الهندسة التحليلية ما الدراسات والتاريخ والتطبيقات

ال الهندسة التحليلية دراسة الخطوط والأشكال الهندسية من خلال تطبيق تقنيات الجبر الأساسية والتحليل الرياضي في نظام إحداثيات محدد.

وبالتالي ، فإن الهندسة التحليلية هي فرع من الرياضيات يحلل بالتفصيل جميع بيانات الأشكال الهندسية ، أي الحجم والزوايا والمنطقة ونقاط التقاطع ومسافاتها وغيرها..

السمة الأساسية للهندسة التحليلية هي أنها تسمح بتمثيل الأشكال الهندسية من خلال الصيغ.

على سبيل المثال ، يتم تمثيل الدوائر بمعادلات متعددة الحدود من الدرجة الثانية ، بينما يتم التعبير عن الخطوط بمعادلات متعددة الحدود من الدرجة الأولى.

ظهرت الهندسة التحليلية في القرن السابع عشر بسبب الحاجة إلى تقديم إجابات للمشاكل التي لم يكن لها حل حتى الآن. كما كان الممثل الأعلى رينيه ديكارت وبيير دي فيرمات.

في الوقت الحالي ، يشير العديد من المؤلفين إلى ذلك على أنه إبداع ثوري في تاريخ الرياضيات ، لأنه يمثل بداية الرياضيات الحديثة.

مؤشر

• 1 تاريخ الهندسة التحليلية
  • 1.1 الممثلون الرئيسيون للهندسة التحليلية
  • 1.2 بيير دي فيرمات
  • 1.3 رينيه ديكارت
• 2 العناصر الأساسية للهندسة التحليلية 
  • 2.1 نظام الإحداثيات الديكارتية
  • 2.2 أنظمة الإحداثيات المستطيلة
  • 2.3 نظام الإحداثيات القطبية 
  • 2.4 المعادلة الديكارتية للخط
  • 2.5 خط مستقيم
  • 2.6 المخروطيات
  • 2.7 محيط
  • 2.8 بارابولا
  • 2.9 القطع الناقص 
  • 2.10 التشنج الزائد
• 3 تطبيقات
  • 3.1 طبق الأقمار الصناعية
  • 3.2 تعليق الجسور
  • 3.3 التحليل الفلكي
  • 3.4 تلسكوب Cassegrain
• 4 المراجع

تاريخ الهندسة التحليلية

ينشأ مصطلح الهندسة التحليلية في فرنسا في القرن السابع عشر بسبب الحاجة إلى تقديم إجابات للمشاكل التي لا يمكن حلها باستخدام الجبر والهندسة بمعزل ، ولكن الحل كان في الاستخدام المشترك لكليهما.

الممثلون الرئيسيون للهندسة التحليلية

خلال القرن السابع عشر ، أجرى شخصان فرنسيان ، عن طريق الصدفة ، تحقيقات انتهت بطريقة أو بأخرى إلى إنشاء هندسة تحليلية. كان هؤلاء الناس بيير دي فيرمات ورينيه ديكارت.

في الوقت الحالي ، يعتبر أن المبدع الهندسي التحليلي هو رينيه ديكارت. هذا لأنه نشر كتابه قبل كتاب فيرما وأيضاً العمق مع ديكارت يتناول موضوع الهندسة التحليلية.

ومع ذلك ، اكتشف كل من فيرمات وديكارت أنه يمكن التعبير عن الخطوط والأشكال الهندسية بواسطة المعادلات ويمكن التعبير عن المعادلات كخطوط أو أشكال هندسية.

وفقًا للاكتشافات التي توصل إليها الاثنان ، يمكن القول أن كليهما منشئي الهندسة التحليلية.

بيير دي فيرمات

كان بيير دي فيرمات عالم رياضيات فرنسي وُلد في عام 1601 وتوفي عام 1665. خلال حياته درس هندسة إقليدس وأبولونيوس وبابوس ، من أجل حل مشاكل القياس التي كانت موجودة في ذلك الوقت..

في وقت لاحق أثارت هذه الدراسات إنشاء الهندسة. انتهى بهم المطاف في التعبير عنه في كتابه "مقدمة إلى الأماكن المسطحة والصلبة"(Ad Locos Planes et Solidos Isagoge) ، الذي نشر بعد 14 عامًا من وفاته عام 1679.

