تعريف لابلاس المحول ، التاريخ ، ما هو ، الخصائص

ال تحولت من لابلاس كانت في السنوات الأخيرة ذات أهمية كبيرة في دراسات الهندسة والرياضيات والفيزياء ، من بين مجالات علمية أخرى ، فضلاً عن كونها ذات أهمية كبيرة في النظرية ، توفر طريقة بسيطة لحل المشكلات التي تأتي من العلوم والهندسة.

في الأصل تم تقديم تحويل لابلاس بواسطة بيير سيمون لابلاس في دراسته حول نظرية الاحتمال وتم التعامل معه في البداية ككائن رياضي له مصلحة نظرية فقط.

تنشأ التطبيقات الحالية عندما حاول العديد من علماء الرياضيات تقديم مبرر رسمي "للقواعد التشغيلية" التي يستخدمها هيفيسيد في دراسة معادلات النظرية الكهرومغناطيسية.

مؤشر

• 1 التعريف
  • 1.1 أمثلة
  • 1.2 نظرية (شروط كافية للوجود)
  • 1.3 لابلاس تحويل بعض الوظائف الأساسية
• 2 التاريخ
  • 2.1 1782 ، لابلاس
  • 2.2 أوليفر هيفيسيد
• 3 خصائص
  • 3.1 الخطي
  • 3.2 نظرية الترجمة الأولى
  • 3.3 نظرية الترجمة الثانية
  • 3.4 تغيير الحجم
  • 3.5 فدية لابلاس للمشتقات
  • 3.6 لابلاس تحويل التكاملات
  • 3.7 الضرب بواسطة tn
  • 3.8 القسمة على ر
  • 3.9 وظائف دورية
  • 3.10 سلوك F (s) عندما تميل s إلى ما لا نهاية
• 4 التحولات العكسية
  • 4.1 التمرين
• 5 تطبيقات لتحويل لابلاس
  • 5.1 المعادلات التفاضلية
  • 5.2 نظم المعادلات التفاضلية
  • 5.3 الميكانيكا والدوائر الكهربائية
• 6 المراجع

تعريف

اسمحوا f أن تكون وظيفة محددة ل t ≥ 0. يتم تعريف تحويل لابلاس على النحو التالي:

يقال أن تحويل لابلاس موجود في حالة تقارب التكامل السابق ، وإلا يُقال إن تحويل لابلاس غير موجود.

بشكل عام ، للدلالة على الوظيفة التي يريد المرء تحويلها ، يتم استخدام الحروف الصغيرة ويتوافق الحرف الكبير مع تحوله. بهذه الطريقة سيكون لدينا:

أمثلة

ضع في اعتبارك الوظيفة الثابتة f (t) = 1. لدينا أن تحولها هو:

عندما يتقارب التكامل ، يتم دائمًا توفير ذلك> 0. وإلا ، < 0, la integral diverge.

دع g (t) = t. يتم تحويل تحويل لابلاس الخاص بك بواسطة

من خلال دمج أجزاء ومعرفة أنك^-شارع تميل إلى 0 عندما تميل t إلى ما لا نهاية و s> 0 ، مع المثال السابق لدينا:

قد يكون أو لا يوجد التحويل ، على سبيل المثال بالنسبة للوظيفة f (t) = 1 / t لا يتقارب التكامل الذي يعرّف تحويل لابلاس الخاص به ، وبالتالي فإن تحوله غير موجود.

الشروط الكافية للتأكد من وجود تحويل لابلاس لوظيفة f ، هي أن f مستمر في الأجزاء لـ t ≥ 0 ويكون بترتيب أسي.

يقال أن الوظيفة مستمرة في أجزاء من أجل t ≥ 0 ، عندما يكون هناك عدد محدد من النقاط t لأي فترة فاصلة [a، b] ب> 0_ك, حيث f لها حالات انقطاع وتتواصل في كل فترة فرعية [t_ك-1,تي_ك].

من ناحية أخرى ، يقال أن الدالة ذات ترتيب أسي c إذا كانت هناك ثوابت حقيقية M> 0 و c و T> 0 بحيث:

كأمثلة لدينا أن f (t) = t² هو من أجل الأسي ، منذ | ر²| < e^3T للجميع ر> 0.

