الرياضيات المنفصلة ما يخدمونه ، نظرية المجموعات

ال الرياضيات المنفصلة تتوافق مع مجال الرياضيات المسؤولة عن دراسة مجموعة الأعداد الطبيعية ؛ بمعنى ، مجموعة من الأرقام القابلة للحصص المحددة وغير المحدودة حيث يمكن حساب العناصر بشكل منفصل ، واحدًا تلو الآخر.

تُعرف هذه المجموعات باسم مجموعات منفصلة ؛ مثال على هذه المجموعات هي الأعداد الكاملة أو الرسوم البيانية أو التعبيرات المنطقية ، ويتم تطبيقها في مجالات العلوم المختلفة ، وخاصة في الحوسبة أو الحوسبة.

مؤشر

• 1 الوصف
• 2 ما هي الرياضيات المنفصلة؟?
  • 2.1 اندماجي
  • 2.2 نظرية التوزيع المنفصل
  • 2.3 نظرية المعلومات
  • 2.4 الحوسبة
  • 2.5 التشفير
  • 2.6 المنطق
  • 2.7 نظرية الرسوم البيانية
  • 2.8 الهندسة
• 3 نظرية المجموعات
  • 3.1 مجموعة محدودة
  • 3.2 مجموعة محاسبة لانهائية
• 4 المراجع

وصف

في العمليات المنفصلة للرياضيات تكون قابلة للعد ، بناءً على الأعداد الصحيحة. هذا يعني أنه لا يتم استخدام الأرقام العشرية ، وبالتالي ، لا يتم استخدام التقريب أو الحدود ، كما في المناطق الأخرى. على سبيل المثال ، يمكن أن يكون المجهول واحدًا مساويًا 5 أو 6 ، ولكن لا يمكن أبداً 4.99 أو 5.9.

من ناحية أخرى ، في التمثيل البياني ، ستكون المتغيرات منفصلة ويتم تقديمها من مجموعة محددة من النقاط ، يتم حسابها واحدة تلو الأخرى ، كما هو موضح في الصورة:

يولد الرياضيات المنفصلة بسبب الحاجة إلى الحصول على دراسة دقيقة يمكن دمجها واختبارها ، لتطبيقها في مجالات مختلفة.

ما هي الرياضيات المنفصلة؟?

تستخدم الرياضيات المنفصلة في مجالات متعددة. من بين أهمها ما يلي:

اندماجي

دراسة مجموعات محدودة حيث يمكن طلب العناصر أو مجتمعة والعد.

نظرية التوزيع المنفصل

دراسة الأحداث التي تحدث في الأماكن التي تكون فيها العينات قابلة للعد ، والتي تستخدم فيها توزيعات مستمرة لتقريب التوزيعات المنفصلة ، أو بطريقة أخرى.

نظرية المعلومات

يشير إلى تشفير المعلومات ، المستخدم في تصميم ونقل وتخزين البيانات ، مثل الإشارات التناظرية على سبيل المثال.

الحوسبة

من خلال حل مشاكل الرياضيات المنفصلة باستخدام الخوارزميات ، وكذلك دراسة ما يمكن حسابه والوقت الذي يستغرقه ذلك (التعقيد).

ازدادت أهمية الرياضيات المنفصلة في هذا المجال في العقود الأخيرة ، وخاصة لتطوير لغات البرمجة و برامج.

التشفير

يعتمد على الرياضيات المنفصلة لإنشاء هياكل أمنية أو طرق تشفير. مثال على هذا التطبيق هو كلمات المرور التي ترسل بتات منفصلة تحتوي على معلومات.

من خلال الدراسة ، يمكن لخصائص الأعداد الصحيحة والأعداد الأولية (نظرية الأعداد) أن تخلق أو تدمر طرق الأمان هذه.

منطق

يتم استخدام الهياكل المنفصلة ، والتي عادة ما تشكل مجموعة محدودة ، لإثبات النظريات أو ، على سبيل المثال ، التحقق من البرنامج.

نظرية الرسم البياني

يتيح حل المشكلات المنطقية باستخدام العقد والخطوط التي تشكل نوعًا من الرسم البياني ، كما هو موضح في الصورة التالية:

إنها منطقة مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالرياضيات المنفصلة لأن التعبيرات الجبرية منفصلة. من خلال هذا ، يتم تطوير الدوائر الإلكترونية والمعالجات والبرمجة (الجبر المنطقي) وقواعد البيانات (الجبر العلائقي)..

علم الهندسة

دراسة الخصائص اندماجي من الكائنات الهندسية ، مثل طلاء الطائرة. من ناحية أخرى ، تتيح الهندسة الحاسوبية تطوير المشكلات الهندسية من خلال تطبيق الخوارزميات.

