ما هي أنواع التكاملات هل هناك؟

ال أنواع التكاملات التي نجدها في الحساب هي: تكاملات غير محددة و تكاملات معرفة. على الرغم من أن التكاملات المحددة لها تطبيقات أكثر من التكاملات غير المحددة ، فمن الضروري أن نتعلم أولاً حل التكاملات غير المحددة.

أحد أكثر التطبيقات جاذبية للتكاملات المحددة هو حساب حجم ثورة صلبة.

كلا النوعين من التكاملات لهما نفس خصائص الخطية وأيضًا لا تعتمد تقنيات التكامل على نوع التكامل.

ولكن على الرغم من كونها متشابهة للغاية ، هناك فرق رئيسي ؛ في النوع الأول من التكامل ، تكون النتيجة دالة (وهي غير محددة) بينما في النوع الثاني تكون النتيجة عبارة عن رقم.

نوعان أساسيان من التكاملات

عالم التكاملات واسع جدًا ولكن في داخلنا يمكننا التمييز بين نوعين أساسيين من التكاملات ، لهما قابلية تطبيق كبيرة في الحياة اليومية.

1- تكاملات غير محددة

إذا كانت F '(x) = f (x) للجميع x في مجال f ، فإننا نقول أن F (x) هو مضاد للجراثيم ، بدائي أو جزء لا يتجزأ من f (x).

من ناحية أخرى ، لاحظ أن (F (x) + C) '= F' (x) = f (x) ، مما يعني أن تكامل وظيفة ما ليس فريدًا ، لأن إعطاء قيم مختلفة للثابت C سوف نحصل على مختلف كنت مشتق عكسي.

لهذا السبب تسمى F (x) + C التكامل غير المحدد لـ f (x) ويسمى C التكامل المستمر ونكتبه بالطريقة التالية

كما نرى ، فإن التكامل غير المحدد للوظيفة f (x) هو مجموعة من الوظائف.

على سبيل المثال ، إذا كنت ترغب في حساب التكامل غير المحدد للدالة f (x) = 3x² ، يجب أن تجد أولاً مضادًا لـ f (x).

من السهل أن تلاحظ أن F (x) = x³ هو مضاد حيوي ، لأن F '(x) = 3x². لذلك ، يمكن أن نستنتج ذلك

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.

2- التكاملات المحددة

دع y = f (x) دالة فعلية ، متواصلة في فاصل مغلق [a، b] وليكن F (x) مضادًا لـ f (x). يطلق عليه تكامل واضح لـ f (x) بين الحدود a و b للرقم F (b) -F (a) ، ويُشار إليه على النحو التالي

تعرف الصيغة الموضحة أعلاه باسم "النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل". هنا يسمى "a" الحد الأدنى و "b" يسمى الحد الأعلى. كما ترون ، فإن التكامل المحدد للدالة هو رقم.

في هذه الحالة ، إذا تم حساب التكامل المحدد لـ f (x) = 3x² في الفاصل الزمني [0.3] ، فسيتم الحصول على رقم.

لتحديد هذا الرقم نختار F (x) = x³ كمضاد لـ f (x) = 3x². ثم ، نحسب F (3) -F (0) والذي يعطينا النتيجة 27-0 = 27. في الختام ، فإن التكامل المحدد لـ f (x) في الفاصل الزمني [0.3] هو 27.

يمكن تسليط الضوء على أنه إذا تم اختيار G (x) = x³ + 3 ، فإن G (x) هو مضاد مضاد لـ f (x) بخلاف F (x) ، لكن هذا لا يؤثر على النتيجة منذ G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. لهذا السبب ، في تكاملات محددة لا يظهر ثابت التكامل.

أحد أكثر التطبيقات المفيدة التي يتضمنها هذا النوع من التكامل هو أنه يسمح بحساب مساحة (حجم) الشكل المسطح (من ثورة صلبة) ، وإنشاء وظائف مناسبة وحدود تكامل (ومحور دوران).

ضمن تكاملات محددة يمكن أن نجد امتدادات مختلفة من هذا على سبيل المثال تكامل خط ، تكاملات سطحية ، تكاملات غير لائق ، تكاملات متعددة ، من بين أمور أخرى ، كل ذلك مع تطبيقات مفيدة للغاية في العلوم والهندسة.

مراجع

1. Casteleiro، J. M. (2012). هل من السهل الاندماج؟ دليل العصاميين. مدريد: ESIC.
2. Casteleiro، J. M.، & Gómez-vlvarez، R. P. (2002). حساب شامل (مصور إد). مدريد: ESIC Editorial.
3. Fleming، W.، & Varberg، D. E. (1989). الرياضيات التمهيدية. برنتيس هول PTR.
4. Fleming، W.، & Varberg، D. E. (1989). الرياضيات التمهيدية: نهج لحل المشكلات (2 ، مصور إد). ميشيغان: قاعة برنتيس.
5. كيشان ، هـ. (2005). حساب التفاضل والتكامل لا يتجزأ. الناشرين والموزعين الأطلسي.
6. بورسيل ، جيه. ، فاربرغ ، دي. ، وريجدون ، س. (2007). حساب (الطبعة التاسعة). برنتيس هول.