بطريقة رسمية لدينا النظرية التالية

نظرية (شروط كافية للوجود)

إذا كانت f دالة مستمرة لكل جزء بالنسبة إلى t> 0 وللترتيب الأسي c ، فهناك تحويل Laplace لـ s> c.

من المهم تسليط الضوء على أن هذا شرط للاكتفاء ، أي أنه قد يكون هناك وظيفة لا تفي بهذه الشروط وحتى عند وجود تحويل لابلاس الخاص بها.

مثال على ذلك هي الدالة f (t) = t^-1/2 هذا غير مستمر في الأجزاء لـ t ≥ 0 لكن تحويل لابلاس موجود.

تحويل لابلاس لبعض الوظائف الأساسية

يعرض الجدول التالي تحويلات لابلاس للوظائف الأكثر شيوعًا.

تاريخ

يرجع تحويل لابلاس إلى بيير سيمون لابلاس ، عالم الرياضيات والفلكي النظري الفرنسي الذي ولد عام 1749 وتوفي في عام 1827. وكانت شهرته معروفة لدرجة أنه كان يعرف باسم نيوتن في فرنسا.

في عام 1744 كرس ليونارد يولر دراساته للتكامل مع النموذج

كحل المعادلات التفاضلية العادية ، ولكن سرعان ما تخلت عن هذا التحقيق. في وقت لاحق ، قام جوزيف لويس لاغرانج ، الذي كان معجبًا بشدة بآيلر ، بالتحقيق في هذا النوع من التكاملات وربطه بنظرية الاحتمال..

1782 ، لابلاس

في عام 1782 بدأ لابلاس لدراسة هذه التكاملات كحل للمعادلات التفاضلية ، ووفقًا للمؤرخين ، قرر في عام 1785 إعادة صياغة المشكلة ، والتي ولدت لاحقًا تحويلات لابلاس كما فهمت اليوم.

بعد أن تم إدخاله في مجال نظرية الاحتمالات ، كان اهتمام العلماء في ذلك الوقت ضئيلًا وكان ينظر إليه فقط على أنه كائن رياضي ذو أهمية نظرية فقط.

أوليفر هيفيسيد

في منتصف القرن التاسع عشر ، اكتشف المهندس الإنجليزي أوليفر هيفيد أن العوامل التفاضلية يمكن التعامل معها كمتغيرات جبرية ، وبالتالي إعطاء تطبيقها الحديث على تحويلات لابلاس.

كان أوليفر هيفيسيد عالمًا فيزيائيًا ومهندسًا كهربائيًا وعالم الرياضيات من مواليد عام 1850 في لندن وتوفي عام 1925. أثناء محاولته حل مشاكل المعادلات التفاضلية المطبقة على نظرية الاهتزازات واستخدام دراسات لابلاس ، بدأ في تشكيل التطبيقات الحديثة لتحويل لابلاس.

انتشرت النتائج التي أظهرها Heaviside بسرعة في جميع أنحاء المجتمع العلمي في ذلك الوقت ، ولكن نظرًا لأن عملها لم يكن دقيقًا ، فقد تعرض لانتقادات سريعة من قبل علماء الرياضيات التقليديين.

ومع ذلك ، فإن فائدة عمل Heaviside في حل معادلات الفيزياء جعلت أساليبه شعبية لدى الفيزيائيين والمهندسين.

على الرغم من هذه النكسات وبعد عدة عقود من المحاولات الفاشلة ، في بداية القرن العشرين ، يمكن تقديم تبرير صارم للقواعد التشغيلية التي قدمها هيفيسايد..

أثمرت هذه المحاولات بفضل جهود علماء الرياضيات المتنوعين مثل برومويتش وكارسون وفان دير بول وغيرهم..

خصائص

من بين خصائص تحويل لابلاس ، يبرز ما يلي:

الخطي

دع c1 و c2 هما ثوابت و f (t) و g (t) دالات تحويل لابلاس هما F (s) و G (s) على التوالي ، ثم يتعين علينا:

بسبب هذه الخاصية ، يقال أن تحويل لابلاس هو عامل خطي.

