أساسيات الجبر المتجه ، المقاييس ، المتجهات

ال الجبر المتجه هو فرع من الرياضيات مسؤول عن دراسة أنظمة المعادلات الخطية والمتجهات والمصفوفات ومساحات المتجهات وتحولاتها الخطية. يتعلق الأمر بمجالات مثل الهندسة وحل المعادلات التفاضلية والتحليل الوظيفي وأبحاث العمليات ورسومات الكمبيوتر وغيرها..

مجال آخر اعتمد الجبر الخطي هو الفيزياء ، لأنه من خلال هذا تم تطويره لدراسة الظواهر الفيزيائية ، واصفا إياها من خلال استخدام المتجهات. هذا جعل من الممكن فهم أفضل للكون.

مؤشر

• 1 الأساسيات
  • 1.1 هندسيا
  • 1.2 تحليليا
  • 1.3 اكسيوماتيكيا
• 2 الأحجام
  • 2.1 حجم العددية
  • 2.2 حجم المتجه
• 3 ما هي المتجهات?
  • 3.1 وحدة
  • 3.2 العنوان
  • 3.3 الشعور
• 4 تصنيف المتجهات
  • 4.1 ناقل ثابت
  • 4.2 ناقل حر
  • 4.3 انزلاق ناقل
• 5 خصائص المتجهات
  • 5.1 نواقل equipolentes
  • 5.2 المتجهات المكافئة
  • 5.3 المساواة في المتجهات
  • 5.4 المتجهات المعاكسة
  • 5.5 وحدة مكافحة ناقلات
  • 5.6 المتجهات الخالية
• 6 مكونات ناقل
  • 6.1 أمثلة
• 7 عمليات مع ناقلات
  • 7.1 إضافة وطرح المتجهات
  • 7.2 الضرب من المتجهات
• 8 المراجع

أسس

نشأت جبر المتجهات من دراسة المربعات الرباعية (امتداد الأعداد الحقيقية) 1 و i و j و k ، بالإضافة إلى الهندسة الديكارتية التي روج لها جيبس ​​وهيفيسايد ، الذين أدركوا أن المتجهات ستكون بمثابة أداة ل تمثل مختلف الظواهر الفيزيائية.

يتم دراسة الجبر المتجه من خلال ثلاث أسس:

هندسيا

يتم تمثيل المتجهات بخطوط لها اتجاه ، ويتم تحديد العمليات مثل الجمع والطرح والضرب بالأعداد الحقيقية من خلال الأساليب الهندسية.

تحليلي

يتم وصف المتجهات وعملياتها بأرقام تسمى المكونات. هذا النوع من الوصف هو نتيجة التمثيل الهندسي لأنه يتم استخدام نظام الإحداثيات.

بديهي

يتم إجراء وصف للمتجهات ، بغض النظر عن نظام الإحداثيات أو أي نوع من التمثيل الهندسي.

تتم دراسة الأشكال في الفضاء من خلال تمثيلها في نظام مرجعي ، والذي يمكن أن يكون في بعد واحد أو أكثر. من بين النظم الرئيسية هي:

- النظام أحادي البعد ، وهو خط حيث تمثل نقطة واحدة (O) الأصل ، بينما تحدد نقطة أخرى (P) المقياس (الطول) واتجاهه:

- نظام الإحداثيات المستطيلة (ثنائي الأبعاد) ، والذي يتكون من خطين عموديين يدعى x-axis و y-axis ، والذي يمر عبر نقطة (O) الأصل ؛ بهذه الطريقة تنقسم الطائرة إلى أربع مناطق تسمى الأرباع. في هذه الحالة ، يتم إعطاء نقطة (P) في المستوى بواسطة المسافات الموجودة بين المحاور و P.

- نظام الإحداثيات القطبية (ثنائي الأبعاد). في هذه الحالة ، يتكون النظام من النقطة O (الأصل) التي تسمى القطب والشعاع مع الأصل O يسمى المحور القطبي. في هذه الحالة ، تُعطى النقطة P للمستوى ، بالرجوع إلى القطب والمحور القطبي ، بالزاوية (is) ، التي تتكون من المسافة بين الأصل والنقطة P.

