ما هو Gravicentro؟ (مع أمثلة)

ال gravicentro هو تعريف يستخدم على نطاق واسع في الهندسة عند العمل مع المثلثات.

لفهم تعريف gravicentro ، من الضروري أولاً معرفة تعريف "medians" للمثلث.

الوسيطات للمثلث هي أجزاء الخط التي تبدأ من كل قمة وتصل إلى نقطة الوسط في الجانب المقابل لتلك القمة.

يُطلق على نقطة تقاطع الوسطاء الثلاثة للمثلث اسم barycenter أو تُعرف أيضًا باسم gravicentro.

لا يكفي مجرد معرفة التعريف ، ومن المثير للاهتمام معرفة كيفية حساب هذه النقطة.

حساب Barycenter

بالنظر إلى المثلث ABC ذي الرؤوس A = (x1 ، y1) ، B = (x2 ، y2) و C = (x3 ، y3) ، لدينا أن الجاذبية هي تقاطع الوسطاء الثلاثة للمثلث.

الصيغة السريعة التي تسمح بحساب gravicentro للمثلث ، والتي تعرف بإحداثيات رؤوسها هي:

G = ((x1 + x2 + x3) / 3 ، (y1 + y2 + y3) / 3).

مع هذه الصيغة يمكنك معرفة موقع gravicentro في الطائرة الديكارتية.

خصائص Gravicentro

ليس من الضروري رسم المتوسطات الثلاثة للمثلث ، لأنه عند رسم اثنين منهم ، سيكون من الواضح أين هو الجاذبية.

يقسم gravicentro كل وسيط إلى جزأين تكون نسبته 2: 1 ، أي أن الجزأين من كل وسيط ينقسمان إلى أجزاء أطوال 2/3 و 1/3 من الطول الكلي ، وكلما كانت المسافة الأكبر هي بين قمة الرأس والجاذبية.

الصورة التالية توضح أفضل هذه الخاصية.

صيغة لحساب gravicentro بسيطة جدا لتطبيق. طريقة الحصول على هذه الصيغة هي عن طريق حساب معادلات الخط التي تحدد كل وسيط ثم ابحث عن نقطة القطع لهذه الخطوط.

تدريب

فيما يلي قائمة صغيرة من المشاكل المتعلقة بحساب barycenter.

1.- بالنظر إلى مثلث القمم A = (0،0) و B = (1،0) و C = (1،1) ، احسب مقبس المثلث المذكور.

باستخدام الصيغة المحددة ، يمكن للمرء أن يستنتج بسرعة أن الجاذبية للمثلث ABC هي:

G = ((0 + 1 + 1) / 3 ، (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3 ، 1/3).

2.- إذا كان للمثلث رؤوس A = (0،0) و B = (1،0) و C = (1 / 2،1) ، فما هي إحداثيات الجاذبية المركزية?

نظرًا لأن رؤوس المثلث معروفة ، يتم تطبيق صيغة حساب الجاذبية. لذلك ، فإن gravicentro لديه إحداثيات:

G = ((0 + 1 + 1/2) / 3 ، (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2 ، 1/3).

3.- احسب الثقل المحتمل لمثلث متساوي الأضلاع بحيث يكون اثنان من رؤوسه A = (0،0) و B = (2،0).

في هذا التمرين ، يتم تحديد رأستين فقط من المثلث. من أجل العثور على الجاذبية الممكنة يجب على المرء أولاً حساب الرأس الثالث للمثلث.

بما أن المثلث متساوي الأضلاع والمسافة بين A و B هي 2 ، لدينا قمة ثالثة C ، يجب أن تكون على مسافة 2 من A و B.

باستخدام حقيقة أنه في مثلث متساوي الأضلاع يتزامن الارتفاع مع الوسط وكذلك باستخدام نظرية فيثاغورس ، يمكننا أن نستنتج أن خيارات إحداثيات القمة الثالثة هي C1 = (1 ، √3) أو C2 = (1 ، - √3).

لذا فإن إحداثيات اثنين من الجاذبية الممكنة هي:

G1 = ((0 + 2 + 1) / 3 ، (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3 ، √3 / 3) = (1 ، /3 / 3),

G2 = ((0 + 2 + 1) / 3 ، (0 + 0-√3) / 3) = (3/3 ، -√3 / 3) = (1 ، -√3 / 3).

بفضل الحسابات السابقة ، يمكن الإشارة أيضًا إلى أن الوسيط تم تقسيمه إلى جزأين تبلغ نسبته 2: 1.

مراجع

1. لاندافيردي ، ف. د. (1997). علم الهندسة (طبع إد.). تقدم.
2. Leake، D. (2006). مثلثات (المصور إد). هاينمان-رينتري.
3. بيريز ، سي دي (2006). precalculus. بيرسون التعليم.
4. رويز ،، ، وبارانتس ، هـ (2006). هندستها. CR التكنولوجيا.
5. سوليفان ، م. (1997). precalculus. بيرسون التعليم.
6. سوليفان ، م. (1997). علم المثلثات والهندسة التحليلية. بيرسون التعليم.