مثال

نظرية الترجمة الأولى

إذا حدث ذلك:

و "a" هو أي رقم حقيقي ، ثم:

مثال

عندما يكون تحويل لابلاس لـ cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) ثم:

نظرية الترجمة الثانية

إذا

ثم

مثال

إذا كانت f (t) = t ^ 3 ، ثم F (s) = 6 / s ^ 4. وبالتالي ، فإن التحول من

هي G (s) = 6e^-2S/ s ^ 4

تغيير الحجم

إذا

و "a" هو حقيقي غير صفري ، علينا أن

مثال

بما أن تحويل f (t) = sin (t) هو F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) يجب أن يكون

ransformation من لابلاس المشتقات

إذا كانت f، f '، f "، ...، f^(N) تكون مستمرة لـ t ≥ 0 وترتيب أسي و f^(N)(t) مستمر في الأجزاء لـ t ≥ 0 ، ثم

تحويل لابلاس للتكاملات

إذا

ثم

الضرب بواسطة t^ن

إذا كان علينا أن

ثم

القسمة ر

إذا كان علينا أن

ثم

وظائف دورية

اجعل f وظيفة دورية مع فترة T> 0 ، أي f (t + T) = f (t) ، ثم

سلوك F (s) عندما يميل s إلى ما لا نهاية

إذا كانت f مستمرة في الأجزاء وترتيب الأسي و

ثم

التحولات العكسية

عندما نطبق تحويل لابلاس على دالة f (t) نحصل على F (s) ، والتي تمثل هذا التحويل. بنفس الطريقة يمكننا أن نقول أن f (t) هو تحويل لابلاس العكسي لـ F (s) ومكتوب كـ

نحن نعلم أن تحويلات لابلاس لـ f (t) = 1 و g (t) = t هي F (s) = 1 / s و G (s) = 1 / s² على التوالي ، لذلك علينا أن

بعض تحويلات لابلاس الشائعة هي كما يلي

بالإضافة إلى ذلك ، فإن تحويل لابلاس العكسي خطي ، أي أنه تم الوفاء به

ممارسة

اكتشاف

لحل هذا التمرين ، يجب أن نطابق الوظيفة F (s) مع أحد الجداول السابقة. في هذه الحالة ، إذا أخذنا n + 1 = 5 واستخدمنا خاصية الخطية للتحويل العكسي ، فإننا نضرب ونقسم على 4! الحصول على

بالنسبة للتحول العكسي الثاني ، نطبق الكسور الجزئية لإعادة كتابة الدالة F (s) ثم خاصية الخطية ، والحصول على

كما نرى من هذه الأمثلة ، من الشائع أن الدالة F (s) التي يتم تقييمها لا تتفق تمامًا مع أي من الوظائف الواردة في الجدول. بالنسبة لهذه الحالات ، كما هو ملاحظ ، يكفي إعادة كتابة الوظيفة حتى الوصول إلى النموذج المناسب.

تطبيقات تحويل لابلاس

المعادلات التفاضلية

التطبيق الرئيسي لتحويل لابلاس هو حل المعادلات التفاضلية.

باستخدام خاصية تحويل مشتق فمن الواضح أن

ومن مشتقات n-1 التي تم تقييمها عند t = 0.

هذه الخاصية تجعل التحويل مفيدًا للغاية لحل مشكلات القيمة الأولية حيث تكون المعادلات التفاضلية ذات المعاملات الثابتة معنية.

توضح الأمثلة التالية كيفية استخدام تحويل لابلاس لحل المعادلات التفاضلية.

مثال 1

بالنظر إلى مشكلة القيمة الأولية التالية

استخدم تحويل لابلاس لإيجاد الحل.

نحن نطبق تحويل لابلاس على كل عضو في المعادلة التفاضلية

لخاصية تحول مشتق لدينا

من خلال تطوير كل التعبير و المقاصة و / أو اليسار

استخدام الكسور الجزئية لإعادة كتابة الجانب الأيمن من المعادلة التي نحصل عليها

أخيرًا ، هدفنا هو إيجاد دالة y (t) ترضي المعادلة التفاضلية. باستخدام تحويل لابلاس معكوس يعطينا النتيجة

مثال 2

حل

كما في الحالة السابقة ، فإننا نطبق التحويل على جانبي المعادلة و مصطلح منفصل حسب مصطلح.

