حالات الكسور الجزئية والأمثلة

ال الكسور الجزئية إنها كسور مكونة من كثير الحدود ، حيث يمكن أن يكون المقام متعدد الحدود خطيًا أو تربيعيًا ، بالإضافة إلى أنه يمكن رفعه إلى بعض القوة. في بعض الأحيان ، عندما يكون لدينا وظائف عقلانية ، من المفيد جدًا إعادة كتابة هذه الوظيفة كمجموع من الكسور الجزئية أو الكسور البسيطة.

هذا لأننا بهذه الطريقة يمكننا التعامل مع هذه الوظائف بطريقة أفضل ، خاصةً في الحالات التي يكون فيها من الضروري دمج هذا التطبيق. الوظيفة المنطقية هي ببساطة الحاصل بين كثير الحدود ، وقد تكون مناسبة أو غير مناسبة.

إذا كانت درجة كثير الحدود للبسط أصغر من المقام ، فسوف تُسمى وظيفتها العقلانية ؛ خلاف ذلك ، فمن المعروف باسم وظيفة عقلانية غير لائقة.

مؤشر

• 1 التعريف
• 2 حالات
  • 2.1 الحالة 1
  • 2.2 الحالة 2
  • 2.3 الحالة 3
  • 2.4 الحالة 4
• 3 تطبيقات
  • 3.1 حساب شامل
  • 3.2 قانون العمل الجماعي
  • 3.3 المعادلات التفاضلية: المعادلة اللوجستية
• 4 المراجع

تعريف

عندما يكون لدينا وظيفة عقلانية غير صحيحة ، يمكننا تقسيم كثير الحدود للبسط بين كثير الحدود للمقام ومن ثم إعادة كتابة الكسر p (x) / q (x) ، باتباع خوارزمية التقسيم كـ t (x) + s (x) / q (x) ، حيث t (x) متعدد الحدود و s (x) / q (x) هي وظيفة عقلانية خاصة بها.

الكسر الجزئي هو أي وظيفة متعددة الحدود ، التي يكون قاسمها (الفأس + ب)^ن (الفأس)²+ بيكسل + ج)^ن, إذا كان الفأس متعدد الحدود² + bx + c ليس له جذور حقيقية و n هو رقم طبيعي.

لإعادة كتابة دالة عقلانية في الكسور الجزئية ، فإن أول ما يجب فعله هو معامل المقام q (x) كمنتج من العوامل الخطية و / أو التربيعية. بمجرد القيام بذلك ، يتم تحديد الكسور الجزئية ، والتي تعتمد على طبيعة العوامل المذكورة.

الحالات

نحن نعتبر عدة حالات على حدة.

القضية 1

عوامل q (x) كلها خطية ولا يتم تكرار أي منها. هذا هو:

q (x) = (a₁س + ب₁) (أ₂س + ب₂) ... (_الصورةس + ب_الصورة)

هناك ، لا يوجد عامل خطي مماثل لعامل آخر. عندما تحدث هذه الحالة سنكتب:

p (x) / q (x) = A₁/ (أ₁س + ب₁) +₂/ (أ₂س + ب₂) ... +_الصورة/ (أ_الصورةس + ب_الصورة).

أين أ₁,A₂,... ، أ_الصورة هي الثوابت التي تريد العثور عليها.

مثال

نود أن نتحلل الوظيفة المنطقية إلى كسور بسيطة:

(س - 1) / (س³+3X²+2X)

ننتقل إلى تحديد عامل المقام ، أي:

س³ + 3X² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

ثم:

(س - 1) / (س³+3X²+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

بتطبيق المضاعفات الأقل شيوعًا ، يمكنك الحصول على:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

نريد الحصول على قيم الثوابت A و B و C ، والتي يمكن العثور عليها عن طريق استبدال الجذور التي تلغي كل من المصطلحات. استبدال 0 لـ x لدينا:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

أ = - 1/2.

استبدال - 1 لـ x لدينا:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - ب

ب = 2.

استبدال - 2 لـ x لدينا:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

ج = -3/2.

بهذه الطريقة ، يتم الحصول على القيم A = -1/2 ، B = 2 و C = -3/2..

هناك طريقة أخرى للحصول على قيم A و B و C. إذا كانت على الجانب الأيمن من المعادلة x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) س نجمع المصطلحات ، لدينا:

x - 1 = (A + B + C) x² + (3A + 2B + C) x + 2A.