- نظام ثلاثي الأبعاد مستطيل الشكل ، يتكون من ثلاثة خطوط عمودية (س ، ص ، ض) لها أصل نقطة في الفضاء. يتم تشكيل ثلاث طائرات إحداثي: xy و xz و yz ؛ سيتم تقسيم المساحة إلى ثماني مناطق تسمى octants. يتم إعطاء مرجع النقطة P من الفضاء بواسطة المسافات الموجودة بين الطائرات و P.

المقادير

القيمة هي كمية مادية يمكن حسابها أو قياسها من خلال قيمة عددية ، كما في حالة بعض الظواهر المادية ؛ ومع ذلك ، من الضروري غالبًا أن تكون قادرًا على وصف هذه الظواهر بعوامل أخرى غير رقمية. هذا هو السبب في تصنيف الأحجام إلى نوعين:

حجم العددية

هي تلك الكميات التي يتم تعريفها وتمثيلها عدديًا ؛ وهذا هو ، من خلال وحدة جنبا إلى جنب مع وحدة القياس. على سبيل المثال:

أ) الوقت: 5 ثوان.

ب) الكتلة: 10 كجم.

ج) الحجم: 40 مل.

د) درجة الحرارة: 40 درجة مئوية.

ناقلات الحجم

هي تلك الكميات التي يتم تعريفها وتمثيلها بواسطة وحدة نمطية مع وحدة ، وكذلك بالشعور والاتجاه. على سبيل المثال:

أ) السرعة: (5ȋ - 3ĵ) م / ث.

ب) التسارع: 13 م / ث². S 45º ه.

ج) القوة: 280 N ، 120º.

d) الوزن: -40 ĵ kg-f.

يتم تمثيل أحجام المتجهات بيانياً بواسطة المتجهات.

ما هي المتجهات?

المتجهات هي تمثيل رسومي لحجم المتجه. وهذا يعني ، أنها أجزاء من خط مستقيم حيث نهايتها النهائية هي طرف السهم.

يتم تحديد هذه حسب طول الوحدة النمطية أو قطعة ، والإحساس الذي يشار إليه من طرف رأس السهم واتجاههم وفقا للخط الذي ينتمون إليه. يُعرف أصل المتجه أيضًا باسم نقطة التطبيق.

فيما يلي عناصر المتجه:

وحدة

إنها المسافة من الأصل إلى نهاية المتجه ، ويمثلها رقم حقيقي مع وحدة. على سبيل المثال:

| OM | = | A | = أ = 6 سم

عنوان

إنه مقياس الزاوية الموجودة بين المحور س (من الموجب) والناقل ، وكذلك النقاط الأساسية (الشمال والجنوب والشرق والغرب)..

إحساس

يتم تقديمه بواسطة رأس السهم الموجود في نهاية المتجه ، مع الإشارة إلى المكان الذي يتجه إليه.

تصنيف المتجهات

بشكل عام ، تصنف المتجهات على النحو التالي:

ناقل ثابت

هو الذي تم إصلاح نقطة تطبيقه (الأصل) ؛ وهذا يعني ، أنه يبقى مرتبطًا بنقطة من الفضاء ، والسبب في أنه لا يمكن تهجيره في هذا.

ناقل حر

يمكن أن يتحرك بحرية في الفضاء لأن أصله ينتقل إلى أي نقطة دون تغيير الوحدة النمطية أو الشعور أو الاتجاه.

انزلاق ناقل

إنه الشخص الذي يمكنه تحريك أصله على طول خط عمله دون تغيير نمطه أو إحساسه أو اتجاهه.

خصائص المتجهات

من بين الخصائص الرئيسية للمتجهات ما يلي:

ناقلات Equipolentes

هم تلك المتجهات الحرة التي لها نفس الوحدة ، والاتجاه (أو أنها متوازية) والشعور بأن المتجهات المنزلق أو المتجهات الثابتة.