نظرية المجموعات

في مجموعات الرياضيات المنفصلة (عدد محدود وغير محدود) هي الهدف الرئيسي للدراسة. تم نشر نظرية المجموعات بواسطة جورج كانتور ، الذي أظهر أن جميع المجموعات اللانهائية لها نفس الحجم.

المجموعة هي مجموعة من العناصر (الأرقام ، الأشياء ، الحيوانات والأشخاص ، من بين أشياء أخرى) محددة بشكل جيد ؛ أي أن هناك علاقة ينتمي بموجبها كل عنصر إلى مجموعة ، ويتم التعبير عنها ، على سبيل المثال ، إلى ∈ A.

في الرياضيات هناك مجموعات مختلفة تجمع أرقامًا معينة وفقًا لخصائصها. لذلك ، على سبيل المثال ، لديك:

- مجموعة من الأرقام الطبيعية N = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، ... + ∞.

- مجموعة من الأعداد الصحيحة E = -∞ ... ، -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ... + ∞.

- مجموعة فرعية من الأرقام المنطقية Q * = -∞ ...، - ¼، - ½، 0، ¼، ½، ... ∞.

- مجموعة من الأرقام الحقيقية R = -∞ ... ، - ½ ، -1 ، 0 ، ½ ، 1 ، ... ∞.

تتم تسمية المجموعات بأحرف الأبجدية ، كبيرة الحجم ؛ بينما يتم تسمية العناصر بأحرف صغيرة ، داخل الأقواس () وتفصل بينها فواصل (،). وعادة ما يتم تمثيلهم في الرسوم البيانية مثل فين وكارول ، وكذلك حسابيا.

مع العمليات الأساسية مثل الاتحاد والتقاطع والتكملة والفرق والمنتج الديكارتي ، تتم إدارة المجموعات وعناصرها ، استنادًا إلى علاقة الانتماء.

هناك عدة أنواع من المجموعات ، أكثرها درسًا في الرياضيات المنفصلة هي:

مجموعة محدودة

هو واحد يحتوي على عدد محدد من العناصر والذي يتوافق مع عدد طبيعي. لذلك ، على سبيل المثال ، A = 1 ، 2 ، 3،4 عبارة عن مجموعة محدودة تحتوي على 4 عناصر.

مجموعة المحاسبة لانهائية

هو العنصر الذي يوجد فيه مراسلات بين عناصر مجموعة والأعداد الطبيعية ؛ وهذا يعني ، من عنصر يمكن أن تدرج على التوالي جميع عناصر مجموعة.

بهذه الطريقة ، سيتوافق كل عنصر مع كل عنصر من عناصر مجموعة الأرقام الطبيعية. على سبيل المثال:

يمكن إدراج مجموعة الأعداد الصحيحة Z = ... -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ... على أنها Z = 0 ، 1 ، -1 ، 2 ، -2 .... بهذه الطريقة ، يمكن إجراء مراسلات فردية بين عناصر Z والأرقام الطبيعية ، كما هو موضح في الصورة التالية:

إنها طريقة تستخدم لحل المشكلات المستمرة (النماذج والمعادلات) التي يجب تحويلها إلى مشاكل منفصلة ، والتي يعرف فيها الحل بتقريب حل المشكلة المستمرة.

في طريقة أخرى ، يحاول التفكيك استخراج كمية محدودة من مجموعة لا حصر لها من النقاط ؛ بهذه الطريقة ، يتم تحويل وحدة مستمرة إلى وحدات فردية.

بشكل عام ، تُستخدم هذه الطريقة في التحليل العددي ، كما هو الحال في حل المعادلة التفاضلية ، على سبيل المثال عن طريق دالة تُمثلها كمية محدودة من البيانات في مجالها ، حتى عندما تكون مستمرة.

مثال آخر على التقدير التقديري هو استخدامه لتحويل إشارة تمثيلية إلى رقمية ، عندما يتم تحويل وحدات الإشارة المستمرة إلى وحدات فردية (يتم تقديريها) ، ثم يتم تشفيرها وقياسها للحصول على إشارة رقمية.

مراجع

1. Grimaldi، R. P. (1997). الرياضيات المنفصلة والمتكاملة. أديسون ويسلي Iberoamericana.
2. فيراندو ، ف. غريغوري. (1995). الرياضيات المنفصلة Reverte.
3. Jech، T. (2011). وضع نظرية. موسوعة ستانفورد للفلسفة.
4. José Francisco Villalpando Becerra، A. G. (2014). الرياضيات المنفصلة: التطبيقات والتمارين. مجموعة التحرير باتريا.
5. لانداو ، ر. (2005). الحوسبة ، دورة أولى في العلوم.
6. Merayo، F. G. (2005). الرياضيات المنفصلة. طومسون الافتتاحية.
7. Rosen، K. H. (2003). الرياضيات المنفصلة وتطبيقاتها. ماكجرو هيل.
8. Schneider، D. G. (1995). نهج منطقي للرياضيات المنفصلة.