تاريخ الهندسة الإقليدية ، المفاهيم الأساسية والأمثلة

ال الهندسة الإقليدية يتوافق مع دراسة خصائص المساحات الهندسية حيث تكون البديهيات من إقليدس راضية. في حين يستخدم هذا المصطلح في بعض الأحيان ليشمل الأشكال الهندسية ذات الأبعاد المتفوقة ذات الخصائص المتشابهة ، فإنه عادة ما يكون مرادفًا للهندسة الكلاسيكية أو الهندسة المسطحة..

في القرن الثالث كتب جيم اقليدس وتلاميذه عناصر, العمل الذي شمل المعرفة الرياضية في الوقت الموهوب بهيكل استنتاجي منطقي. منذ ذلك الحين ، أصبحت الهندسة علمًا ، في البداية لحل المشكلات الكلاسيكية وتطورت لتصبح علمًا تكوينيًا يساعد في التفكير.

مؤشر

• 1 التاريخ
• 2 مفاهيم أساسية
  • 2.1 المفاهيم الشائعة
  • 2.2 المسلمات أو البديهيات
• 3 أمثلة
  • 3.1 المثال الأول
  • 3.2 المثال الثاني
  • 3.3 المثال الثالث
• 4 المراجع

تاريخ

للحديث عن تاريخ الهندسة الإقليدية ، من الضروري أن نبدأ مع إقليدس الإسكندرية و عناصر.

عندما كانت مصر بين يدي بطليموس الأول ، بعد وفاة الإسكندر الأكبر ، بدأ مشروعه في مدرسة بالإسكندرية.

كان من بين الحكماء الذين درسوا في المدرسة إقليدس. ومن المتوقع أن تاريخ ميلاده حوالي 325 أ. ج. ووفاته من 265 أ. ج. يمكننا أن نعرف على وجه اليقين أنه ذهب إلى مدرسة أفلاطون.

لأكثر من ثلاثين عامًا قام بتدريس إقليدس في الإسكندرية ، وقام ببناء عناصره الشهيرة: بدأ بكتابة وصف شامل للرياضيات في عصره. أنتجت تعاليم إقليدس تلاميذ ممتازين ، مثل أرخميدس وأبولونيوس في بيرغا.

إقليدس كان مسؤولا عن هيكلة الاكتشافات المتباينة لليونانيين الكلاسيكيين في عناصر, ولكن على عكس سابقاتها ، فإنها لا تقتصر على التأكيد على أن النظرية صحيحة ؛ إقليدس يقدم مظاهرة.

ال عناصر هم خلاصة لثلاثة عشر كتابا. بعد الكتاب المقدس ، هو أكثر الكتب المنشورة ، مع أكثر من ألف طبعة.

ال عناصر هي تحفة إقليدس في مجال الهندسة ، وتقدم معالجة نهائية للهندسة ذات البعدين (الطائرة) وثلاثة أبعاد (الفضاء) ، وهذا هو أصل ما نعرفه الآن باسم الهندسة الإقليدية.

المفاهيم الأساسية

تتكون العناصر من التعاريف والمفاهيم الشائعة والمسلمات (أو البديهيات) متبوعة بالنظريات والإنشاءات والعروض التوضيحية.

- النقطة هي أنه لا يوجد لديه أجزاء.

- الخط هو طول ليس له عرض.

- الخط المستقيم هو الخط الذي يكمن بالتساوي فيما يتعلق بالنقاط الموجودة في هذا.

- إذا تم قطع سطرين بحيث تكون الزاويتان المتجاورتان متساويتين ، تسمى الزوايا مستقيمة وتسمى الخطوط بالتعامودي..

- الخطوط المتوازية هي تلك التي ، في نفس الطائرة ، لا يتم قطعها مطلقًا.

بعد هذه التعريفات وغيرها ، يقدم إقليدس قائمة تضم خمسة افتراضات وخمسة مفاهيم.

مفاهيم مشتركة

- شيئان يساويان الثلث ، يساوي كل منهما الآخر.

- إذا تمت إضافة أشياء متساوية إلى نفس الأشياء ، فإن النتائج هي نفسها.

- إذا تم طرح أشياء متساوية من نفس الأشياء ، فإن النتائج هي نفسها.

- الأشياء التي تتطابق مع بعضها البعض تساوي بعضها البعض.

- المجموع أكبر من جزء.

