تقنيات تحليل الأبعاد ، مبدأ التجانس والتمارين

ال تحليل الأبعاد هي أداة تستخدم على نطاق واسع في فروع مختلفة من العلوم والهندسة لفهم الظواهر التي تنطوي على وجود مستويات فيزيائية مختلفة بشكل أفضل. للأبعاد أبعاد ومن هذه الوحدات تستمد وحدات القياس المختلفة.

تم العثور على أصل مفهوم البعد في عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف فورييه ، الذي صاغه. وفهم فورييه أيضًا أنه لكي تكون المعادلتان قابلتين للمقارنة ، يجب أن تكون متجانسة فيما يتعلق بأبعادهما. وهذا هو ، لا يمكنك إضافة متر بالكيلوغرام.

وبالتالي ، فإن تحليل الأبعاد مسؤول عن دراسة أحجام المعادلات الفيزيائية وأبعادها وتجانسها. لهذا السبب ، يتم استخدامه بشكل متكرر للتحقق من العلاقات والحسابات ، أو لإنشاء فرضيات حول الأسئلة المعقدة التي يمكن اختبارها لاحقًا بشكل تجريبي..

وبهذه الطريقة ، يعد تحليل الأبعاد أداة مثالية للكشف عن الأخطاء في الحسابات عند التحقق من تطابق أو عدم تطابق الوحدات المستخدمة فيها ، خاصةً التركيز على وحدات النتائج النهائية..

بالإضافة إلى ذلك ، يستخدم تحليل الأبعاد لإظهار التجارب المنهجية. يسمح بتقليل عدد التجارب اللازمة ، وكذلك تسهيل تفسير النتائج التي تم الحصول عليها.

أحد الأسس الأساسية للتحليل الأبعاد هو أنه من الممكن تمثيل أي كمية مادية كمنتج لقوى كمية أصغر ، والمعروفة باسم الكميات الأساسية التي يستمد منها الباقي.

مؤشر

• 1 الأحجام الأساسية وصيغة الأبعاد
• 2 تقنيات تحليل الأبعاد
  • 2.1 طريقة رايلي
  • 2.2 طريقة باكنجهام
• 3 مبدأ تجانس الأبعاد
  • 3.1 مبدأ التشابه
• 4 تطبيقات
• 5 تمارين حلها
  • 5.1 التمرين الأول
  • 5.2 التمرين الثاني
• 6 المراجع

الأحجام الأساسية وصيغة الأبعاد

في الفيزياء ، تعتبر المقاييس الأساسية تلك التي تسمح للآخرين بالتعبير عن أنفسهم من حيث هذه. حسب الاصطلاح ، تم اختيار ما يلي: الطول (L) ، الوقت (T) ، الكتلة (M) ، شدة التيار الكهربائي (I) ، درجة الحرارة (θ) ، شدة الضوء (J) و كمية المادة (ن).

على العكس من ذلك ، يعتبر الباقي كميات مشتقة. بعض هذه هي: المساحة والحجم والكثافة والسرعة والتسارع ، وغيرها.

يتم تعريف المساواة الرياضية على أنها صيغة الأبعاد التي تقدم العلاقة بين كمية مشتقة والكمية الأساسية.

تقنيات تحليل الأبعاد

هناك العديد من التقنيات أو أساليب تحليل الأبعاد. اثنين من أهم ما يلي:

طريقة رايلي

رايلي ، الذي كان بجوار فورييه ، أحد سلائف التحليل البعدي ، طور طريقة مباشرة وبسيطة للغاية تسمح لنا بالحصول على عناصر بدون أبعاد. في هذه الطريقة ، يتم اتباع الخطوات التالية:

1- يتم تحديد وظيفة الشخصية المحتملة للمتغير التابع.

2 - يتم تغيير كل متغير بأبعادها المقابلة.

3- يتم إنشاء معادلات شرط التجانس.

4- يتم إصلاح المجهول n-p.

5-استبدال الأس التي تم حسابها وثابتة في المعادلة المحتملة.

6- انقل مجموعات المتغيرات لتحديد الأعداد البعدية.

