المشتقات المتعاقبة (مع التدريبات التي تم حلها)

ال المشتقات المتعاقبة هي مشتقات دالة بعد المشتقة الثانية. إن عملية حساب المشتقات المتعاقبة هي كما يلي: لدينا دالة f ، والتي يمكننا استنتاجها وبالتالي الحصول على دالة المشتقة f '. بالنسبة إلى مشتق f هذا ، يمكننا استخلاصه مرة أخرى ، والحصول على (f ')'.

وتسمى هذه الوظيفة الجديدة المشتق الثاني. جميع المشتقات المحسوبة من الثانية متتالية ؛ هذه ، تسمى أيضًا الترتيب العالي ، لها تطبيقات رائعة ، مثل إعطاء معلومات حول مخطط الرسم البياني لوظيفة ما ، والاختبار المشتق الثاني للأقصى النسبي وتحديد السلسلة اللانهائية.

مؤشر

• 1 التعريف
  • 1.1 مثال 1
  • 1.2 مثال 2
• 2 السرعة والتسارع
  • 2.1 مثال 1
  • 2.2 مثال 2
• 3 تطبيقات
  • 3.1 الاشتقاق المتضخم
  • 3.2 مثال
  • 3.3 النهايات النسبية
  • 3.4 مثال
  • 3.5 سلسلة تايلور
  • 3.6 مثال
• 4 المراجع

تعريف

باستخدام تدوين Leibniz ، لدينا أن مشتق دالة "و" فيما يتعلق ب "x" هو dy / dx. للتعبير عن المشتق الثاني لكلمة "و" باستخدام علامة Leibniz ، نكتب كما يلي:

بشكل عام ، يمكننا التعبير عن المشتقات المتتالية على النحو التالي مع علامة Leibniz ، حيث تمثل n ترتيب المشتق.

الرموز الأخرى المستخدمة هي التالية:

بعض الأمثلة حيث يمكننا رؤية الرموز المختلفة هي:

مثال 1

الحصول على جميع مشتقات الدالة f المعرفة بواسطة:

باستخدام تقنيات الاشتقاق المعتادة ، لدينا أن مشتق f هو:

بتكرار العملية ، يمكننا الحصول على المشتق الثاني ، المشتق الثالث ، إلخ.

لاحظ أن المشتق الرابع هو صفر ومشتق الصفر هو صفر ، لذلك يتعين علينا:

مثال 2

احسب المشتق الرابع للدالة التالية:

اشتقاق وظيفة معينة لدينا نتيجة لذلك:

السرعة والتسارع

أحد الدوافع التي أدت إلى اكتشاف المشتق هو البحث عن تعريف السرعة الآنية. التعريف الرسمي هو التالي:

دع y = f (t) دالة يصف الرسم البياني لها مسار الجسيم في لحظة تي, ثم سرعتها في لحظة ر تعطى بواسطة:

بمجرد الحصول على سرعة الجسيم ، يمكننا حساب التسارع الفوري ، والذي يعرف على النحو التالي:

التسارع الفوري للجسيم الذي يعطى مساره بواسطة y = f (t) هو:

مثال 1

يتحرك الجسيم على خط وفقًا لوظيفة الموضع:

حيث تقاس "y" بالأمتار و "t" بالثواني.

- في أي لحظة سرعتك هي 0?

- في أي لحظة تسارع الخاص بك هو 0?

عند اشتقاق وظيفة الموضع "و" لدينا أن سرعتها وتسارعها تعطى على التوالي من خلال:

للإجابة على السؤال الأول ، يكفي تحديد الوقت الذي تصبح فيه الوظيفة v صفراً ؛ هذا هو:

نتابع السؤال التالي بشكل مشابه:

مثال 2

يتحرك الجسيم على خط وفقًا لمعادلة الحركة التالية:

حدد "t ، y" و "v" عندما تكون = 0.

مع العلم أن السرعة والتسارع يعطى بواسطة

نستمر في الحصول على:

من خلال القيام = 0 ، لدينا:

من خلالها يمكننا استنتاج أن قيمة t لـ a لتكون مساوية للصفر هي t = 1.

عند تقييم وظيفة الموضع ووظيفة السرعة عند t = 1 ، يتعين علينا:

تطبيقات

الاشتقاق المتضخم

يمكن أيضًا الحصول على المشتقات المتعاقبة بواسطة الاشتقاق الضمني.

مثال

بالنظر إلى القطع الناقص التالي ، ابحث عن "و":

اشتقاق ضمني فيما يتعلق x ، لدينا:

ثم ، من خلال إعادة اشتقاق ضمنيًا فيما يتعلق x ، فإنه يعطينا:

أخيرًا ، لدينا:

ينتهي النسبية

استخدام آخر يمكن أن نقدمه لمشتقات الدرجة الثانية هو حساب النهايات النسبية للدالة.

