الخصائص الموازية والأنواع والمساحة والحجم

ل متوازي السطوح هو جسم هندسي يتكون من ستة وجوه ، وتتمثل خصائصه الرئيسية في أن جميع وجوههم عبارة عن متوازيات متوازية وكذلك وجوههم المتوازية متوازية. إنه متعدد السطوح شائع في حياتنا اليومية ، حيث يمكننا العثور عليه في صناديق الأحذية ، شكل الطوب ، شكل الميكروويف ، إلخ..

كونه متعدد السطوح ، يحوي خط الموازي حجمًا محدودًا وجميع وجوهه مسطحة. إنها جزء من مجموعة المنشور ، وهي تلك المجسمات المتعددة التي تحتوي كل رؤوسها على مستويين.

مؤشر

• 1 عناصر الموازي
  • 1.1 الوجوه
  • 1.2 الحواف
  • 1.3 فيرتكس
  • 1.4 قطري
  • 1.5 المركز
• 2 خصائص الموازي
• 3 أنواع
  • 3.1 حساب الأقطار
• 4 المنطقة
  • 4.1 منطقة تقويم العظام
  • 4.2 مساحة مكعب
  • 4.3 مساحة المعين
  • 4.4 منطقة المعينية
• 5 حجم موازي
  • 5.1 مواز الكمال
• 6 ببليوغرافيا

عناصر متوازية

كاراس

هم كل من المناطق التي شكلتها متوازي الاضلاع التي تحد من متوازي الاضلاع. على وجه مواز له ستة وجوه ، حيث يكون لكل وجه أربعة وجوه متجاورة وواحد معاكس. بالإضافة إلى ذلك ، كل جانب بالتوازي مع العكس.

Aristas

هم الجانب المشترك لوجهين. في المجمل ، فإن خط مواز له 12 حافة.

قمة الرأس

إنها النقطة المشتركة بين الوجوه الثلاثة المجاورة لبعضها البعض من اثنين إلى اثنين. وهناك خط مواز له ثمانية رؤوس.

قطري

بالنظر إلى وجهين متوازيين من خط موازٍ ، فيمكننا رسم مقطع خط يمتد من قمة وجه واحد إلى قمة الرأس الأخرى.

يُعرف هذا الجزء باسم قطري موازٍ. كل موازية لها أربعة أقطار.

مركز

هذه هي النقطة التي تتقاطع فيها جميع الأقطار.

خصائص الموازي

كما ذكرنا ، فإن هذا الهيكل الهندسي له اثني عشر حواف وستة وجوه وثمانية رؤوس.

في خط مواز ، يمكنك تحديد ثلاث مجموعات مكونة من أربعة حواف ، متوازية مع بعضها البعض. بالإضافة إلى ذلك ، تستوفي حواف هذه المجموعات أيضًا خاصية وجود الطول نفسه.

هناك خاصية أخرى تمتلكها الموازي المتوازي وهي أنها محدبة ، أي إذا أخذنا أي زوج من النقاط يخص الجزء الداخلي من الموازي ، فإن الجزء الذي تحدده زوج النقاط المذكور سيكون أيضًا داخل الموازي الموازي..

بالإضافة إلى ذلك ، فإن موازاة الأنابيب ذات الوجوه المتعددة المحدبة تتوافق مع نظرية أويلر عن الأشكال المتعددة الوجوه ، والتي تعطينا علاقة بين عدد الوجوه وعدد الحواف وعدد القمم. يتم إعطاء هذه العلاقة في شكل المعادلة التالية:

C + V = A + 2

تُعرف هذه الميزة بخاصية أويلر.

حيث C هو عدد الوجوه ، V عدد الرؤوس و A عدد الحواف.

نوع

يمكننا تصنيف مواز موازية على أساس وجوههم ، في الأنواع التالية:

مكعباني شبيه بالمكعب

هم المتوازيون حيث تتشكل وجوههم بستة مستطيلات. كل مستطيل عمودي مع تلك التي يشارك حافة. إنها الأكثر شيوعًا في حياتنا اليومية وهي الطريقة المعتادة لصناديق الأحذية والطوب.

المكعب أو السداسي العادي

هذه حالة خاصة بالحالة السابقة ، حيث يكون كل وجه مربعًا.

المكعب هو أيضا جزء من الهيئات الهندسية تسمى المواد الصلبة الأفلاطونية. المادة الصلبة الأفلاطونية هي متعددة الوجوه محدبة ، بحيث تكون كل من وجوهها وزواياها الداخلية متساوية مع بعضها البعض.

romboedro

وهو مواز له الماس على وجهه. كل هذه الماسات متساوية مع بعضها البعض ، لأنها تشارك الحواف.

Romboiedro

ستة وجوه هي المعين. تذكر أن المعيني عبارة عن مضلع ذو أربعة جوانب وأربع زوايا متساوية بين اثنين واثنين. المعينية عبارة عن متوازيات غير مربعة ولا مستطيلة ولا المعينية.

