المشتقات الجبرية (مع أمثلة)

ال المشتقات الجبرية أنها تتكون في دراسة المشتق في حالة معينة من وظائف الجبرية. أصل فكرة المشتق يعود إلى اليونان القديمة. كان الدافع وراء تطوير هذه الفكرة هو الحاجة إلى حل مشكلتين مهمتين ، واحدة في الفيزياء والآخر في الرياضيات.

في الفيزياء ، يحل المشتق مشكلة تحديد السرعة الآنية لجسم متحرك. في الرياضيات ، يمكنك العثور على خط الظل إلى المنحنى في نقطة معينة.

على الرغم من أن هناك العديد من المشكلات التي يتم حلها باستخدام المشتق ، وكذلك التعميمات ، فإن النتائج التي جاءت بعد إدخال مفهومه.

رواد التفاضل والتكامل التفاضلي هما نيوتن ولايبنز. قبل إعطاء التعريف الرسمي ، سنقوم بتطوير الفكرة من وجهة النظر الرياضية والبدنية.

مؤشر

• 1 مشتق مثل ميل خط الظل إلى منحنى
• 2 المشتق بالسرعة الآنية لجسم متحرك
  • 2.1 وظيفة جبرية
• 3 قواعد الاشتقاق
  • 3.1 مشتقة من ثابت
  • 3.2 مشتق من القوة
  • 3.3 مشتقة من الجمع والطرح
  • 3.4 مشتق من المنتج
  • 3.5 مشتقة من حاصل
  • 3.6 حكم السلسلة
• 4 المراجع

مشتق مثل ميل خط الظل إلى منحنى

افترض أن الرسم البياني للدالة y = f (x) هو رسم بياني مستمر (بدون قمم أو رؤوس أو فواصل) ، وترك A = (a ، f (a)) نقطة ثابتة عليه. نريد أن نجد معادلة خط الظل إلى الرسم البياني للدالة f في النقطة A.

خذ أي نقطة أخرى P = (x ، f (x)) من الرسم البياني ، بالقرب من النقطة A ، وارسم الخط secant الذي يمر عبر A و P. الخط secant هو الخط الذي يقطع الرسم البياني للمنحنى في واحد أو المزيد من النقاط.

للحصول على خط المماس الذي نريده ، نحتاج فقط إلى حساب الميل لأن لدينا بالفعل نقطة على السطر: النقطة A.

إذا قمنا بنقل النقطة P على طول الرسم البياني وجعلناها أقرب وأقرب إلى النقطة A ، فإن خط secant المذكور أعلاه سوف يقترب من الخط المماس الذي نريد العثور عليه. إذا أخذنا الحد الأقصى عندما يكون "P يميل إلى A" ، سيتزامن كلا الخطين ، وبالتالي فإن منحدراته أيضًا.

يتم إعطاء ميل الخط secant بواسطة

أن نقول أن P النهج A يعادل القول بأن "x" تقترب من "a". وبالتالي ، فإن ميل خط الظل إلى الرسم البياني f في النقطة A ، سيكون مساوياً لـ:

يتم التعبير عن التعبير أعلاه بواسطة f '(a) ، ويتم تعريفه على أنه مشتق للدالة f في النقطة "a". نرى حينئذٍ أنه من الناحية التحليلية ، يكون مشتق دالة ما في نقطة ما حدًا ، ولكنه هندسيًا ، هو ميل الخط المماثل إلى الرسم البياني للدالة في النقطة.

الآن سوف نرى هذه الفكرة من وجهة نظر الفيزياء. سنصل إلى نفس التعبير عن الحد السابق ، ولكن بطريقة مختلفة ، نحصل على إجماع التعريف.

مشتق مثل سرعة لحظية لكائن متحرك

دعونا نرى مثالا موجزا لما تعنيه السرعة الفورية. عندما يقال ، على سبيل المثال ، أن السيارة للوصول إلى الوجهة فعلت ذلك بسرعة 100 كم في الساعة ، مما يعني أنها في ساعة واحدة قطعت مسافة 100 كم.