بهذه الطريقة لدينا نتيجة لذلك

استبدال القيم الأولية المحددة وإلغاء Y (s)

باستخدام الكسور البسيطة ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي

وتطبيق التحويل العكسي لـ Laplace يعطينا نتيجة لذلك

في هذه الأمثلة ، يمكن للمرء أن يصل إلى نتيجة خاطئة مفادها أن هذه الطريقة ليست أفضل بكثير من الطرق التقليدية لحل المعادلات التفاضلية.

تتمثل المزايا التي يوفرها تحويل لابلاس في أنه ليس من الضروري استخدام تباين المعلمة أو القلق بشأن الحالات المختلفة لطريقة معامل التحديد..

بالإضافة إلى حل المشكلات ذات القيمة الأولية بهذه الطريقة ، نستخدم الشروط الأولية منذ البداية ، لذلك ليس من الضروري إجراء عمليات حسابية أخرى للعثور على حل معين.

نظم المعادلات التفاضلية

يمكن أيضًا استخدام تحويل لابلاس لإيجاد حلول للمعادلات التفاضلية العادية المتزامنة ، كما يوضح المثال التالي.

مثال

حل

مع الشروط الأولية x (0) = 8 e و (0) = 3.

إذا كان علينا أن

ثم

حل النتائج فينا

وعند تطبيق تحويل لابلاس العكسي لدينا

الميكانيكا والدوائر الكهربائية

يعتبر تحويل لابلاس ذا أهمية كبيرة في الفيزياء ، خاصةً لديه تطبيقات للدوائر الميكانيكية والكهربائية.

تتكون الدائرة الكهربائية البسيطة من العناصر التالية

مفتاح ، بطارية أو مصدر ، مغو ، مقاوم ومكثف. عند إغلاق المفتاح ، يتم إنتاج تيار كهربائي يُشار إليه بواسطة i (t). يُشار إلى شحنة المكثف بـ q (t).

بموجب قانون كيرشوف الثاني ، يجب أن تكون الفولتية التي ينتجها المصدر E إلى الدائرة المغلقة مساوية لمجموع كل قطرة من الجهد..

يرتبط التيار الكهربائي i (t) بالشحنة q (t) في المكثف بمقدار i = dq / dt. من ناحية أخرى ، يتم تعريف انخفاض الجهد في كل عنصر من العناصر على النحو التالي:

انخفاض الجهد في المقاوم هو iR = R (dq / dt)

انخفاض الجهد في المحث هو L (di / dt) = L (d²ف / ت²)

انخفاض الجهد في مكثف هو ف / ج

باستخدام هذه البيانات وتطبيق قانون Kirchhoff الثاني على الدائرة البسيطة المغلقة ، يتم الحصول على معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية تصف النظام وتتيح لنا تحديد قيمة q (t).

مثال

يتم توصيل المحاث والمكثف والمقاوم ببطارية E ، كما هو موضح في الشكل. محث من 2 هنري ، مكثف من 0.02 farads ومقاومة 16 onhm. في الوقت ر = 0 الدائرة مغلقة. ابحث عن الحمل والتيار في أي وقت t> 0 إذا كانت E = 300 فولت.

لدينا أن المعادلة التفاضلية التي تصف هذه الدائرة هي التالية

حيث تكون الشروط الأولية q (0) = 0 ، i (0) = 0 = q '(0).

بتطبيق تحويل لابلاس نحصل عليه

وتطهير س (ر)

ثم ، تطبيق تحويل لابلاس معكوس لدينا

مراجع

1. ج. هولبروك ، ج. (1987). تحويل لابلاس لمهندسي الإلكترونيات. Limusa.
2. رويز ، إل إم ، وهيرنانديز ، إم بي (2006). المعادلات التفاضلية وتحويل لابلاس مع التطبيقات. UPV الافتتاحية.
3. سيمونز ، ج. ف. (1993). المعادلات التفاضلية مع التطبيقات والملاحظات التاريخية. ماكجرو هيل.
4. شبيغل ، م. ر. (1991). تحويل لابلاس. ماكجرو هيل.
5. Zill، D. G.، & Cullen، M. R. (2008). المعادلات التفاضلية مع مشاكل القيم على الحدود. Cengage Learning Editores، S.A..