من ناحية أخرى ، فإن الموازي المائلة هي تلك التي لا يتفق ارتفاع واحد على الأقل مع حوافها. في هذا التصنيف ، يمكننا تضمين rhombohedrons و rhombichedrons.

حساب قطري

لحساب قطري orthohedron يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس ل R³.

أذكر أن othohedron لديه ميزة أن كل جانب عمودي مع الجوانب التي تشترك في الحافة. من هذه الحقيقة يمكننا أن نستنتج أن كل حافة متعامدة مع تلك التي تشترك في قمة الرأس.

لحساب طول قطري من orthohedron نواصل على النحو التالي:

1. نحسب قطري واحد من الوجوه ، والتي سنضعها كقاعدة. لهذا نستخدم نظرية فيثاغورس. اسم هذا قطري د_ب.

2. ثم مع د_ب يمكننا تشكيل مثلث جديد يمين ، بحيث يكون الوتر من المثلث المذكور هو D المائل.

3. نستخدم مرة أخرى نظرية فيثاغورس ولدينا أن طول القطر المذكور هو:

هناك طريقة أخرى لحساب الأقطار بطريقة رسومية تتمثل في مجموع المتجهات الحرة.

تذكر أنه يتم إضافة متجهين حرتين A و B بوضع ذيل المتجه B مع طرف المتجه A.

المتجه (A + B) هو الذي يبدأ عند ذيل A وينتهي عند الطرف B.

فكر في خط موازٍ نريد حساب قطري له.

نحدد الحواف مع ناقلات موجهة بشكل مريح.

ثم نضيف هذه المتجهات وسيكون المتجه الناتج قطري متوازي الأضلاع.

منطقة

يتم إعطاء مساحة متوازية بواسطة مجموع كل منطقة من وجوههم.

إذا حددنا أحد الجوانب كقاعدة,

A_L + 2A_B = المساحة الكلية

أين أ_L تساوي مجموع المناطق من جميع الأطراف المجاورة للقاعدة ، وتسمى المنطقة الجانبية و A_B هي المنطقة الأساسية.

اعتمادًا على نوع الموازي الذي نعمل به ، يمكننا إعادة كتابة الصيغة المذكورة.

منطقة تقويم العظام

يتم إعطاء بواسطة الصيغة

A = 2 (ab + bc + ca).

مثال 1

بالنظر إلى orthohedron التالية ، مع جوانب = 6 cm ، b = 8 cm و c = 10 cm ، احسب مساحة خط الموازي وطول قطريها.

باستخدام الصيغة لمنطقة orthohedron لدينا ل

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 سم².

لاحظ أنه نظرًا لأنه ortohedron ، فإن طول أي من الأقطار الأربعة له هو نفسه.

باستخدام نظرية فيثاغورس للمساحة لدينا ل

د = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

مساحة مكعب

نظرًا لأن كل حافة لها نفس الطول ، لدينا = b و a = c. استبدال في الصيغة السابقة لدينا

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6 أ²

A = 6A²

مثال 2

يحتوي مربع وحدة التحكم في اللعبة على شكل مكعب. إذا أردنا أن نلف هذا المربع بورق هدايا ، فكم من الورق سوف ننفقه مع العلم أن طول حواف المكعب يبلغ 45 سم?

باستخدام صيغة منطقة المكعب نحصل عليها

أ = 6 (45 سم)² = 6 (2025 سم)²= 12150 سم²

منطقة المعين

نظرًا لأن كل وجوههم متساوية ، يكفي حساب مساحة أحدهم وضربها بستة.

يمكننا حساب مساحة الماس باستخدام الأقطار الخاصة به مع الصيغة التالية

A_R = (يوم) / 2

باستخدام هذه الصيغة ، يترتب على ذلك أن المساحة الكلية لل rhombohedron هي

A_تي = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

مثال 3

تتشكل وجوه المعين التالي من المعين الذي تكون أقطاره D = 7 سم و d = 4 سم. منطقتك ستكون

أ = 3 (7 سم) (4 سم) = 84 سم².

منطقة المعينية

لحساب مساحة المعينية ، يجب أن نحسب مساحة المعينات التي تؤلفها. نظرًا لأن مواز الموازنات تتوافق مع الخاصية التي لها جوانب متقاربة لها نفس المنطقة ، فيمكننا ربط الجوانب بثلاثة أزواج.

بهذه الطريقة لدينا أن منطقتك ستكون

A_تي = 2 ب₁ح₁ + 2B₂ح₂ + 2B₃ح₃

أين ب_أنا هي القواعد المرتبطة الجانبين و_أنا ارتفاعه النسبي الموافق للقواعد المذكورة.

مثال 4

النظر في موازاة التالي,

حيث يكون الجانبان A والجانب A '(جانبه الآخر) كقاعدة b = 10 وللارتفاع h = 6. سيكون للمنطقة المحددة قيمة

A₁ = 2 (10) (6) = 120

B و B 'لها b = 4 و h = 6 ، إذن

A₂ = 2 (4) (6) = 48

و C و C 'لها b = 10 و h = 5 ، لذلك

A₃ = 2 (10) (5) = 100

وأخيرا منطقة المعين

A = 120 + 48 + 100 = 268.