طريقة باكنجهام

تعتمد هذه الطريقة على نظرية باكينجهام أو نظرية بي ، والتي تنص على ما يلي:

إذا كانت هناك علاقة على مستوى أبعاد متجانس بين عدد "n" من الأحجام المادية أو المتغيرات التي تظهر فيها أبعاد أساسية مختلفة "p" ، فهناك أيضًا علاقة تجانس بين مجموعات n-p المستقلة ذات الأبعاد.

مبدأ تجانس الأبعاد

يؤثر مبدأ فورييه ، المعروف أيضًا باسم مبدأ تجانس الأبعاد ، على هيكلة التعبيرات المناسبة التي تربط الكميات الفيزيائية جبريًا.

إنه مبدأ له اتساق رياضي وينص على أن الخيار الوحيد هو طرح أو إضافة معا بعض القياسات المادية التي لها نفس الطبيعة. لذلك ، لا يمكن إضافة كتلة بطول ، أو وقت بسطح ، إلخ..

وبالمثل ، ينص المبدأ على أنه ، لكي تكون المعادلات المادية صحيحة على مستوى الأبعاد ، يجب أن يكون للشروط الإجمالية لأعضاء جانبي المساواة نفس البعد. يسمح هذا المبدأ بضمان تماسك المعادلات المادية.

مبدأ التشابه

مبدأ التشابه هو امتداد لطبيعة التجانس على المستوى الأبعاد للمعادلات المادية. جاء على النحو التالي:

تظل القوانين الفيزيائية على حالها دون تغيير في أبعاد (حجم) حقيقة واقعة في نفس نظام الوحدات ، سواء كانت تغييرات ذات طابع حقيقي أو وهمي.

يتم تقديم أوضح تطبيق لمبدأ التشابه في تحليل الخواص الفيزيائية لنموذج مصنوع على نطاق أصغر ، لاستخدام النتائج في الكائن لاحقًا بحجم حقيقي.

هذه الممارسة أساسية في مجالات مثل تصميم وتصنيع الطائرات والسفن وفي الأعمال الهيدروليكية الكبيرة.

تطبيقات

من بين العديد من تطبيقات تحليل الأبعاد ، يمكننا تسليط الضوء على تلك المدرجة أدناه.

- تحديد الأخطاء المحتملة في العمليات المنفذة

- حل المشكلات التي يمثل حلها بعض الصعوبات الرياضية التي لا يمكن التغلب عليها.

- تصميم وتحليل النماذج الصغيرة.

- قم بعمل ملاحظات حول كيفية تأثير التعديلات الممكنة في نموذج ما.

بالإضافة إلى ذلك ، يستخدم تحليل الأبعاد في كثير من الأحيان في دراسة ميكانيكا الموائع.

ترجع أهمية تحليل الأبعاد في ميكانيكا الموائع إلى صعوبة إنشاء معادلات في بعض التدفقات بالإضافة إلى صعوبة حلها ، لذلك من المستحيل الحصول على علاقات تجريبية. لذلك ، من الضروري اللجوء إلى الطريقة التجريبية.

تمارين حلها

التمرين الأول

أوجد المعادلة الأبعاد للسرعة والتسارع.

حل

بما أن v = s / t ، صحيح أن: [v] = L / T = L ∙ T^-1

وبالمثل:

أ = ت / ر

[a] = L / T² = L ∙ T^-2

التمرين الثاني

تحديد المعادلة الأبعاد لكمية الحركة.

حل

نظرًا لأن الزخم هو الناتج بين الكتلة والسرعة ، فمن الصحيح أن p = m ∙ v

لذلك:

[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T^-2

مراجع

1. تحليل الأبعاد (n.d.). في ويكيبيديا. تم الاسترجاع في 19 مايو 2018 ، من en.wikipedia.org.
2. تحليل الأبعاد (n.d.). في ويكيبيديا. تم الاسترجاع في 19 مايو 2018 ، من en.wikipedia.org.
3. Langhaar، H. L. (1951) ، تحليل الأبعاد ونظرية النماذج ، وايلي.
4. فيدالجو سانشيز ، خوسيه أنطونيو (2005). الفيزياء والكيمياء. ايفرست
5. ديفيد كاسيدي ، جيرالد جيمس هولتون ، فلويد جيمس راذرفورد (2002). فهم الفيزياء. Birkhäuser.