المتجهات المكافئة

يحدث ذلك عندما يكون لكل متجهين نفس العنوان (أو متوازيان) ، نفس المعنى ، وعلى الرغم من وجود وحدات ونقاط تطبيق مختلفة ، فإنها تسبب نفس التأثيرات.

المساواة في المتجهات

لديهم نفس الوحدة والتوجيه والشعور ، على الرغم من أن نقاط البداية الخاصة بهم مختلفة ، مما يسمح للمتجه الموازي بتحريك نفسه دون التأثير عليه..

المتجهات المعاكس

هم أولئك الذين لديهم نفس الوحدة والتوجيه ، ولكن إحساسهم عكس ذلك.

وحدة المتجهات

وهو الذي تساوي الوحدة فيه الوحدة (1). يتم الحصول على هذا عن طريق قسمة المتجه على وحدته ويستخدم لتحديد اتجاه وشعور المتجه ، سواء في المستوى أو في الفضاء ، باستخدام القاعدة أو المتجهات المعيارية الموحد ، وهي:

مكافحة ناقلات

هو الذي الوحدة التي يساوي 0؛ وهذا يعني أن نقطة منشأهم وتطابقهم الشديد في نفس النقطة.

مكونات ناقل

مكونات المتجه هي قيم إسقاط المتجه على محاور النظام المرجعي ؛ بناءً على تحلل المتجه ، والذي يمكن أن يكون في محورين أو ثلاثة محاور ، سيتم الحصول على مكونين أو ثلاثة ، على التوالي.

مكونات ناقل هي أرقام حقيقية ، والتي يمكن أن تكون إيجابية أو سلبية أو حتى صفر (0).

وبالتالي ، إذا كان لدينا متجه Ā ، نشأ في نظام الإحداثيات المستطيل في المستوى xy (ثنائي الأبعاد) ، فإن الإسقاط على المحور x هو andx والإسقاط على المحور y هو Āy. وبالتالي ، سيتم التعبير عن المتجه كمجموع متجه مكونه.

أمثلة

المثال الأول

لدينا متجه starts يبدأ من الأصل ويتم إعطاء إحداثيات نهاياته. وهكذا ، فإن المتجه Ā = (Ā_س. A_و) = (4 ؛ 5) سم.

إذا كان المتجه Ā يعمل عند أصل نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد (في الفضاء) x و y و z إلى نقطة أخرى (P) ، فإن الإسقاطات على محاوره هي Āx و Āy و Āz ؛ وبالتالي ، سيتم التعبير عن المتجه كمجموع متجهات المكون الثلاثة الخاصة به.

المثال الثاني

لدينا متجه starts يبدأ من الأصل ويتم إعطاء إحداثيات نهاياته. وبالتالي ، فإن المتجه Ā = (أ_س. A_و. A_ض) = (4 ؛ 6 ؛ -3) سم.

يمكن التعبير عن المتجهات التي لها إحداثيات مستطيلة من حيث المتجهات الأساسية. لذلك ، يجب ضرب كل إحداثي فقط بواسطة متجه الوحدة الخاص بكل منها ، بحيث تكون للطائرة والفضاء ما يلي:

للطائرة: Ā = أ_سأنا + أ_وي.

بالنسبة للمساحة: Ā = A_سأنا + أ_وي + أ_ضك.

عمليات مع ناقلات

هناك العديد من الأحجام التي لها وحدة نمطية ، والإحساس والاتجاه ، مثل التسارع والسرعة والإزاحة والقوة وغيرها..

يتم تطبيقها في مجالات مختلفة من العلوم ، ولتطبيقها من الضروري في بعض الحالات إجراء عمليات مثل الجمع والطرح والضرب وتقسيم المتجهات والقياسات.

الجمع والطرح من ناقلات

تعتبر عملية الجمع والطرح من المتجهات عملية جبرية واحدة لأنه يمكن كتابة الطرح كمجموع ؛ على سبيل المثال ، يمكن التعبير عن طرح المتجهات Ā و as على النحو التالي:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

هناك طرق مختلفة لأداء الجمع والطرح من المتجهات: يمكن أن تكون رسومية أو تحليلية.