يفترض أو البديهيات

- لنقطتين مختلفتين يمر خط واحد فقط.

- يمكن أن تمتد خطوط مستقيمة إلى أجل غير مسمى.

- يمكنك رسم دائرة مع أي مركز وأي دائرة نصف قطرها.

- جميع الزوايا الصحيحة هي نفسها.

- إذا كان الخط المستقيم يعبر خطين مستقيمين بحيث تضيف الزوايا الداخلية لنفس الجانب ما يصل إلى أقل من زاويتين يمينيتين ، فسيتقاطع الخطان على هذا الجانب.

يُعرف هذا الافتراض الأخير باسم افتراضات المتوازيات وتمت إعادة صياغته على النحو التالي: "بالنسبة للنقطة خارج الخط ، يمكنك رسم خط موازٍ واحد للسطر المحدد".

أمثلة

بعد ذلك ، بعض نظريات عناصر سيعملون على إظهار خصائص المساحات الهندسية حيث يتم إفتراض افتراضات إقليدس الخمسة ؛ بالإضافة إلى ذلك ، سيقومون بتوضيح المنطق المنطقي الاستنتاجي الذي يستخدمه عالم الرياضيات.

المثال الأول

الاقتراح 1.4. (LAL)

إذا كان هناك مثلثان لهما وجهان وكانت الزاوية بينهما متساوية ، فإن الأطراف الأخرى والزوايا الأخرى متساوية.

عرض

اجعل ABC و A'B'C 'مثلثين مع AB = A'B' و AC = A'C 'وزاوية BAC و B'A'C' متساويتان. الانتقال إلى المثلث A'B'C 'بحيث يتزامن A'B مع AB وتلك الزاوية B'A'C' تتزامن مع الزاوية BAC.

بعد ذلك ، يتزامن السطر A 'C مع السطر AC ، بحيث يتزامن C مع C ، ثم ، من خلال الافتراض 1 ، يجب أن يتزامن السطر BC مع الخط B'C'. لذلك يتزامن المثلثان ، وبالتالي فإن زاويتهما وجوانبهما متساوية.

المثال الثاني

الاقتراح 1.5. (بونس أسينوروم)

إذا كان للمثلث وجهان متساويان ، تكون الزوايا المقابلة لهما متساوية.

عرض

افترض أن المثلث ABC له جوانب متساوية AB و AC.

ثم ، المثلثات ABD و ACD لها جانبان متساويان والزوايا بينهما متساوية. وهكذا ، بالاقتراح 1.4 ، تكون الزاويتان ABD و ACD متساوية.

المثال الثالث

الاقتراح 1.31

يمكنك بناء خط مواز لخط معطى بواسطة نقطة معينة.

إنشاءات

عند إعطاء خط L ونقطة P ، يتم رسم خط مستقيم M يمر عبر P ويقتطع إلى L. ثم يتم رسم خط مستقيم N بواسطة P الذي يقطع إلى L. الآن ، نحن نتتبع بواسطة P خط مستقيم N يتجه إلى M ، تشكيل زاوية تساوي تلك التي L تشكل مع M.

تأكيد

N موازي لـ L.

عرض

افترض أن L و N غير متوازيين ومتقاطعتين عند نقطة A. دع B يكون نقطة عند L وراء A. خذ بعين الاعتبار السطر O الذي يمر B و P. ثم ، O تقطع إلى M تشكيل زوايا تضيف أقل من اثنان مستقيم.

بعد ذلك ، بمقدار 1.5 ، يجب قطع السطر O إلى الخط L على الجانب الآخر من M ، بحيث يتقاطع L و O عند نقطتين ، مما يتناقض مع الافتراض 1. لذلك ، يجب أن يكون L و N متوازيين.

مراجع

1. إقليدس - عناصر الهندسة. الجامعة الوطنية المستقلة في المكسيك
2. إقليدس. الكتب الستة الأولى والعناصر الحادية عشرة والثانية عشر لإقليدس
3. يوجينيو فيلوي ياجوي. التعليم وتاريخ الهندسة الإقليدية - مجموعة التحرير الإيبيرية - الأمريكية
4. K.Ribnikov. تاريخ الرياضيات مير الافتتاحية
5. Viloria، N.، & Leal، J. (2005) Flat Analytical Engineering. الفنزويلية C.A الافتتاحية.