حجم موازية

الصيغة التي تعطينا حجم الموازي هي نتاج منطقة أحد وجوهها بالارتفاع المقابل للوجه المذكور.

الخامس = أ_Cح_C

اعتمادا على نوع من قال يمكن أن تكون مبسطة قال صيغة مبسطة.

لذلك لدينا على سبيل المثال أن حجم orthohedron سيعطى من قبل

الخامس = abc.

حيث a و b و c تمثل طول الحواف المتعامدة.

وفي حالة معينة من المكعب هو

الخامس = أ³

مثال 1

هناك ثلاثة طرز مختلفة لصناديق ملفات تعريف الارتباط وتريد أن تعرف في أي من هذه النماذج يمكنك تخزين المزيد من ملفات تعريف الارتباط ، أي من الصناديق التي لديها أعلى حجم.

الأول هو مكعب له حافة يبلغ طوله 10 سم

حجمها سيكون V = 1000 سم³

الثانية لها حواف ب = 17 سم ، ج = 5 سم ، د = 9 سم

وبالتالي حجمه هو V = 765 سم³

والثالث له = 9 سم ، و = 9 سم و ز = 13 سم

وحجمها هو V = 1053 سم³

لذلك ، المربع الذي يحتوي على أكبر حجم هو الثالث.

هناك طريقة أخرى للحصول على حجم خط متوازي وهي اللجوء إلى الجبر المتجه. على وجه الخصوص ، والمنتج العددية الثلاثي.

أحد التفسيرات الهندسية التي تحتوي على المنتج الثلاثي العددية هو حجم خط الموازاة ، الذي تمثل حوافه ثلاثة متجهات تشترك في نفس الرأس كنقطة بداية.

وبهذه الطريقة إذا كان لدينا خط مواز ونريد أن نعرف حجمه ، فهذا يكفي لتمثيله في نظام الإحداثيات في R³ مطابقة واحدة من القمم مع الأصل.

ثم نمثل الحواف التي تتفق في الأصل مع المتجهات كما هو موضح في الشكل.

وبهذه الطريقة لدينا أن حجم توازيبيبيد المذكورة تعطى من قبل

الخامس = | AxB ∙ C |

أو على نحو مماثل ، يمثل الحجم محددًا للمصفوفة 3 × 3 ، المكونة من مكونات متجهات الحافة.

مثال 2

بتمثيل الموازي التالي في R³ يمكننا أن نرى أن المتجهات التي تحدد ذلك هي التالية

u = (-1 ، -3.0) ، v = (5 ، 0 ، 0) و w = (-0.25 ، -4 ، 4)

باستخدام المنتج القياسي الثلاثي لدينا

الخامس = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1 ، -3.0) × (5 ، 0 ، 0) = (0،0 ، - 15)

(uxv) ∙ w = (0،0، - 15) ∙ (-0.25، -4، 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

من هذا نستنتج أن V = 60

الآن النظر في موازاة التالي في R3 التي يتم تحديد حوافها بواسطة المتجهات

A = (2 ، 5 ، 0) ، B = (6 ، 1 ، 0) و C = (3 ، 4 ، 4)

باستخدام المحددات يعطينا ذلك

لذلك لدينا أن حجم مواز المذكورة هو 112.

كلاهما طرق مكافئة لحساب وحدة التخزين.

متوازي الكمال

يُعرف باسم لبنة Euler (أو كتلة Euler) لمصطلح orthohedron الذي يفي بالخاصية التي يكون طول كل من حوافها وطول الأقطار لكل وجه من وجوهها عبارة عن أعداد صحيحة.

على الرغم من أن أويلر لم يكن أول عالم يدرس الأرثوذكسات التي تلبي تلك الممتلكات ، فقد وجد نتائج مثيرة للاهتمام عنها.

اكتشف بول هالك لبنة أويلر الأصغر وأطوال حوافها = 44 ، ب = 117 و ج = 240.

مشكلة مفتوحة في نظرية الأعداد هي كما يلي

هل هناك orthohedrons الكمال?

في الوقت الحاضر ، لا يمكن الإجابة على هذا السؤال ، لأنه لم يكن من الممكن إثبات أن هذه الهيئات غير موجودة ، ولكن لم يتم العثور على أي منها.

ما تم عرضه حتى الآن هو وجود مواضع متوازية مثالية. يحتوي أول من يتم اكتشافه على طول حوافه القيم 103 و 106 و 271.

قائمة المراجع

1. جاي ، ر. (1981). المشاكل التي لم تحل في نظرية الأعداد. عارضة خشبية.
2. لاندافيردي ، ف. د. (1997). Geometria. تقدم.
3. ليتولد ، L. (1992). الحساب باستخدام الهندسة التحليلية. هارلا ، س.
4. رندون ، أ. (2004). الرسم الفني: المصنف 3 البكالوريا الثانية . تيبار.
5. Resnick، R.، Halliday، D.، & Krane، K. (2001). الفيزياء المجلد 1. المكسيك: كونتيننتال.