طبق بيير دي فيرمات في 1623 الهندسة التحليلية على نظريات أبولونيوس في الأماكن الهندسية. كان هو أيضًا من قام بتطبيق الهندسة التحليلية لأول مرة على الفضاء ذي الأبعاد الثلاثة.

رينيه ديكارت

المعروف أيضا باسم Cartesius كان عالم الرياضيات والفيزياء والفيلسوف الذي ولد في 31 مارس 1596 في فرنسا وتوفي في عام 1650.

نشر رينيه ديكارت كتابه عام 1637. "الخطاب عن طريقة القيادة الصحيحة عن طريق البحث عن الحقيقة في العلم"معروف باسم"الطريقة"ومن هناك تم تقديم مصطلح الهندسة التحليلية للعالم. كان أحد الملاحق "الهندسة".

العناصر الأساسية للهندسة التحليلية 

تتكون الهندسة التحليلية من العناصر التالية:

نظام الإحداثيات الديكارتية

سمي هذا النظام باسم رينيه ديكارت.

لم يكن هو الذي أطلق عليه اسمه ، أو الذي أكمل نظام الإحداثيات الديكارتية ، لكنه كان الشخص الذي تحدث عن الإحداثيات بأعداد إيجابية تسمح لعلماء المستقبل باستكمالها..

يتكون هذا النظام من نظام الإحداثيات المستطيل ونظام الإحداثيات القطبية.

أنظمة الإحداثيات المستطيلة

يُطلق عليه أنظمة الإحداثيات المستطيلة إلى المستوى المكون من خط سطرين رقميين عموديين على بعضهما البعض ، حيث تتزامن نقطة القطع مع الصفر المشترك.

ثم يتكون هذا النظام من خط أفقي وخط عمودي.

الخط الأفقي هو محور X أو محور abscissa. سيكون الخط العمودي محور Y أو محور الإحداثيات.

نظام الإحداثيات القطبية 

هذا النظام مسؤول عن التحقق من الموضع النسبي لنقطة ما فيما يتعلق بخط ثابت ونقطة ثابتة على الخط.

المعادلة الديكارتية للخط

يتم الحصول على هذه المعادلة من خط عندما يتم معرفة نقطتين حيث يحدث نفس الشيء.

خط مستقيم

إنه لا ينحرف وبالتالي لا يوجد لديه منحنيات أو زوايا.

مخروطي

إنها المنحنيات المحددة بواسطة الخطوط المستقيمة التي تمر عبر نقطة ثابتة ونقاط المنحنى.

القطع الناقص ومحيط القطع المكافئ والقطع الزائد هي منحنيات مخروطية. بعد ذلك ، يتم وصف كل واحد منهم.

مقاس

يطلق عليه محيط المنحنى المسطح المغلق الذي تتشكل من جميع نقاط الطائرة التي تتساوى مع نقطة داخلية ، أي ، في وسط المحيط.

المثل

هذا هو موضع نقاط الطائرة التي تتساوى من نقطة ثابتة (التركيز) وخط ثابت (directrix). لذلك ، فإن المبدأ التوجيهي والتركيز هما ما يحددان المكافئ.

يمكن الحصول على القطع المكافئ كقسم من السطح المخروطي للثورة بواسطة طائرة موازية للجيل العام.

القطع الناقص 

ويطلق عليه القطع الناقص إلى المنحنى المغلق الذي يصف نقطة عند التحرك في طائرة بحيث يكون مجموع مسافاتها إلى نقطتين ثابتتين (تسمى البؤر) ثابتًا.

القطع الزائد

Hyperbola هو المنحنى المعرّف على أنه موضع نقاط الطائرة ، حيث يكون الفرق بين مسافات نقطتين ثابتتين (بؤرة) ثابتًا.

للقطع الزائد محور التماثل الذي يمر عبر البؤر ، يسمى المحور البؤري. كما أن لديها مقطعًا آخر يمثل عموديًا للقطعة التي حددت نقاطًا بالحد الأقصى.

تطبيقات

هناك تطبيقات متنوعة للهندسة التحليلية في مناطق مختلفة من الحياة اليومية. على سبيل المثال ، يمكننا أن نجد القطع المكافئ ، أحد العناصر الأساسية للهندسة التحليلية ، في العديد من الأدوات المستخدمة يوميًا اليوم. بعض هذه الأدوات هي التالية:

طبق الأقمار الصناعية

تحتوي الهوائيات المكافئة على عاكس تم إنشاؤه كنتيجة للمكافئ الذي يدور على محور الهوائي المذكور. السطح الذي يتم إنشاؤه نتيجة لهذا الإجراء يسمى بارابولويد.