بما أن هذه تساوي كثير الحدود ، يجب أن تكون معاملات الجانب الأيسر مساوية لمعاملات الجانب الأيمن. ينتج عن هذا نظام المعادلات التالي:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

عند حل نظام المعادلات هذا ، نحصل على النتائج A = -1/2 ، B = 2 و C = -3/2.

أخيرًا ، استبدال القيم التي حصلنا عليها:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

القضية 2

عوامل q (x) كلها خطية ويتكرر بعضها. لنفترض أن (الفأس + ب) عامل يتكرر مرات "s" ؛ ثم ، لهذا العامل تتوافق مع مجموع الكسور الجزئية "s".

A_الصورة/ (الفأس + ب)^الصورة + A_{الصورة 1}/ (الفأس + ب)^{الصورة 1} +... +₁/ (الفأس + ب).

حيث أ_الصورة,A_{الصورة 1},... ، أ₁ هم الثوابت التي يتعين تحديدها. مع المثال التالي سنبين كيفية تحديد هذه الثوابت.

مثال

تتحلل إلى كسور جزئية:

(س - 1) / (س²(س - 2)³)

نكتب الوظيفة المنطقية كمجموع الكسور الجزئية كما يلي:

(س - 1) / (س²(س - 2)³) = أ / س² + B / x + C / (x - 2)³ + D / (س - 2)² + E / (س - 2).

ثم:

س - 1 = أ (س - 2)³ + ب (س - 2)³س + س س² + D (س - 2) س² + E (س - 2)²س²

استبدال 2 لـ x ، علينا:

7 = 4C ، وهذا هو ، C = 7/4.

استبدال 0 لـ x لدينا:

- 1 = -8A أو A = 1/8.

استبدال هذه القيم في المعادلة السابقة والنامية ، يتعين علينا:

س - 1 = 1/8 (س³ - 6X² + 12x - 8) + Bx (x³ - 6X² + 12x - 8) + 7 / 4x² +DX³ - 2DX² + سابق²(خ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x² +(3/2 - 8B) × - 1.

عن طريق مطابقة المعاملات ، نحصل على نظام المعادلات التالي:

B + E = 0 ؛

1/8 - 6B + D - 4E = 1 ؛

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

حل النظام ، لدينا:

ب = 3/16 ؛ D = 5/4 ؛ E = - 3/16.

لهذا السبب ، علينا:

(س - 1) / (س²(س - 2)³) = (1/8) / س² + (3/16) / س + (7/4) / (س - 2)³ + (5/4) / (س - 2)² - (3/16) / (س - 2).

القضية 3

عوامل q (x) خطية تربيعية ، دون تكرار أي عامل تربيعي. لهذه الحالة العامل التربيعي (الفأس² + bx + c) يتوافق مع الكسر الجزئي (ax + B) / (ax)² + bx + c) ، حيث الثوابتان A و B هما الثوابت التي تريد تحديدها.

يوضح المثال التالي كيفية المتابعة في هذه الحالة

مثال

تتحلل إلى كسور بسيطة أ (س + 1) / (س³ - 1).

أولاً ننتقل إلى عامل المقام ، والذي يعطينا نتيجة لذلك:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

يمكننا أن نرى ذلك (س² + x + 1) كثير الحدود من الدرجة الثانية غير القابلة للاختزال ؛ وهذا هو ، ليس لديها جذور حقيقية. سيكون تحللها إلى أجزاء جزئية كما يلي:

(س + 1) / (س - 1) (س² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x² + × +1)

من هذا نحصل على المعادلة التالية:

x + 1 = (A + B) x² +(A - B + C) x + (A - C)

باستخدام المساواة بين كثير الحدود ، نحصل على النظام التالي:

A + B = 0 ؛

A - B + C = 1 ؛

أ - ج = 1 ؛

من هذا النظام لدينا A = 2/3 ، B = - 2/3 و C = 1/3. استبدال ، يجب علينا:

(س + 1) / (س - 1) (س² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x² + × +1).

القضية 4

أخيرًا ، الحالة 4 هي الحالة التي تكون فيها عوامل q (x) خطية ومن الدرجة الثانية ، حيث تتكرر بعض العوامل الخطية التربيعية.

في هذه الحالة ، نعم (الفأس² + bx + c) عامل تربيعي يتكرر مرات "s" ، ثم الكسر الجزئي المقابل للعامل (ax)² + bx + c) ستكون:

(A₁س + ب) / (الفأس² + bx + c) + ... + (A_{الصورة 1}س + ب_{الصورة 1}) / (الفأس)² + بيكسل + ج)^{الصورة 1} + (A_الصورةس + ب_الصورة) / (الفأس)² + بيكسل + ج)^الصورة

حيث أ_الصورة, A_{الصورة 1},... ، ألف وباء_الصورة, B_{الصورة 1},... ، B هي الثوابت التي تريد تحديدها.