يخبرنا معيار المشتق الأول للأطراف المحلية المتطرفة أنه إذا كانت لدينا دالة f مستمر في نطاق (a ، b) وكان هناك c ينتمي إلى هذا الفاصل الزمني بحيث يتم إلغاؤه في c (أي ، ذلك c هي نقطة حرجة) ، قد تحدث واحدة من هذه الحالات الثلاث:

- إذا كانت f '(x)> 0 لأي x تنتمي إلى (a، c) و f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- إذا كانت f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 لـ x تنتمي إلى (c ، b) ، ثم f (c) هو الحد الأدنى المحلي.

- إذا كانت f '(x) لها نفس علامة الدخول (أ ، ج) وفي (ج ، ب) ، فهذا يعني أن f (ج) ليست نقطة نهاية محلية.

باستخدام معيار المشتق الثاني ، يمكننا معرفة ما إذا كان العدد الحرج للدالة هو الحد الأقصى أو الحد الأدنى المحلي ، دون الاضطرار إلى معرفة ما هي علامة الدالة في الفواصل المذكورة أعلاه.

يخبرنا معيار الاشتقاق الثاني أنه إذا كانت f '(c) = 0 وأن f "(x) مستمر في (a ، b) ، يحدث ذلك إذا كانت f" (c)> 0 ثم f (c) هي الحد الأدنى المحلي وإذا f "(ج) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

إذا كانت f "(c) = 0 ، فلا يمكننا أن نستنتج أي شيء.

مثال

بالنظر إلى الوظيفة f (x) = x⁴ + (4/3) ׳ - 4X², أوجد القيمة القصوى والصغرى النسبية لـ f عند تطبيق معيار المشتق الثاني.

أولاً نحسب f '(x) و f "(x) ولدينا:

f '(x) = 4x³ + 4X² - 8X

f "(x) = 12x² + 8x - 8

الآن ، f '(x) = 0 if ، وفقط إذا كانت 4x (x + 2) (x - 1) = 0 ، ويحدث هذا عندما x = 0 ، x = 1 أو x = - 2.

لتحديد ما إذا كانت الأرقام الحرجة التي تم الحصول عليها متطرفة نسبيًا ، يكفي تقييمها في f "ومن ثم مراقبة علاماتها.

f "(0) = - 8 ، لذلك f (0) هي الحد الأقصى المحلي.

f "(1) = 12 ، لذلك f (1) هو الحد الأدنى المحلي.

f "(- 2) = 24 ، لذلك f (- 2) هو الحد الأدنى المحلي.

سلسلة تايلور

ليكن f وظيفة محددة كما يلي:

هذه الوظيفة لها دائرة نصف قطرها من التقارب R> 0 ولديها مشتقات من جميع الطلبات في (-R ، R). المشتقات المتعاقبة لـ f تعطينا:

أخذ x = 0 ، يمكننا الحصول على قيم c_ن بناءً على مشتقاته كما يلي:

إذا أخذنا n = 0 كوظيفة f (أي ، f ^ 0 = f) ، فيمكننا إعادة كتابة الوظيفة كما يلي:

الآن فكر في الوظيفة كسلسلة من الصلاحيات في x = a:

إذا أجرينا تحليلاً مماثلاً للتحليل السابق ، فسنضطر إلى كتابة الوظيفة f على النحو التالي:

تعرف هذه السلسلة باسم سلسلة تايلور من f في a. عندما تكون = 0 لدينا حالة معينة تسمى سلسلة Maclaurin. هذا النوع من السلسلة له أهمية رياضية كبيرة خاصة في التحليل الرقمي ، لأنه بفضل هذه يمكننا تحديد وظائف في أجهزة الكمبيوتر مثل^س , الخطيئة (x) و cos (x).

مثال

الحصول على سلسلة ماكلورين ل^س.

لاحظ أنه إذا كانت f (x) = e^س, ثم و^(N)(خ) = ه^س و^(N)(0) = 1 ، وهذا هو السبب في أن سلسلة ماكلورين هي:

مراجع

1. فرانك أيريس ، جيه ، ومندلسون ، إي.. حساب 5ed. مولودية جراو هيل.
2. ليتولد ، L. (1992). الحساب باستخدام الهندسة التحليلية. هارلا ، س.
3. بورسيل ، جيه. ، فاربرغ ، دي. ، وريجدون ، س. (2007). حساب. المكسيك: بيرسون التعليم.
4. ساينز ، ج. (2005). حساب التفاضلية. وتر المثلث.
5. ساينز ، ج.. حساب التفاضل والتكامل الشامل. وتر المثلث.