أساليب الرسم

يستخدم عندما يكون للناقل وحدة نمطية وحس واتجاه. للقيام بذلك ، يتم رسم خطوط تشكل شكلًا يساعد لاحقًا في تحديد النتيجة. من بين أشهرها ، أبرز ما يلي:

طريقة متوازي الاضلاع

لجعل عملية الجمع أو الطرح لاثنين من المتجهات ، يتم اختيار نقطة مشتركة على محور الإحداثيات - الذي سيمثل نقطة منشأ المتجهات - مع الحفاظ على الوحدة والاتجاه والاتجاه..

ثم يتم رسم خطوط موازية للمتجهات لتشكيل متوازي الاضلاع. المتجه الناتج هو المائل الذي يترك من نقطة المنشأ لكلا المتجهين حتى قمة المتوازي:

طريقة المثلث

في هذه الطريقة ، يتم وضع المتجهات الواحدة تلو الأخرى ، مع الحفاظ على وحداتها واتجاهاتها واتجاهاتها. سيكون المتجه الناتج هو اتحاد أصل المتجه الأول بنهاية المتجه الثاني:

طرق تحليلية

يمكنك إضافة أو طرح متجهين أو أكثر من خلال طريقة هندسية أو متجهة:

الطريقة الهندسية

عندما يشكل متجهان مثلثًا أو متوازيًا ، يمكن تحديد معامل واتجاه المتجه الناتج باستخدام قوانين الجيب وجيب التمام. وهكذا ، فإن وحدة المتجه الناتج ، التي تطبق قانون جيب التمام وطريقة المثلث ، تُعطى بواسطة:

في هذه الصيغة ، β الزاوية المقابلة للجانب R ، وهذه تساوي 180º - Ɵ.

في المقابل ، من خلال طريقة متوازي الاضلاع تكون وحدة المتجه الناتجة:

يتم إعطاء اتجاه المتجه الناتج بالزاوية (α) ، والتي تشكل الناتج مع أحد المتجهات.

بموجب قانون الجيب ، يمكن أيضًا إجراء عملية الجمع أو الطرح للمتجهات باستخدام المثلث أو طريقة متوازي الأضلاع ، مع العلم أن الجانبين في كل مثلث يتناسبان مع ثدي الزوايا:

طريقة المتجهات

يمكن القيام بذلك بطريقتين: اعتمادًا على الإحداثيات المستطيلة أو المتجهات الأساسية.

يمكن القيام بذلك عن طريق نقل المتجهات التي سيتم إضافتها أو طرحها إلى أصل الإحداثيات ، ومن ثم كل التوقعات على كل من محاور المستوى (س ، ص) أو الفضاء (س ، و ، ض) ؛ وأخيرا ، تضاف مكوناته جبريا. لذلك ، بالنسبة للطائرة هي:

الوحدة النمطية للناقل الناتج هي:

بينما بالنسبة للمساحة فهي:

الوحدة النمطية للناقل الناتج هي:

عند تنفيذ مجاميع المتجهات يتم تطبيق العديد من الخصائص ، وهي:

- الخاصية الترابطية: لا يتغير الناتج عن طريق إضافة متجهين أولاً ، ثم إضافة متجه ثالث.

- الخاصية التبادلية: ترتيب المتجهات لا يغير الناتج.

- خاصية توزيع المتجهات: إذا تم ضرب العدد بمجموع متجهين ، فهذا يساوي تكاثر العدد لكل متجه.

- خاصية التوزيع العددية: إذا تم ضرب المتجه بمجموع عددين ، فهذا يساوي تكاثر المتجه لكل عدد.

ضرب المتجهات

يمكن إجراء عملية الضرب أو النواقل كإضافة أو طرح ، ولكنها بذلك تفقد المعنى المادي ولا توجد أبدًا ضمن التطبيقات. لذلك ، عمومًا الأنواع الأكثر استخدامًا من المنتجات هي المنتج القياسي والناقلي.