تُسمى هذه السعة من القطع المكافئ خاصية بصرية أو خاصية انعكاس لمظلة مكافئ ، وبفضل هذا ، من الممكن أن يعكس البارابولويد الموجات الكهرومغناطيسية التي تتلقاها من آلية التغذية التي تشكل الهوائي.

معلقة الجسور

عندما يحمل الحبل وزنًا متجانسًا ، ولكنه في الوقت نفسه أكبر بكثير من وزن الحبل نفسه ، ستكون النتيجة قطعًا مكافئًا..

هذا المبدأ ضروري لبناء جسور التعليق ، والتي عادة ما تدعمها هياكل واسعة من الكابلات الفولاذية.

تم استخدام مبدأ القطع المكافئ في الجسور المعلقة في هياكل مثل جسر البوابة الذهبية الذي يقع في مدينة سان فرانسيسكو بالولايات المتحدة أو الجسر العظيم لمضيق أكاشي الواقع في اليابان ويربط جزيرة Awaji مع هونشو ، الجزيرة الرئيسية في ذلك البلد.

التحليل الفلكي

الهندسة التحليلية لها أيضا استخدامات محددة جدا وتحديد في مجال علم الفلك. في هذه الحالة ، فإن عنصر الهندسة التحليلية الذي يأخذ مركز الصدارة هو القطع الناقص. قانون حركة كواكب يوهانس كبلر هو انعكاس لذلك.

قرر كبلر ، عالم الرياضيات وعلم الفلك الألماني ، أن القطع الناقص كان المنحنى الذي أتاح حركة المريخ بشكل أفضل ؛ سبق له أن جرب النموذج الدائري الذي اقترحه كوبرنيكوس ، ولكن في خضم تجاربه ، استنتج أن القطع الناقص كان يستخدم لرسم مدار مشابه تمامًا لكوكب الأرض الذي درسه..

بفضل القطع الناقص ، تمكن كيبلر من تأكيد أن الكواكب تحركت في مدارات بيضاوية. كان هذا الاعتبار هو إعلان ما يسمى بالقانون الثاني لكبلر.

من هذا الاكتشاف ، الذي أثرى في وقت لاحق الفيزيائي الإنجليزي وعالم الرياضيات إسحاق نيوتن ، كان من الممكن دراسة الحركات المدارية للكواكب ، وزيادة المعرفة التي كانت لدينا حول الكون الذي نحن جزء منه.

تلسكوب كاسيجرين

سمي تلسكوب كاسيجرين على اسم مخترعه الفيزيائي الفرنسي المولد لوران كاسيجرين. في هذا التلسكوب ، يتم استخدام مبادئ الهندسة التحليلية لأنها تتكون أساسًا من مرآتين: الأولى مقعرة ومكافئة ، والثانية تتميز بأنها محدبة وزائدية.

يسمح موقع وطبيعة هذه المرايا بعدم حدوث الخلل المعروف باسم الانحراف الكروي ؛ هذا العيب يمنع أشعة الضوء من أن تنعكس في بؤرة عدسة معينة.

يعد تلسكوب Cassegrain مفيدًا جدًا في مراقبة الكواكب ، إلى جانب كونه متنوعًا للغاية ويسهل التعامل معه.

مراجع

1. الهندسة التحليلية. تم الاسترجاع في 20 أكتوبر 2017 ، من britannica.com
2. الهندسة التحليلية. تم الاسترجاع في 20 أكتوبر 2017 ، من encyclopediafmath.org
3. الهندسة التحليلية. تم الاسترجاع في 20 أكتوبر 2017 ، من موقع khancademy.org
4. الهندسة التحليلية. تم الاسترجاع في 20 أكتوبر 2017 ، من wikipedia.org
5. الهندسة التحليلية. تم الاسترجاع في 20 أكتوبر 2017 ، من whitman.edu
6. الهندسة التحليلية. تم الاسترجاع في 20 أكتوبر 2017 ، من موقع stewartcalculus.com
7. هندسة الطائرة التحليلية. تم الاسترداد في 20 أكتوبر 2017