ما هي الحدود المثلثية؟ (مع تمارين حل)

ال حدود المثلثية هم حدود وظائف مثل هذه الوظائف التي يتم تشكيلها بواسطة الدوال المثلثية.

هناك تعريفان يجب معرفتهما لفهم كيفية إجراء حساب حد مثلثي.

هذه التعريفات هي:

- حد دالة "f" عندما تميل "x" إلى "b": تتكون في حساب القيمة التي تقترب منها f (x) كـ "x" تقترب "b" ، دون الوصول إلى "b".

- الدوال المثلثية: الدوال المثلثية هي الدوال الجيبية وجيب التمام والدالة الموصولة بالرمز (x) و cos (x) و tan (x) على التوالي.

يتم الحصول على الدوال المثلثية الأخرى من الوظائف الثلاث المذكورة أعلاه.

حدود وظائف

لتوضيح مفهوم الحد من وظيفة سوف تستمر لإظهار بعض الأمثلة مع وظائف بسيطة.

- حد f (x) = 3 عندما تكون "x" تميل إلى "8" مساوية لـ "3" ، لأن الوظيفة ثابتة دائمًا. بغض النظر عن القيمة "x" ، فإن قيمة f (x) ستكون دائمًا "3".

- الحد f (x) = x-2 عندما يكون "x" يميل إلى "6" هو "4". منذ متى "x" تقترب "6" ثم "x-2" تقترب "6-2 = 4".

- حد g (x) = x² عندما تكون "x" تميل إلى "3" تساوي 9 ، حيث عندما تقترب "x" من "3" ثم "x²" تقترب "3² = 9".

كما يتضح من الأمثلة السابقة ، يتكون حساب الحد من تقييم القيمة التي يميل بها "x" في الوظيفة ، وستكون النتيجة هي قيمة الحد ، على الرغم من أن هذا صحيح فقط بالنسبة للوظائف المستمرة.

هل هناك حدود أكثر تعقيدا?

الجواب نعم. الأمثلة المذكورة أعلاه هي أبسط الأمثلة على الحدود. في دفاتر الحسابات ، تكون تمارين الحدود الرئيسية هي تلك التي تنشئ تعريفًا للنوع 0/0 و ∞ / ∞ و ∞-∞ و 0 * ∞ و (1) ^ ∞ و (0) ^ 0 و (∞) ^ 0.

تسمى هذه التعبيرات غير المحددة لأنها تعبيرات لا معنى لها من الناحية الرياضية.

بالإضافة إلى ذلك ، بناءً على الوظائف التي ينطوي عليها الحد الأصلي ، قد تكون النتيجة التي تم الحصول عليها في حل التعاريف مختلفة في كل حالة.

أمثلة على الحدود المثلثية البسيطة

لحل الحدود ، من المفيد دائمًا معرفة الرسوم البيانية للوظائف المعنية. فيما يلي الرسوم البيانية لوظائف جيب التمام وجيب التمام.

بعض الأمثلة على حدود مثلثية بسيطة هي:

- احسب حد sin (x) عندما تميل "x" إلى "0".

عند عرض الرسم البياني يمكنك أن ترى أنه إذا اقترب "x" من "0" (على اليسار وعلى اليمين) ، فإن الرسم البياني الجيبي يقترب أيضًا من "0". لذلك ، الحد من الخطيئة (س) عندما تميل "س" إلى "0" هي "0".

- احسب حد cos (x) عندما تميل "x" إلى "0".

عند ملاحظة الرسم البياني لجيب التمام ، يمكن ملاحظة أنه عندما تكون علامة "x" قريبة من "0" ، فإن الرسم البياني لجيب التمام يقترب من "1". هذا يعني أن حد cos (x) عندما تكون "x" تميل إلى "0" تساوي "1".

يمكن أن يوجد حد (يكون رقمًا) ، كما في الأمثلة السابقة ، ولكن قد يحدث أيضًا أنه غير موجود كما هو موضح في المثال التالي.

- الحد من تان (س) عندما تميل "س" إلى "Π / 2" على اليسار تساوي "+ ∞" ، كما يمكن أن نرى في الرسم البياني. من ناحية أخرى ، فإن الحد من tan (x) عندما تكون "x" تميل إلى "-Π / 2" على اليمين تساوي "-∞".