مثال

نريد تقسيم الوظيفة المنطقية التالية إلى كسور جزئية:

(س - 2) / (س (س² - 4x + 5)²)

مثل س² - 4x + 5 عامل تربيعي غير قابل للاختزال ، ولدينا أن تحلله إلى كسور جزئية يعطى بواسطة:

(س - 2) / (س (س² - 4x + 5)²) = A / x + (Bx + C) / (x² - 4x + 5) + (Dx + E) / (x² - 4x + 5)²

تبسيط وتطوير ، لدينا:

س - 2 = أ (س² - 4x + 5)² + (Bx + C) (x² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x⁴ + (- 8A - 4B + C) x³ + (26A + 5B - 4C + D) x² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

من أعلاه لدينا نظام المعادلات التالي:

A + B = 0 ؛

- 8A - 4B + C = 0 ؛

26A + 5B - 4C + D = 0 ؛

- 40A + 5C + E = 1 ؛

25A = 2.

عند حل النظام ، يتعين علينا:

A = - 2/25 ، B = 2/25 ، C = - 8/25 ، D = 2/5 و E = - 3/5.

عند استبدال القيم التي حصلنا عليها:

(س - 2) / (س (س² - 4x + 5)²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x² - 4x + 5) + (2x - 3) / 5 (x² - 4x + 5)²

تطبيقات

حساب شامل

تستخدم الكسور الجزئية بشكل أساسي لدراسة حساب التفاضل والتكامل المتكامل. سنرى أدناه بعض الأمثلة عن كيفية عمل تكاملات باستخدام الكسور الجزئية.

مثال 1

نريد حساب تكامل:

يمكننا أن نرى أن المقام q (x) = (t + 2)²(t + 1) تتكون من عوامل خطية حيث يتكرر أحد هذه العوامل ؛ لهذا نحن في الحالة 2.

يجب علينا:

1 / (ر + 2)²(t + 1) = A / (t + 2)² +B / (t + 2) + C / (t + 1)

نعيد كتابة المعادلة ولدينا:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)²

إذا كانت t = - 1 ، يتعين علينا:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = ج

إذا كانت t = - 2 ، فهذا يعطينا:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

أ = - 1

ثم ، إذا كانت t = 0:

1 = أ (1) + ب (2) (1) + ج (2)

استبدال قيم A و C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

من أعلاه لدينا أن B = - 1.

نعيد كتابة المكمل كـ:

ننتقل إلى حلها بطريقة الاستبدال:

هذه النتائج في:

مثال 2

حل المكمل التالي:

في هذه الحالة ، يمكننا أن نعامل q (x) = x² - 4 كـ q (x) = (x - 2) (x + 2). من الواضح أننا في الحالة 1. لذلك:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

يمكن التعبير عنها أيضًا على النحو التالي:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

إذا كانت x = - 2 ، لدينا:

- 12 = أ (0) + ب (- 4)

ب = 3

وإذا كانت x = 2:

8 = أ (4) + ب (0)

أ = 2

وبالتالي ، يتعين علينا حل التكامل المعطى يعادل الحل:

هذا يعطينا نتيجة لذلك:

مثال 3

حل متكامل:

لدينا q (x) = 9x⁴ + س² , يمكننا عامل في q (x) = x²(9X² + 1).

في هذه المناسبة لدينا عامل خطي متكرر وعامل تربيعي. وهذا هو ، ونحن في حالة 3.

يجب علينا:

1 / س²(9X² + 1) = أ / س² + B / x + (Cx + D) / (9x² + 1)

1 = أ (9 أضعاف)² + 1) + Bx (9x² + 1) + Cx² + DX²

تجميع واستخدام المساواة بين كثير الحدود ، لدينا:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

1 =

ب = 0 ؛

9A + D = 0 ؛

9B + C = 0

من نظام المعادلات هذا يجب علينا:

D = - 9 و C = 0

بهذه الطريقة ، لدينا:

بحل ما ورد أعلاه ، لدينا:

قانون العمل الجماعي

يوجد تطبيق مثير للاهتمام للكسور الجزئية المطبقة على حساب التفاضل والتكامل المتكامل في الكيمياء ، وبشكل أكثر دقة في قانون العمل الجماعي.

