الخلفية التاريخية للهندسة التحليلية

ال الخلفية التاريخية للهندسة التحليلية يعودون إلى القرن السابع عشر ، عندما حدد بيير دي فيرمات ورينه ديكارت فكرتهما الأساسية. يتبع اختراعه تحديث الجبر والتدوين الجبري لفرانسوا فييت.

هذا المجال له قواعده في اليونان القديمة ، وخاصة في أعمال أبولونيوس وإقليدس ، الذي كان له تأثير كبير في هذا المجال من الرياضيات.

الفكرة الأساسية وراء الهندسة التحليلية هي أن العلاقة بين متغيرين ، بحيث يكون أحدهما دالة للآخر ، يحدد منحنى.

تم تطوير هذه الفكرة لأول مرة من قبل بيير دي فيرمات. بفضل هذا الإطار الأساسي ، تمكن إسحق نيوتن وجوتفريد لايبنيز من تطوير الحساب.

اكتشف الفيلسوف الفرنسي ديكارت أيضًا مقاربة جبرية للهندسة ، على ما يبدو من تلقاء نفسه. يظهر عمل ديكارت في الهندسة في كتابه الشهير خطاب الطريقة.

يشار في هذا الكتاب إلى أن البوصلة والإنشاءات الهندسية للحواف المستقيمة تشتمل على الجمع والطرح والضرب والجذور التربيعية..

تمثل الهندسة التحليلية اتحادًا بين تقاليد مهمة في الرياضيات: الهندسة مثل دراسة الشكل ، والحساب والجبر ، والتي ترتبط بكمية أو أرقام. لذلك ، الهندسة التحليلية هي دراسة مجال الهندسة باستخدام أنظمة الإحداثيات.

تاريخ

خلفية الهندسة التحليلية

تطورت العلاقة بين الهندسة والجبر عبر تاريخ الرياضيات ، على الرغم من أن الهندسة وصلت إلى درجة سابقة من النضج.

على سبيل المثال ، تمكن عالم الرياضيات اليوناني إقليدس من تنظيم العديد من النتائج في كتابه الكلاسيكي العناصر.

ولكن كان أبولونيوس اليوناني القديم لبيرجا هو الذي توقع تطور الهندسة التحليلية في كتابه مخروطي. عرّف المخروط بأنه التقاطع بين المخروط والطائرة.

باستخدام نتائج Euclid في مثلثات متماثلة وتجفيف الدائرة ، وجد علاقة تعطى بواسطة المسافات من أي نقطة "P" للمخروط إلى خطين عموديين ، المحور الرئيسي للمخروط والظل في نقطة أخيرة من المحور. استخدم Apollonius هذه العلاقة لاستنتاج الخصائص الأساسية للمخروطات.

لم يظهر التطور اللاحق لأنظمة الإحداثيات في الرياضيات إلا بعد نضج الجبر بفضل علماء الرياضيات الإسلاميين والهنود.

حتى تم استخدام هندسة عصر النهضة لتبرير حلول لمشاكل الجبر ، ولكن لم يكن هناك الكثير مما يمكن أن تساهم به الجبر في الهندسة.

هذا الموقف سوف يتغير مع اعتماد تدوين مناسب للعلاقات الجبرية وتطوير مفهوم الوظيفة الرياضية ، وهو ما أصبح ممكنًا الآن.

القرن السادس عشر

في نهاية القرن السادس عشر ، قدم عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت أول تدوين جبري منهجي ، باستخدام الحروف لتمثيل الكميات العددية ، المعروفة وغير المعروفة.

كما طور أساليب عامة قوية للعمل التعبيرات الجبرية وحل المعادلات الجبرية.

وبفضل هذا ، لم يكن علماء الرياضيات يعتمدون تمامًا على الأشكال الهندسية والحدس الهندسي لحل المشكلات.

حتى أن بعض علماء الرياضيات بدأوا في التخلي عن طريقة التفكير الهندسية القياسية ، والتي تتوافق مع ذلك المتغيرات الخطية للأطوال والمربعات مع المناطق ، في حين أن المكعب يتوافق مع الأحجام.

كان أول من اتخذ هذه الخطوة الفيلسوف والرياضيات رينيه ديكارت والمحامي والعالم الرياضي بيير دي فيرمات.