هذا لا يعني بالضرورة أنه خلال الساعة بأكملها كانت السيارة دائمًا على بعد 100 كم ، يمكن أن يكون عداد السرعة للسيارة في بعض اللحظات أقل أو أكثر. إذا كان لديه حاجة للتوقف عند إشارة المرور ، فإن السرعة في تلك اللحظة كانت 0 كم. ومع ذلك ، بعد ساعة واحدة ، كان الطريق 100 كم.

هذا هو ما يُعرف متوسط ​​السرعة ويعطى بواسطة حاصل المسافة التي يتم قطعها بين الوقت المنقضي ، كما رأينا للتو. السرعة الفورية ، من ناحية أخرى ، هي السرعة التي تحدد إبرة عداد السرعة للسيارة في وقت محدد..

دعونا ننظر في هذا الآن بشكل عام. افترض أن جسمًا ما يتحرك على طول خط وأن هذا الإزاحة يتم تمثيله بواسطة المعادلة s = f (t) ، حيث يقيس المتغير t الوقت والمتغير s الإزاحة ، مع مراعاة بدايته في اللحظة t = 0 ، وعندها تكون أيضًا صفرية ، أي f (0) = 0.

تعرف هذه الوظيفة f (t) بوظيفة الموضع.

يتم التعبير عن السرعة الفورية للكائن في لحظة ثابتة "a". في هذه السرعة ، سنشيرها بواسطة V (a).

لتكن أي لحظة قريبة من لحظة "أ". في الفاصل الزمني بين "a" و "t" ، يتم تغيير موضع الكائن بواسطة f (t) -f (a).

متوسط ​​السرعة في هذا الفاصل الزمني هو:

وهو تقريبي للسرعة لحظية V (أ). سيكون هذا التقريب أفضل حيث يقترب t من "a". لذلك,

لاحظ أن هذا التعبير يساوي التعبير الذي تم الحصول عليه في الحالة السابقة ، ولكن من منظور مختلف. هذا ما يُعرف باسم مشتق دالة f في نقطة "a" ويُشار إليه بـ f '(a) ، كما هو مذكور أعلاه.

لاحظ أن إجراء التغيير h = x-a ، لدينا ذلك عندما تميل "x" إلى "a" ، "h" إلى 0 ، ويتم تحويل الحد السابق (مكافئ) إلى:

كلا التعبيرين متساويان ولكن من الأفضل في بعض الأحيان استخدام واحد بدلاً من الآخر ، حسب الحالة.

يُعرّف مشتق الدالة f عمومًا في أي نقطة "x" تنتمي إلى مجالها كـ

التدوين الأكثر شيوعًا لتمثيل مشتق دالة y = f (x) هو الذي رأيناه للتو (f 'o و'). ومع ذلك ، هناك تدوين آخر يستخدم على نطاق واسع وهو تدوين لايبنيز الذي يمثل على أي من التعبيرات التالية:

بالنظر إلى حقيقة أن المشتق هو في الأساس حد ، فقد يكون أو لا يكون موجودًا ، لأن الحدود غير موجودة دائمًا. في حالة وجودها ، يُقال إن الوظيفة المعنية قابلة للتمييز في النقطة المحددة.

وظيفة جبرية

الوظيفة الجبرية هي مزيج من كثير الحدود عن طريق المبالغ والطرح والمنتجات والحصص والقوى والجذور.

كثير الحدود هو تعبير عن الشكل

P_ن= أ_نس^ن+ إلى_{ن 1}س^{ن 1}+ إلى_{ن 2}س^{ن 2}+... +₂س²+ إلى₁س + أ₀

حيث n هو رقم طبيعي وكل_أنا, مع i = 0،1 و ... و n هي أرقام منطقية و_ن≠ 0 في هذه الحالة يقال أن درجة كثير الحدود هذه هي n.

فيما يلي أمثلة للوظائف الجبرية:

هنا لا يتم تضمين الدوال الأسية واللوغاريتمية والدوال المثلثية. قواعد الاشتقاق التي سنراها أدناه صالحة للوظائف بشكل عام ، لكننا سنقيد أنفسنا ونطبقها في حالة الوظائف الجبرية.

تجاوز القواعد

مشتقة من ثابت

يحدد أن مشتق الثابت هو صفر. وهذا هو ، إذا كانت f (x) = c ، ثم f '(x) = 0. على سبيل المثال ، مشتق الدالة الثابتة 2 يساوي 0.

