أصل المنطق الرياضي ، ما يدرس ، أنواع

ال المنطق الرياضي أو المنطق الرمزي هو لغة رياضية تتضمن الأدوات اللازمة التي يمكن من خلالها تأكيد أو رفض المنطق الرياضي..

من المعروف أنه في الرياضيات لا يوجد أي غموض. بالنظر إلى حجة رياضية ، فإن هذا صحيح أو ببساطة ليس صحيحًا. لا يمكن أن تكون خاطئة وحقيقية في نفس الوقت.

يتمثل جانب معين من الرياضيات في أنه يحتوي على لغة رسمية ودقيقة يمكن من خلالها تحديد صحة المنطق. ما الذي يجعل بعض المنطق أو أي دليل رياضي لا يمكن دحضه؟ هذا هو ما المنطق الرياضي هو كل شيء.

وبالتالي ، فإن المنطق هو نظام الرياضيات المسؤول عن دراسة المنطق والعروض الرياضية ، ويوفر الأدوات اللازمة لاستنتاج الاستنتاج الصحيح من البيانات أو المقترحات السابقة..

للقيام بذلك ، فإنه يستخدم البديهيات والجوانب الرياضية الأخرى التي سيتم تطويرها في وقت لاحق.

مؤشر

• 1 الأصل والتاريخ
  • 1.1 أرسطو
• 2 ما دراسات المنطق الرياضي?
  • 2.1 المقترحات
  • 2.2 الجداول الحقيقة
• 3 أنواع المنطق الرياضي
  • 3.1 المناطق
• 4 المراجع

الأصل والتاريخ

التواريخ المحددة فيما يتعلق بالعديد من جوانب المنطق الرياضي غير مؤكدة. ومع ذلك ، فإن معظم المراجع حول هذا الموضوع تتبع أصل هذا إلى اليونان القديمة.

أرسطو

تُعزى بداية المعالجة الصارمة للمنطق ، جزئيًا ، إلى أرسطو ، الذي كتب مجموعة من الأعمال المنطقية ، والتي تم جمعها وتطويرها لاحقًا بواسطة فلاسفة وعلماء مختلفين ، حتى العصور الوسطى. هذا يمكن اعتباره "المنطق القديم".

بعد ذلك ، في ما يُعرف بالعصر المعاصر ، تأثرت لايبنيز برغبة عميقة في تأسيس لغة عالمية للسبب الرياضي ، وغيرهم من علماء الرياضيات مثل جوتلوب فريج وجوزيبي بيانو ، مما أثر بشكل خاص على تطور المنطق الرياضي بمساهمات كبيرة. من بينها ، أكسيومز أوف بيانو ، التي تصوغ خصائص لا غنى عنها للأعداد الطبيعية.

كان لعلماء الرياضيات جورج بول وجورج كانتور أيضًا تأثير كبير في هذا الوقت ، مع إسهامات مهمة في نظرية المجموعات وجداول الحقيقة ، وسلطوا الضوء ، من بين جوانب أخرى ، على الجبر المنطقي (لجورج بول) وأكسيوم أوف شيس (بواسطة جورج كانتور).

يوجد أيضًا Augustus De Morgan مع القوانين المعروفة لمورغان ، والتي تتفكر في حالات النفي والاقتران والاختلاط والشرطية بين المقترحات ، ومفاتيح تطوير المنطق الرمزي ، وجون فين مع المخططات الشهيرة لفن.

في القرن العشرين ، ما بين 1910 و 1913 تقريبًا ، برز برتراند راسل وألفريد نورث وايتهيد في نشرهما مبادئ الرياضيات, مجموعة من الكتب التي تجمع وتطور وتفترض سلسلة من البديهيات والنتائج المنطقية.

ما دراسات المنطق الرياضي?

المقترحات

يبدأ المنطق الرياضي بدراسة المقترحات. الاقتراح هو التأكيد على أنه من دون أي غموض يمكن القول إذا كان هذا صحيحًا أم لا. فيما يلي أمثلة على المقترحات:

• 2 + 4 = 6.
• 5²= 35.
• في عام 1930 كان هناك زلزال في أوروبا.

الأول اقتراح حقيقي والثاني اقتراح خاطئ. والثالث ، على الرغم من أنه من الممكن أن الشخص الذي يقرأه لا يعرف ما إذا كان صحيحًا أم فوريًا ، إلا أنه عبارة عن بيان يمكن التحقق منه وتحديد ما إذا كان قد حدث بالفعل أم لا..

فيما يلي أمثلة على التعبيرات غير الافتراضات:

• هي شقراء.
• 2x = 6.
• هيا نلعب!
• هل تحب السينما?

في الاقتراح الأول ، لم يتم تحديد من "هي" ، وبالتالي لا يمكن تأكيد شيء. في الاقتراح الثاني ، لم يتم تحديد ما يمثله "x". إذا قيل بدلاً من ذلك أن 2x = 6 بالنسبة لعدد طبيعي x ، في هذه الحالة سيكون مطابقًا لاقتراح ، في الواقع صحيح ، لأنه بالنسبة إلى x = 3 يتم الوفاء به.

لا يتوافق البيانان الأخيران مع الاقتراح ، حيث لا توجد طريقة لرفضهما أو تأكيدهما.

يمكن دمج اقتراحين أو أكثر (أو توصيلهما) باستخدام الموصلات المعروفة (أو الموصلات). هؤلاء هم:

• الإنكار: "لا تمطر".
• انفصال: "اشترت لويزا حقيبة بيضاء أو رمادية".
• بالتزامن: "4²= 16 و 2 × 5 = 10 ".
• شرطي: "إذا هطل المطر ، فأنا لا أذهب إلى الجيم بعد ظهر اليوم".
• شرطان: "أذهب إلى صالة الألعاب الرياضية بعد ظهر هذا اليوم إذا كان المطر ، وفقط إذا لم تمطر".