هويات الحدود المثلثية

اثنين من هويات مفيدة للغاية عند حساب الحدود المثلثية هي:

- حد "sin (x) / x" عندما يكون "x" يميل إلى "0" يساوي "1".

- الحد من "(1-cos (x)) / x" عندما يكون "x" يميل إلى "0" يساوي "0".

يتم استخدام هذه الهويات في كثير من الأحيان عندما يكون لديك نوع من عدم التحديد.

تمارين حلها

حل الحدود التالية باستخدام الهويات المذكورة أعلاه.

- احسب حد "f (x) = sin (3x) / x" عندما تميل "x" إلى "0".

إذا تم تقييم الدالة "f" في "0" ، فسيتم الحصول على تحديد للنوع 0/0. لذلك ، يجب أن نحاول حل هذه اللا نهائية باستخدام الهويات الموصوفة.

الفرق الوحيد بين هذا الحد والهوية هو الرقم 3 الذي يظهر داخل دالة الجيب. لتطبيق الهوية ، يجب إعادة كتابة الوظيفة "f (x)" بالطريقة التالية "3 * (sin (3x) / 3x)". الآن ، كل من حجة الجيب والقاسم متساويان.

لذلك عندما تميل "x" إلى "0" ، فإن استخدام الهوية ينتج عنه "3 * 1 = 3". لذلك ، فإن الحد f (x) عندما تكون "x" تميل إلى "0" تساوي "3".

- احسب حد "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" عندما "x" تميل إلى "0".

عندما يتم استبدال "x = 0" في g (x) ، يتم الحصول على تحديد للنوع ∞-∞. لحلها ، يتم طرح الكسور ، والتي تسفر عن النتيجة "(1-cos (x)) / x".

الآن ، عند تطبيق الهوية المثلثية الثانية ، لدينا حد g (x) عندما تكون "x" تميل إلى "0" تساوي 0.

- احسب الحد "h (x) = 4tan (5x) / 5x" عندما تميل "x" إلى "0".

مرة أخرى ، إذا قمت بتقييم h (x) إلى "0" ، فستحصل على تحديد من النوع 0/0.

إعادة كتابة tan (5x) كـ sin (5x) / cos (5x) ينتج عنها h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

باستخدام الحد من 4 / cos (x) عندما تكون "x" تميل إلى "0" تساوي "4/1 = 4" ويتم الحصول على الهوية المثلثية الأولى التي تم الحصول على حد h (x) عندما تميل "x" "0" يساوي "1 * 4 = 4".

ملاحظة

الحدود المثلثية ليست دائما سهلة الحل. في هذه المقالة تم عرض أمثلة أساسية فقط.

مراجع

1. Fleming، W.، & Varberg، D. E. (1989). الرياضيات التمهيدية. برنتيس هول PTR.
2. Fleming، W.، & Varberg، D. E. (1989). الرياضيات التمهيدية: نهج لحل المشكلات (2 ، مصور إد). ميشيغان: قاعة برنتيس.
3. Fleming، W.، & Varberg، D. (1991). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. بيرسون التعليم.
4. لارسون ، ر. (2010). Precalculus (8 إد.) Cengage التعلم.
5. Leal، J. M.، & Viloria، N. G. (2005). هندسة تحليلية مسطحة. ميريدا - فنزويلا: Editorial Venezolana C. A.
6. بيريز ، سي دي (2006). precalculus. بيرسون التعليم.
7. بورسيل ، جيه. ، فاربرغ ، دي. ، وريجدون ، س. (2007). حساب (الطبعة التاسعة). برنتيس هول.
8. ساينز ، ج. (2005). حساب التفاضل والتكامل التفاضلي مع وظائف متعالية مبكرة للعلوم والهندسة (الطبعة الثانية إد.). وتر المثلث.
9. سكوت ، سي. (2009). هندسة الطائرة الديكارتية ، الجزء: المخروطات التحليلية (1907) (طبع إد.). مصدر البرق.
10. سوليفان ، م. (1997). precalculus. بيرسون التعليم.