مشتقة من السلطة

إذا كانت f (x) = x^ن, ثم f '(x) = nx^{ن 1}. على سبيل المثال ، مشتق x³ انها 3X². نتيجة لذلك ، نحصل على أن مشتق وظيفة الهوية f (x) = x هو f '(x) = 1x^1-1= س⁰= 1.

مثال آخر هو ما يلي: be f (x) = 1 / x², ثم f (x) = x^-2 و f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

هذه الخاصية هي أيضا جذور صالحة ، لأن الجذور هي قوى عقلانية ويمكنك تطبيق ما سبق أيضا في هذه الحالة. على سبيل المثال ، يتم إعطاء مشتق الجذر التربيعي بواسطة

مشتقة من مبلغ والطرح

إذا كانت f و g وظيفتان مختلفتان في x ، فإن المجموع f + g مختلف أيضًا وأن (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

بشكل مشابه ، لدينا ذلك (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). بمعنى آخر ، مشتق مبلغ (الطرح) ، هو مجموع (أو طرح) المشتقات.

مثال

إذا كان h (x) = x²+س -1 ، ثم

ح '(س) = (س²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

مشتقة من المنتج

إذا كانت f و g وظيفتان مختلفتان في x ، فإن المنتج fg يمكن تمييزه أيضًا في x ويتم الوفاء به

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

نتيجة لذلك ، إذا كان c ثابتًا و f دالة مختلفة في x ، فسيكون cf مختلفًا أيضًا في x و (cf) '(x) = cf' (X).

مثال

إذا كانت f (x) = 3x (x²+1) ، إذن

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²) '+ (1)']

= 3 (1) (س²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (س²+1) + 3x (2x) = 3x²+3 + 6x²

= 9x²+3.

مشتقة من حاصل

إذا كان f و g مختلفان في x و g (x) ≠ 0 ، فسيكون f / g مختلفًا أيضًا في x ، ومن الصحيح أن

على سبيل المثال: إذا كان h (x) = x³/ (س²-5x) ، إذن

h '(x) = [(x³) "(س⁵-5x) - (س³) (س⁵-5x) '] / (x⁵-5X)²= [(3x²) (س⁵-5x) - (س³) (5x⁴-5)] / (س⁵-5X)².

حكم السلسلة

هذه القاعدة تسمح لاشتقاق تكوين الوظائف. يحدد ما يلي: إذا كانت y = f (u) مختلفة في u ، yu = g (x) تكون متباينة في x ، فإن الوظيفة المركبة f (g (x)) تكون متباينة في x ، وهي مقتنعة بأن [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

بمعنى أن مشتق دالة مركبة هو ناتج مشتق الدالة الخارجية (مشتق خارجي) بمشتق الوظيفة الداخلية (مشتق داخلي).

مثال

إذا كانت f (x) = (x⁴-2X)³, ثم

f '(x) = 3 (x⁴-2X)²(خ⁴-2x) '= 3 (x⁴-2X)²(4X³-2).

هناك أيضًا نتائج لحساب مشتق معكوس دالة ما ، وكذلك التعميم على المشتقات ذات الترتيب الأعلى. التطبيقات واسعة النطاق. من بينها أنها تسليط الضوء على أدواتهم المساعدة في مشاكل التحسين والحد الأقصى والحد الأدنى من الوظائف.

مراجع

1. Alarcon، S.، González، M.، & Quintana، H. (2008). حساب التفاضلية. ITM.
2. Cabrera، V. M. (1997). حساب 4000. برنامج التحرير.
3. Castaño، H. F. (2005). الرياضيات قبل الحساب. جامعة ميديلين.
4. إدواردو ، ن. أ. (2003). مقدمة في الحساب. طبعات العتبة.
5. المصادر ، أ. (2016). الرياضيات الأساسية. مقدمة في الحساب. Lulu.com.
6. بورسيل ، إ. ج. ، ريجدون ، س. إ. ، وفاربرغ ، دي. إ. (2007). حساب. بيرسون التعليم.
7. ساينز ، ج. (2005). حساب التفاضلية (الطبعة الثانية). باركيسيميتو: hypotenuse.
8. توماس ج. ب. ووير ، م. د. (2006). الحساب: عدة متغيرات. بيرسون التعليم.