المنتج العددية

ومن المعروف أيضا باسم منتج نقطة من ناقلات اثنين. عندما يتم ضرب الوحدات المكونة من متجهين بواسطة جيب تمام الزاوية الصغيرة التي تشكلت بينهما ، يتم الحصول على العددية. لوضع منتج عددي بين متجهين ، يتم وضع نقطة بينهما ، ويمكن تعريف ذلك على النحو التالي:

تعتمد قيمة الزاوية الموجودة بين المتجهين على ما إذا كانت متوازية أو متعامدة ؛ لذلك ، عليك:

- إذا كانت المتجهات متوازية ولديها نفس المعنى ، تمامًا التمام 0º = 1.

- إذا كانت المتجهات متوازية ولديها حواس معاكسة ، تمامًا التمام 180º = -1.

- إذا كانت المتجهات متعامدة ، فعلم جيب التمام 90º = 0.

يمكن أيضًا حساب هذه الزاوية مع العلم أن:

المنتج العددي لديه الخصائص التالية:

- الخاصية التبادلية: ترتيب المتجهات لا يغير العددية.

-خاصية التوزيع: إذا تم ضرب العدد القياسي بمجموع متجهين ، فهذا يساوي ضرب العدد لكل ناقل..

ناقلات المنتج

سينتج عن مضاعف المتجه ، أو الناتج المتقاطع لمتجهين A و B ، متجه جديد C ويتم التعبير عنه باستخدام تقاطع بين المتجهات:

سيكون للناقل الجديد خصائصه الخاصة. بهذه الطريقة:

- الاتجاه: سيكون هذا المتجه الجديد عموديًا على المستوى الذي تحدده المتجهات الأصلية.

- المعنى: يتم تحديد ذلك بواسطة قاعدة اليد اليمنى ، حيث يتم تدوير الموجه A باتجاه B من خلال توجيه اتجاه الدوران بالأصابع ، وبإبهام يتم تمييز إحساس المتجه.

- الوحدة النمطية: يتم تحديدها من خلال ضرب وحدات المتجهات AxB ، بواسطة جيب أصغر زاوية موجودة بين هذه المتجهات. يتم التعبير عنها:

تعتمد قيمة الزاوية الموجودة بين المتجهين على ما إذا كانت متوازية أو متعامدة. بعد ذلك ، من الممكن تأكيد ما يلي:

- إذا كانت المتجهات متوازية ولديها نفس المعنى ، فخطيئة 0º = 0.

- إذا كانت المتجهات متوازية ولديها حواس معاكسة ، فالجيب 180º = 0.

- إذا كانت المتجهات عمودية ، فالجيب 90º = 1.

عندما يتم التعبير عن منتج متجه من حيث المتجهات الأساسية ، يجب عليه:

المنتج العددي لديه الخصائص التالية:

- إنه ليس تبديلاً: ترتيب المتجهات يغير العدد.

- خاصية التوزيع: إذا تم ضرب العدد القياسي بمجموع متجهين ، فهذا يساوي ضرب العدد لكل ناقل..

مراجع

1. ألتمان نعومي ، م. ك. (2015). "الانحدار الخطي البسيط." طرق الطبيعة .
2. آنجيل ، إيه آر (2007). الجبر الابتدائي بيرسون التعليم,.
3. آرثر جودمان ، إل. إتش. (1996). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. بيرسون التعليم.
4. Gusiatnikov، P.، & Reznichenko، S. (s.f.). Algebr إلى Vectorial في أمثلة. موسكو: مير.
5. لاي ، دي سي (2007). الجبر الخطي وتطبيقاتها. بيرسون التعليم.
6. ليناريس ، ج. ف. (2009). الجبر الخطي: الفضاء المتجه. مساحة متجه الإقليدية. جامعة اليكانتي.
7. Mora، J. F. (2014). الجبر الخطي وطن أسلاف المرء.