أساس الهندسة التحليلية

أسس ديكارت وفيرمات الهندسة التحليلية بشكل مستقل خلال ثلاثينيات القرن العشرين ، من خلال تبني جبر فييت لدراسة الموقع الهندسي.

أدرك هؤلاء علماء الرياضيات أن الجبر كان أداة قوة عظمى في الهندسة واخترع ما يعرف اليوم باسم الهندسة التحليلية.

كان التقدم الذي أحرزوه هو التغلب على Viète باستخدام الحروف لتمثيل المسافات المتغيرة بدلاً من الثبات..

استخدم ديكارت المعادلات لدراسة المنحنيات المحددة هندسيًا ، وسلط الضوء على الحاجة إلى النظر في المنحنيات الجبرية العامة للمعادلات متعددة الحدود في الدرجات "x" و "y".

من جانبه أكد فيرمات أن أي علاقة بين الإحداثيين "x" و "و" تحدد منحنى.

باستخدام هذه الأفكار ، قام بإعادة هيكلة عبارات Apollonius حول المصطلحات الجبرية واستعادة بعض أعماله المفقودة..

أشار فيرما إلى أنه يمكن وضع أي معادلة تربيعية في "x" و "y" في الشكل القياسي لأحد أقسام المخروط. على الرغم من ذلك ، لم ينشر Fermat عمله على الإطلاق.

بفضل التقدم الذي أحرزته ، ما لم يتمكن أرخميدس من حله إلا بصعوبة كبيرة وللحالات المنعزلة ، كان بإمكان فيرمات وديكارت حلها بسرعة ولعدد كبير من المنحنيات (المعروفة الآن باسم المنحنيات الجبرية).

لكن أفكاره اكتسبت القبول العام فقط من خلال جهود علماء الرياضيات الآخرين في النصف الأخير من القرن السابع عشر.

ساعد علماء الرياضيات فرانس فان شوتين وفلوريمون دي بون ويوهان دي ويت في توسيع أعمال ديكارت وأضافوا مواد إضافية مهمة.

تأثير

في إنجلترا ، قام جون واليس بتعميم الهندسة التحليلية. اعتاد المعادلات لتحديد المخروطات واستخلاص خصائصها. على الرغم من أنه استخدم الإحداثيات السلبية بحرية ، إلا أن إسحاق نيوتن هو الذي استخدم محورين مائلين لتقسيم الطائرة إلى أربعة أرباع.

أحدث ثورة نيوتن وجوتفريد لايبنز الألمانية ثورة في الرياضيات في نهاية القرن السابع عشر من خلال إظهار قوة الحساب بشكل مستقل.

أظهر نيوتن أهمية الطرق التحليلية في الهندسة ودورها في حساب التفاضل والتكامل ، عندما أكد أن أي مكعب (أو أي منحنى جبري من الدرجة الثالثة) يحتوي على ثلاثة أو أربعة معادلات قياسية لمحور إحداثيات مناسبة. بمساعدة نيوتن نفسه ، أثبت عالم الرياضيات الاسكتلندي جون ستيرلنغ ذلك في عام 1717.

الهندسة التحليلية من ثلاثة أبعاد وأكثر

على الرغم من أن كلاً من ديكارت وفيرمات اقترحا استخدام ثلاثة إحداثيات لدراسة المنحنيات والأسطح في الفضاء ، إلا أن الهندسة التحليلية ثلاثية الأبعاد تطورت ببطء حتى عام 1730.

أنتج علماء الرياضيات يولر وهيرمان وكليروت معادلات عامة للاسطوانات والأقماع وأسطح الثورة.

على سبيل المثال ، استخدم Euler المعادلات للترجمات في الفضاء لتحويل السطح التربيعي العام ، بحيث تتزامن محاورها الرئيسية مع محاور الإحداثيات الخاصة بها.

قام كل من أويلر ، وجوزيف لويس لاغرانج وجاسبارد مونج بتصميم الهندسة التحليلية بشكل مستقل عن الهندسة التركيبية (وليس التحليلية).

مراجع

1. تطوير الهندسة التحليلية (2001). تعافى من موسوعة
2. تاريخ الهندسة التحليلية (2015). تعافى من maa.org
3. تحليل (رياضيات). تعافى من britannica.com
4. الهندسة التحليلية. تعافى من britannica.com
5. ديكارت وولادة الهندسة التحليلية. تعافى من sciencedirect.com