لنفترض أن لدينا مادتين ، A و B ، تتحدان وتشكلان مادة C ، بحيث يكون مشتق كمية C فيما يتعلق بالوقت متناسباً مع ناتج كميات A و B في أي لحظة معينة..

يمكننا التعبير عن قانون العمل الجماعي على النحو التالي:

في هذا التعبير ، α هي الكمية الأولية للغرامات المقابلة لـ A و β الكمية الأولية للجرامات المقابلة لـ B.

بالإضافة إلى ذلك ، تمثل r و s عدد غرامات A و B على التوالي التي تتحد لتشكل غرام r + s من C. من جانبها ، يمثل x عدد غرامات المادة C في الوقت t ، و K هو ثابت التناسب. يمكن إعادة كتابة المعادلة أعلاه على النحو التالي:

إجراء التغيير التالي:

لدينا أن المعادلة تصبح:

من هذا التعبير يمكننا الحصول على:

حيث yes a ≠ b ، يمكن استخدام الكسور الجزئية للتكامل.

مثال

خذ على سبيل المثال المادة C التي تنشأ من الجمع بين المادة A مع B ، بحيث يتم استيفاء قانون الجماهير عندما تكون قيمتي a و b هي 8 و 6 على التوالي. إعطاء المعادلة التي تعطينا قيمة غرام من C كدالة للوقت.

استبدال القيم في قانون كتلة معين ، لدينا:

عند فصل المتغيرات لدينا:

يمكن كتابة 1 / (8 - x) (6 - x) كمجموع من الكسور الجزئية ، كما يلي:

وبالتالي ، 1 = A (6 - س) + B (8 - س)

إذا استبدلنا x بـ 6 ، فلدينا B = 1/2 ؛ واستبدال x لمدة 8 ، لدينا A = - 1/2.

دمج الكسور الجزئية لدينا:

هذا يعطينا نتيجة لذلك:

المعادلات التفاضلية: المعادلة اللوجستية

تطبيق آخر يمكن أن يعطى للكسور الجزئية هو في المعادلة التفاضلية اللوجستية. في نماذج بسيطة ، لدينا أن معدل نمو السكان يتناسب مع حجمها ؛ هذا هو:

هذه الحالة مثالية وتعتبر واقعية إلى أن يحدث أن الموارد المتاحة في نظام ما غير كافية للحفاظ على السكان.

في هذه الحالات يكون من المنطقي أكثر التفكير في أن هناك سعة قصوى ، والتي سنسميها L ، يمكن للنظام تحملها ، وأن معدل النمو يتناسب مع حجم السكان مضروبًا في الحجم المتاح. تؤدي هذه الوسيطة إلى المعادلة التفاضلية التالية:

هذا التعبير يسمى المعادلة التفاضلية اللوجستية. إنها معادلة تفاضلية يمكن فصلها ويمكن حلها بطريقة التكامل من خلال الكسور الجزئية.

مثال

على سبيل المثال ، يجب مراعاة عدد السكان الذي ينمو وفقًا للمعادلة التفاضلية اللوجستية التالية y '= 0.0004y (1000 - y) ، التي تبلغ بياناتها الأولية 400. نود معرفة حجم السكان في الوقت t = 2 ، حيث يتم قياس t منذ سنوات.

إذا كتبنا a و 'مع تدوين Leibniz كدالة تعتمد على t ، فيتعين علينا:

يمكن حل جزء الجانب الأيسر باستخدام طريقة التكامل عن طريق الكسور الجزئية:

يمكن إعادة كتابة هذه المساواة الأخيرة كما يلي:

- استبدال y = 0 لدينا يساوي 1/1000.

- استبدال y = 1000 لدينا أن B تساوي 1/1000.

مع هذه القيم ، يتم ترك التكامل كما يلي:

الحل هو:

باستخدام البيانات الأولية:

عند المقاصة وتركنا:

ثم لدينا ذلك في t = 2:

في الختام ، بعد 2 سنوات حجم السكان ما يقرب من 597.37.

مراجع

1. أ ، ر. أ. (2012). الرياضيات 1. جامعة الانديز. مجلس المنشورات.
2. كورتيز ، آي. ، وسانشيز ، سي.. 801 تكامل حلها. الجامعة الوطنية التجريبية لتاشيرا.
3. ليتولد ، L. (1992). الحساب باستخدام الهندسة التحليلية. هارلا ، س.
4. بورسيل ، جيه. ، فاربرغ ، دي. ، وريجدون ، س. (2007). حساب. المكسيك: بيرسون التعليم.
5. ساينز ، ج.. حساب التفاضل والتكامل الشامل. وتر المثلث.