حساب التقريبية باستخدام التفاضلية

التقريب في الرياضيات هو رقم لا يمثل القيمة الدقيقة لشيء ما ، ولكنه قريب جدًا منه لدرجة أنه يعتبر مفيدًا لتلك القيمة الدقيقة.

عندما يتم إجراء تقريبية في الرياضيات ، يكون من الصعب (أو المستحيل في بعض الأحيان) معرفة القيمة الدقيقة لما هو مطلوب..

الأداة الرئيسية عند العمل مع التقريب هي الفرق بين الوظيفة.

لا يعتبر الفرق بين دالة f ، والمشار إليه بواسطة Δf (x) ، أكثر من مشتق الدالة f مضروب في التغيير في المتغير المستقل ، أي Δf (x) = f '(x) * Δx.

أحيانًا تستخدم df و dx بدلاً من Δf و Δx.

النهج باستخدام الفرق

الصيغة التي يتم تطبيقها لإجراء تقريب خلال الفارق تنشأ بدقة من تعريف مشتق دالة كحد.

هذه الصيغة مقدمة بواسطة:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

من المفهوم هنا أن Δx = x-x0 ، لذلك ، x = x0 + Δx. باستخدام هذا يمكن إعادة صياغة الصيغة كـ

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

تجدر الإشارة إلى أن "x0" ليست قيمة تعسفية ، ولكنها قيمة تُعرف f (x0) بسهولة ؛ بالإضافة إلى ذلك ، "f (x)" هي القيمة التي نريد تقريبها فقط.

هل هناك تقريب أفضل?

الجواب نعم. السابقة هي أبسط التقديرات المسماة "تقريب خطي".

من أجل تقريب أفضل للجودة (الخطأ أصغر) ، يتم استخدام كثيرات الحدود مع مزيد من المشتقات تسمى "كثيرات الحدود تايلور" ، وكذلك الطرق العددية الأخرى مثل طريقة نيوتن رافسون وغيرها..

إستراتيجية

استراتيجية المتابعة هي:

- اختر دالة مناسبة f لإجراء التقريب وتكون القيمة "x" بحيث تكون f (x) هي القيمة التي تريد تقريبها.

- اختر قيمة "x0" ، بالقرب من "x" ، بحيث يسهل حساب f (x0).

- احسب Δx = x-x0.

- حساب مشتق الوظيفة و f '(x0).

- استبدال البيانات في الصيغة.

تمارين تقريب حلها

في ما يحدث هناك سلسلة من التمارين حيث يتم إجراء التقديرات باستخدام الفرق.

التمرين الأول

تقريبا √3.

حل

باتباع الإستراتيجية ، يجب اختيار الوظيفة المناسبة. في هذه الحالة ، يمكن ملاحظة أن الوظيفة المراد اختيارها يجب أن تكون f (x) = √x وأن القيمة التقريبية هي f (3) = √3.

الآن يجب علينا اختيار قيمة "x0" قريبة من "3" حتى يسهل حساب f (x0). إذا اخترت "x0 = 2" ، فهذا يعني أن "x0" قريبة من "3" لكن f (x0) = f (2) = √2 ليس من السهل حسابه.

قيمة "x0" المناسبة هي "4" ، لأن "4" قريبة من "3" وأيضًا f (x0) = f (4) = √4 = 2.

إذا كان "x = 3" و "x0 = 4" ، ثم Δx = 3-4 = -1. ننتقل الآن إلى حساب مشتق f. أي ، f '(x) = 1/2 * √x ، بحيث f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

استبدال جميع القيم في الصيغة التي تحصل عليها:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

إذا تم استخدام الآلة الحاسبة ، فسيتم الحصول عليها بـ √3≈1.73205 ... وهذا يدل على أن النتيجة السابقة تقريب جيد للقيمة الحقيقية.

التمرين الثاني

تقريبا -10.

حل

كما كان من قبل ، يتم اختيارها كدالة f (x) = √x وفي هذه الحالة x = 10.

قيمة x0 التي يجب اختيارها في هذه الفرصة هي "x0 = 9". لدينا بعد ذلك Δx = 10-9 = 1 ، f (9) = 3 و f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

عند التقييم في الصيغة تحصل عليها

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

باستخدام آلة حاسبة ، تحصل على √10 ≈ 3.1622776 ... هنا يمكنك أيضًا أن ترى أنه تم الحصول على تقريب جيد من قبل.

التمرين الثالث

تقريبي ³√10 ، حيث تشير ³√ إلى الجذر التكعيبي.

حل

من الواضح أن الوظيفة التي يجب استخدامها في هذا التمرين هي f (x) = ³√x وقيمة "x" يجب أن تكون "10".

القيمة القريبة من "10" بحيث يعرف جذر المكعب الخاص بها هي "x0 = 8". ثم لدينا Δx = 10-8 = 2 و f (x0) = f (8) = 2. لدينا أيضًا f '(x) = 1/3 * ³√x² ، وبالتالي f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

استبدال البيانات في الصيغة ، يتم الحصول على ما يلي:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .

تقول الآلة الحاسبة أن ³√10 ≈ 2.15443469 ... لذلك ، فإن التقريب الموجود جيد.

التمرين الرابع

بالتقريب ln (1.3) ، حيث تشير "ln" إلى وظيفة اللوغاريتم الطبيعي.

حل

أولاً ، يتم اختيار الدالة f (x) = ln (x) وقيمة "x" هي 1.3. الآن ، ومع معرفة القليل عن وظيفة اللوغاريتم ، يمكننا أن نعرف أن ln (1) = 0 ، وكذلك "1" قريب من "1.3". لذلك ، يتم اختيار "x0 = 1" وهكذا Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

من ناحية أخرى f '(x) = 1 / x ، بحيث f' (1) = 1. عند التقييم في الصيغة المحددة ، يجب عليك:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

عند استخدام الآلة الحاسبة ، يجب عليك أن تساوي (1.3) ≈ 0.262364 ... لذا فإن التقدير التقريبي جيد.

مراجع

1. Fleming، W.، & Varberg، D. E. (1989). الرياضيات التمهيدية. برنتيس هول PTR.
2. Fleming، W.، & Varberg، D. E. (1989). الرياضيات التمهيدية: نهج لحل المشكلات (2 ، مصور إد). ميشيغان: قاعة برنتيس.
3. Fleming، W.، & Varberg، D. (1991). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. بيرسون التعليم.
4. لارسون ، ر. (2010). Precalculus (8 إد.) Cengage التعلم.
5. Leal، J. M.، & Viloria، N. G. (2005). هندسة تحليلية مسطحة. ميريدا - فنزويلا: Editorial Venezolana C. A.
6. بيريز ، سي دي (2006). precalculus. بيرسون التعليم.
7. بورسيل ، جيه. ، فاربرغ ، دي. ، وريجدون ، س. (2007). حساب (الطبعة التاسعة). برنتيس هول.
8. ساينز ، ج. (2005). حساب التفاضل والتكامل التفاضلي مع وظائف متعالية مبكرة للعلوم والهندسة (الطبعة الثانية إد.). وتر المثلث.
9. سكوت ، سي. (2009). هندسة الطائرة الديكارتية ، الجزء: المخروطات التحليلية (1907) (طبع إد.). مصدر البرق.
10. سوليفان ، م. (1997). precalculus. بيرسون التعليم.