Sarrus القاعدة في ما يتكون وأنواع المحددات

ال حكم ساروس يتم استخدامه لحساب نتيجة محددات 3 × 3. هذه تستخدم لحل المعادلات الخطية ومعرفة ما إذا كانت متوافقة.

تسمح لك الأنظمة المتوافقة بالحصول على الحل بسهولة أكبر. يتم استخدامها أيضًا لتحديد ما إذا كانت مجموعات المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساس مساحة المتجه.

تعتمد هذه التطبيقات على قابلية المصفوفات. إذا كانت المصفوفة عادية ، يكون محددها مختلفًا عن 0. إذا كانت مفردة ، يكون محددها هو 0. لا يمكن حساب المحددات إلا في المصفوفات المربعة.

لحساب المصفوفات من أي ترتيب ، يمكن استخدام نظرية لابلاس. تتيح لنا هذه النظرية تبسيط المصفوفات ذات الأبعاد العالية ، بمبالغ من المحددات الصغيرة التي نتحللها من المصفوفة الرئيسية.

يؤكد أن محدد المصفوفة يساوي مجموع منتجات كل صف أو عمود ، بواسطة محدد المصفوفة المرفق.

هذا يقلل من المحددات بحيث يصبح محددات الدرجة n محددات n-1. إذا طبقنا هذه القاعدة على التوالي ، يمكننا الحصول على محددات البعد 2 (2 × 2) أو 3 (3 × 3) ، حيث يكون من الأسهل بكثير حساب.

Sarrus القاعدة

كان بيير فريدريك ساروس عالم رياضيات فرنسيًا في القرن التاسع عشر. تعتمد معظم أطروحاته الرياضية على طرق حل المعادلات وحساب الاختلافات ، ضمن المعادلات العددية.

في واحدة من أطروحته ، قام بحل أحد الألغاز الأكثر تعقيدًا في علم الميكانيكا. لحل مشاكل الأجزاء المفصلية ، أدخل Sarrus تحول الحركات المستطيلة البديلة ، في حركات دائرية موحدة. يُعرف هذا النظام الجديد باسم آلية Sarrus.

كان البحث الأكثر شهرة الذي قدمه لعالم الرياضيات هذا هو الذي قدم طريقة جديدة لحساب المحددات ، في مقالة "مودوفيل نوفيل من أجل حل المشكلات" (طريقة جديدة لحل المعادلات) ، والتي نشرت في عام 1833. هذه الطريقة في حل المعادلات الخطية ، والمعروفة باسم حكم ساروس.

تسمح قاعدة Sarrus بحساب محدد المصفوفة 3 × 3 ، دون الحاجة إلى استخدام نظرية Laplace ، وإدخال طريقة أكثر بساطة وأكثر سهولة. لتكون قادرًا على التحقق من قيمة قاعدة Sarrus ، نأخذ أي مصفوفة من البعد 3:

يتم حساب المحدد الخاص به من خلال نتاج الأقطار الرئيسية ، بطرح المنتج من الأقطار العكسية. هذا سيكون على النحو التالي:

تسمح لنا قاعدة Sarrus بالحصول على رؤية أبسط بكثير عند حساب الأقطار الخاصة بالمحدد. سيتم تبسيطه عن طريق إضافة أول عمودين إلى الجزء الخلفي من المصفوفة. وبهذه الطريقة ، يمكنك أن ترى بوضوح أكثر ما هي الأقطار الرئيسية الخاصة بك والتي هي معكوس ، لحساب المنتج.

من خلال هذه الصورة يمكننا أن نرى تطبيق قاعدة Sarrus ، ندرج الصفين 1 و 2 ، أسفل التمثيل البياني للمصفوفة الأولية. بهذه الطريقة ، الأقطار الرئيسية هي الأقطار الثلاثة التي تظهر في المقام الأول.

الأقطار الثلاثة العكسية هي بدورها تلك التي تظهر أولاً في الخلف.

بهذه الطريقة ، تظهر الأقطار بطريقة أكثر بصرية ، دون تعقيد دقة المحدد ، في محاولة لمعرفة أي عناصر المصفوفة تنتمي إلى كل قطري.

كما يظهر في الصورة ، نختار الأقطار ونحسب المنتج الناتج لكل وظيفة. الأقطار التي تظهر باللون الأزرق هي تلك التي تضيف ما يصل. إلى مجموع هذه ، نطرح قيمة الأقطار التي تظهر باللون الأحمر.

لجعل الضغط أسهل ، يمكننا استخدام مثال رقمي ، بدلاً من استخدام المصطلحات الجبرية والمصطلحات الفرعية.

إذا أخذنا أي مصفوفة 3 × 3 ، على سبيل المثال:

لتطبيق قاعدة Sarrus ، وحلها بطريقة أكثر مرئية ، يجب أن ندرج الصف 1 و 2 ، كصف 4 و 5 على التوالي. من المهم الاحتفاظ بالصف الأول في الموضع الرابع والصف 2 في الموضع الخامس. لأنه إذا تبادلناهم ، فإن قاعدة ساروس لن تكون فعالة.

لحساب المحدد ، ستبدو المصفوفة لدينا كما يلي:

لمتابعة الحساب ، نقوم بضرب عناصر الأقطار الرئيسية. تلك الهابطة التي تبدأ من اليسار ، سوف تتخذ علامة إيجابية ؛ بينما الأقطار العكسية ، وهي تلك التي تبدأ على اليمين ، تحمل علامة سلبية.

في هذا المثال ، ستذهب العلامات الزرقاء مع علامة إيجابية والأخرى الحمراء ذات علامة سلبية. يبدو الحساب النهائي لقاعدة Sarrus كما يلي:

أنواع المحددات

محدد البعد 1

إذا كان بُعد المصفوفة هو 1 ، تكون المصفوفة بهذا الشكل: A = (a)

لذلك ، سيكون المحدد الخاص به كما يلي: det (A) = | A | = a

باختصار ، محدد المصفوفة A يساوي القيمة المطلقة للمصفوفة A ، والتي في هذه الحالة أ.

محدد البعد 2

إذا ذهبنا إلى مصفوفات البعد 2 ، نحصل على مصفوفات من النوع:

حيث يتم تعريف محدده على النحو التالي:

ويستند القرار من هذا المحدد على ضرب قطري الرئيسي ، وطرح المنتج من قطري معكوس.

كقاعدة عامة ، يمكننا استخدام المخطط التالي لتذكر محدده:

محدد البعد 3

إذا كان بُعد المصفوفة 3 ، فستكون المصفوفة الناتجة من هذا النوع:

سيتم حل محدد هذه المصفوفة من خلال قاعدة Sarrus بهذه الطريقة:

مراجع

1. جيني أوليف (1998) الرياضيات: دليل بقاء الطالب. مطبعة جامعة كامبريدج.
2. ريتشارد جيه. براون (2012) 30 ثانية من الرياضيات: أكثر 50 نظرية توسع في العقل في الرياضيات. اللبلاب الصحافة المحدودة.
3. ديف كيركبي (2004) Maths Connect. هاينمان.
4. Awol Assen (2013) دراسة عن حساب محددات مصفوفة 3 × 3. لاب لامبرت للنشر الأكاديمي.
5. أنتوني نيكولايدس (1994) المحددات والمصفوفات. تمرير النشر.
6. جيسي راسل (2012) حكم ساروس.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) مقدمة في الجبر الخطي. ESIC Editorial.