يُطلق على الاقتراح الذي لا يمتلك أيًا من الروابط السابقة ، الاقتراح البسيط (أو الذري). على سبيل المثال ، "2 أقل من 4" ، هو اقتراح بسيط. تسمى المقترحات التي تحتوي على بعض التوصيلات "المقترحات المركبة" ، على سبيل المثال "1 + 3 = 4 و 4 عبارة عن رقم زوجي".

عادة ما تكون البيانات التي يتم الإدلاء بها عن طريق المقترحات طويلة ، لذلك من الممل كتابتها دائمًا كما رأينا حتى الآن. لهذا السبب ، يتم استخدام لغة رمزية. عادة ما يتم تمثيل المقترحات بحروف كبيرة مثل P ، Q ، R ، S, إلخ والضامة رمزية على النحو التالي:

لذلك هذا

ال متبادل من اقتراح مشروط

هو الاقتراح

و contrapositive (أو معارضة) للاقتراح

هو الاقتراح

الجداول الحقيقة

مفهوم آخر مهم في المنطق هو جداول الحقيقة. قيم الحقيقة الخاصة بالاقتراح هي الاحتمالان المتاحان للاقتراح: صواب (سيتم الإشارة إليه بواسطة V وقيمته الحقيقية هي V) أو خاطئة (والتي سيتم الإشارة إليها بواسطة F وسيتم ذكر قيمتها انها حقا F).

تعتمد قيمة الحقيقة للاقتراح المركب بشكل حصري على قيم الحقيقة للاقتراحات البسيطة التي تظهر فيها.

للعمل بشكل أكثر عمومية ، لن نفكر في مقترحات محددة ، ولكننا سننظر في المتغيرات المقترحة p ، q ، r ، s, وما إلى ذلك ، والتي سوف تمثل أي مقترحات.

باستخدام هذه المتغيرات ووصلات المنطقية ، تتشكل الصيغ المقترحة المعروفة تمامًا مثلما يتم إنشاء بيانات مركبة.

إذا تم استبدال كل واحد من المتغيرات التي تظهر في صيغة الاقتراح بواسطة اقتراح ، فسيتم الحصول على اقتراح مركب.

فيما يلي جداول الحقيقة للوصلات المنطقية:

هناك صيغ مقترحة لا تتلقى سوى القيمة V في جدول الحقيقة الخاص بهم ، أي أن العمود الأخير من جدول الحقيقة يحتوي فقط على القيمة V. ويعرف هذا النوع من الصيغ باسم tautologies. على سبيل المثال:

ما يلي هو جدول الحقيقة من الصيغة

يقال إن الصيغة α تعني منطقيا صيغة أخرى β ، إذا كانت α صحيحة في كل مرة β صحيحة. هذا هو ، في جدول الحقيقة الخاص بـ α و β ، الصفوف التي تحتوي فيها α على V ، β لها أيضًا V. فقط الصفوف التي لها α لها القيمة V هي ذات أهمية. تدوين التضمين المنطقي هو التالي :

يلخص الجدول التالي خصائص التضمين المنطقي:

يقال إن صيغتين افتراضيتين متساويتان منطقيا إذا كانت جداول الحقيقة الخاصة بهما متطابقة. يتم استخدام الترميز التالي للتعبير عن التكافؤ المنطقي:

تلخص الجداول التالية خصائص التكافؤ المنطقي:

أنواع المنطق الرياضي

هناك أنواع مختلفة من المنطق ، خاصةً إذا أخذنا في الاعتبار المنطق العملي أو غير الرسمي الذي يشير إلى الفلسفة ، من بين مجالات أخرى.

فيما يتعلق بالرياضيات ، يمكن تلخيص أنواع المنطق على النحو التالي:

• المنطق الرسمي أو الأرسطي (المنطق القديم).
• منطق الاقتراح: هو المسؤول عن دراسة كل ما يتعلق بصحة الحجج والمقترحات باستخدام لغة رسمية وأيضًا رمزية.
• المنطق الرمزي: يركز على دراسة المجموعات وخصائصها ، وأيضًا بلغة رسمية ورمزية ، ويرتبط ارتباطًا وثيقًا بالمنطق المقترح.
• المنطق التوافقي: أحد أكثر التطورات التي تم تطويرها مؤخرًا ، ويتضمن نتائج يمكن تطويرها بواسطة الخوارزميات.
• البرمجة المنطقية: تستخدم في الحزم المختلفة ولغات البرمجة.

المناطق

من بين المجالات التي تستخدم المنطق الرياضي بطريقة لا غنى عنها في تطوير منطقهم وحججهم ، يسلطون الضوء على الفلسفة ، نظرية المجموعات ، نظرية الأعداد ، الرياضيات الجبرية البنائية ولغات البرمجة..

مراجع

1. أيلوين ، سي يو (2011). المنطق ، مجموعات والأرقام. ميريدا - فنزويلا: مجلس المنشورات ، جامعة لوس أنديس.
2. Barrantes، H.، Diaz، P.، Murillo، M.، & Soto، A. (1998). مقدمة في نظرية الأعداد. EUNED.
3. كاستانيدا ، س. (2016). دورة أساسية في نظرية الأعداد. جامعة الشمال.
4. Cofré، A.، & Tapia، L. (1995). كيفية تطوير التفكير المنطقي الرياضي. افتتاحية الجامعة.
5. سرقسطة ، أ.. نظرية الأعداد. كتب الرؤية الافتتاحية.