقنيات لتحديد عدد مرات حدوث حدث عشوائي معين ؛ من بين النوايا الأخرى ، يتمثل الهدف الرئيسي في التنبؤ بالأحداث المستقبلية المحتملة غير المؤكدة.

احتمال الحدث

وبشكل أكثر تحديداً ، فإن احتمال حدوث الحدث A هو رقم حقيقي بين الصفر وواحد ؛ أي ، رقم ينتمي إلى الفاصل الزمني [0،1]. يشار إليه بواسطة P (A).

إذا كانت P (A) = 1 ، فإن احتمال حدوث الحدث A هو 100٪ ، وإذا كان الصفر ، فلن يكون هناك أي احتمال بحدوثه. مساحة العينة هي مجموعة من جميع النتائج المحتملة التي يمكن الحصول عليها عن طريق إجراء تجربة عشوائية.

هناك أربعة أنواع أو مفاهيم للاحتمال على الأقل ، اعتمادًا على الحالة: الاحتمال الكلاسيكي ، الاحتمال المتكرر ، الاحتمال الشخصي والاحتمال البديسي. كل واحد يركز على حالات مختلفة.

يغطي الاحتمال الكلاسيكي الحالة التي يكون فيها مساحة العينة عددًا محدودًا من العناصر.

في هذه الحالة ، سيكون احتمال حدوث الحدث A هو عدد البدائل المتاحة للحصول على النتيجة المرجوة (أي عدد عناصر المجموعة A) ، مقسومًا على عدد عناصر مساحة العينة..

هنا يجب اعتبار أن جميع عناصر مساحة العينة يجب أن تكون محتملة بنفس القدر (على سبيل المثال ، تموت غير قابل للتغيير ، يكون فيه احتمال الحصول على أي من الأرقام الستة هو نفسه).

على سبيل المثال ، ما هو احتمال حصولك على رقم فردي عندما تدحرج النرد؟ في هذه الحالة ، سيتم تشكيل المجموعة "أ" بجميع الأرقام الفردية بين 1 و 6 ، وستتكون مساحة العينة من جميع الأرقام من 1 إلى 6. لذلك ، يحتوي A على 3 عناصر ومساحة العينة بها 6. كلاهما ، P (A) = 3/6 = 1/2.

ما هو مبدأ المضافة؟?

كما ذكر سابقًا ، يقيس الاحتمال التردد الذي يحدث به حدث معين. كجزء من القدرة على تحديد هذا التردد ، من المهم معرفة عدد الطرق التي يمكن بها إجراء هذا الحدث. يسمح لنا مبدأ الإضافة بإجراء هذا الحساب في حالة معينة.

ينص المبدأ الإضافي على ما يلي: إذا كان الحدث "أ" عبارة عن "طرق" يجب القيام بها ، وكان "ب" حدثًا آخر له طرق "ب" يجب القيام بها ، وإذا كان يمكن أن يحدث "أ" أو "ب" فقط وليس كليهما في نفس الوقت ، فإن طرق تحقيق A أو B (A∪B) هي a + b.

بشكل عام ، تم تأسيس هذا من أجل اتحاد عدد محدد من المجموعات (أكبر من أو يساوي 2).

أمثلة

المثال الأول

إذا باعت مكتبة لبيع الكتب الأدب والبيولوجيا والطب والهندسة والكيمياء ، والتي تضم 15 نوعًا مختلفًا من كتب الأدب و 25 كتابًا بيولوجيًا و 12 كتابًا طبقيًا و 8 كتب معمارية و 10 كتب كيمياء ، فما هو عدد الخيارات المتاحة للشخص؟ لاختيار كتاب الهندسة المعمارية أو كتاب الأحياء?

يخبرنا مبدأ الإضافة أن عدد الخيارات أو طرق اختيار هذا الخيار هو 8 + 25 = 33.

يمكن أيضًا تطبيق هذا المبدأ في حالة مشاركة حدث واحد فقط ، والذي بدوره يحتوي على بدائل مختلفة يتعين تنفيذها..

افترض أنك تريد القيام ببعض النشاط أو الحدث A ، وهناك عدة بدائل لذلك ، قل n.

بدوره ، البديل الأول له1 طرق لتحقيق ذلك ، البديل الثاني له2 الطرق الواجب القيام بها ، وهكذا ، يمكن إجراء رقم بديل n من إلىن طرق.

ينص مبدأ الإضافة على أن الحدث A يمكن تنفيذه من a1+ إلى2+... +ن طرق.

المثال الثاني

لنفترض أن الشخص يريد شراء حذاء. عند وصولك إلى متجر الأحذية ، ستجد نموذجين مختلفين فقط من حجم حذائك.

من أحدهما يتوفر لونان ، ومن الألوان الخمسة الأخرى المتاحة. كم عدد الطرق التي يجب على هذا الشخص القيام بها لهذا الشراء؟ وفقًا للمبدأ الإضافي ، تكون الإجابة 2 + 5 = 7.

يجب استخدام مبدأ الإضافة عندما تريد حساب كيفية إجراء حدث واحد أو آخر ، وليس الاثنين معاً.

لحساب الطرق المختلفة لأداء حدث معًا ("و") مع آخر - أنه يجب أن يحدث كلا الحدثين في وقت واحد - يتم استخدام مبدأ التعدد.

يمكن أيضًا تفسير مبدأ الإضافة من حيث الاحتمال بالطريقة التالية: احتمال وقوع حدث A أو حدث B ، وهو ما يدل عليه P (A∪B) ، مع العلم أن A لا يمكن أن يحدث في وقت واحد مع B ، تعطى بواسطة P (A∪B) = P (A) + P (B).

المثال الثالث

ما هو احتمال الحصول على 5 عند رمي يموت أو وجه عند التقليب عملة?

كما هو موضح أعلاه ، بشكل عام فإن احتمال الحصول على أي رقم عن طريق رمي يموت هو 1/6.

على وجه الخصوص ، فإن احتمال الحصول على 5 هو 1/6 أيضًا. وبالمقابل ، فإن احتمال الحصول على وجه عند قلب العملة هو 1/2. لذلك ، فإن الإجابة على السؤال السابق هي P (A∪B) = 1/6 + 1/2 = 2/3.

مراجع

  1. Bellhouse، D. R. (2011). أبراهام دي موفري: تمهيد الطريق لاحتمال الكلاسيكية وتطبيقاتها. CRC Press.
  2. سيفوينتس ، ج. ف. (2002). مقدمة في نظرية الاحتمالات. مواطن كولومبيا.
  3. داستون ، ل. (1995). الاحتمالات الكلاسيكية في التنوير. مطبعة جامعة برينستون.
  4. هوبكنز ، ب. (2009). مصادر لتدريس الرياضيات المنفصلة: مشاريع الفصل الدراسي ، وحدات التاريخ ، والمقالات.
  5. جونسون بو ، ر. (2005). الرياضيات المنفصلة بيرسون التعليم.
  6. لارسون ، جيه. (1978). مقدمة لنظرية الاحتمالات والاستدلال الإحصائي. التحرير ليموزا.
  7. Lutfiyya، L. A. (2012). محدد وحل مشكلة الرياضيات المنفصلة. جمعية محرري البحث والتعليم.
  8. Martel، P. J.، & Vegas، F. J. (1996). الاحتمالات والإحصاء الرياضي: تطبيقات في الممارسة السريرية والإدارة الصحية. Ediciones Díaz de Santos.
  9. Padró، F. C. (2001). الرياضيات المنفصلة POLITEC. كاتالونيا.
  10. شتاينر ، E. (2005). الرياضيات للعلوم التطبيقية. Reverte.