تقنيات عد مبدأ المضاعفة والأمثلة



ال مبدأ المضاعف هي تقنية تستخدم لحل مشاكل العد لإيجاد الحل دون الحاجة إلى سرد عناصره. ومن المعروف أيضا باسم المبدأ الأساسي للتحليل التوافقي. يعتمد على الضرب المتتالي لتحديد كيفية حدوث الحدث.

هذا المبدأ ينص على أنه إذا كان القرار (د1) يمكن أن يتخذ بطرق ن وقرار آخر (د2) يمكن اتخاذها بطرق م ، العدد الإجمالي للطرق التي يمكن بها اتخاذ القرارات1 و د2 سيكون مساويا لضرب n * م. وفقًا للمبدأ ، يتم اتخاذ كل قرار واحدًا تلو الآخر: عدد الطرق = N1 * N2... * Nس طرق.

مؤشر

  • 1 أمثلة
    • 1.1 مثال 1
    • 1.2 مثال 2
  • 2 تقنيات العد
    • 2.1 مبدأ الجمع
    • 2.2 مبدأ التقليب
    • 2.3 مبدأ الجمع
  • 3 تمارين حلها
    • 3.1 التمرين 1
    • 3.2 التمرين 2
  • 4 المراجع

أمثلة

مثال 1

تخطط بولا للذهاب إلى السينما مع صديقاتها ، واختيار الملابس التي سترتديها ، أفصل 3 بلوزات وتنانير. كيف العديد من الطرق يمكن لبولا اللباس؟?

حل

في هذه الحالة ، يجب على Paula اتخاذ قرارين:

د1 = اختر بين 3 بلوزات = ن

د2 = اختر بين 2 التنانير = م

بهذه الطريقة بولا لديه ن * م القرارات لاتخاذ أو طرق مختلفة لخلع الملابس.

ن * م = 3* 2 = 6 قرارات.

يأتي مبدأ المضاعف من أسلوب مخطط الشجرة ، وهو مخطط يربط جميع النتائج المحتملة ، بحيث يمكن أن يحدث كل منها عددًا محدودًا من المرات.

مثال 2

كان ماريو متعطشًا للغاية ، لذلك ذهب إلى المخبز لشراء عصير. لويس يجيب عليه ويخبره أن لديه حجمين: كبيرًا وصغيرًا ؛ وأربعة نكهات: التفاح والبرتقال والليمون والعنب. كم من الطرق يمكن ماريو اختيار العصير?

حل

في الرسم البياني ، يمكن ملاحظة أن ماريو لديه 8 طرق مختلفة لاختيار العصير ، وكما في مبدأ التكاثر ، يتم الحصول على هذه النتيجة بضرب n*م. الفرق الوحيد هو أنه من خلال هذا المخطط ، يمكنك معرفة كيف هي الطرق التي يختار ماريو العصير.

من ناحية أخرى ، عندما يكون عدد النتائج المحتملة كبيرًا جدًا ، يكون استخدام مبدأ التعدد أكثر عملية.

تقنيات العد

تقنيات العد هي طرق تستخدم لإجراء عملية حسابية مباشرة ، وبالتالي معرفة عدد الترتيبات المحتملة التي يمكن أن تحتوي عليها عناصر مجموعة معينة. تستند هذه التقنيات إلى عدة مبادئ:

مبدأ الجمع

ينص هذا المبدأ على أنه في حالة تعذر حدوث حدثين m و n في نفس الوقت ، فإن عدد الطرق التي يمكن أن يحدث بها الحدث الأول أو الثاني سيكون مجموع m + n:

عدد الأشكال = m + n ... + x أشكال مختلفة.

مثال

أنطونيو يريد القيام برحلة لكن تقرر ما المقصد؛ السياحية في جنوب توفر الترويج للسفر إلى نيويورك أو لاس فيغاس، في حين توصي الوكالة السفر توريزمو ديل استي لفرنسا أو إيطاليا أو أسبانيا. كم عدد البدائل السفر المختلفة وتقدم أنطونيو?

حل

مع وكالة السياحة الجنوبية ، يوجد في أنطونيو خياران (نيويورك أو لاس فيجاس) ، بينما لدى وكالة السياحة الشرقية 3 خيارات (فرنسا أو إيطاليا أو إسبانيا). عدد البدائل المختلفة هو:

عدد البدائل = م + ن = 2 + 3 = 5 بدائل.

مبدأ التقليب

يتعلق الأمر بشكل خاص بكل العناصر التي تشكل مجموعة أو بعضها ، لتسهيل حساب جميع الترتيبات الممكنة التي يمكن إجراؤها مع العناصر.

يمثل عدد التباديل لعناصر مختلفة ، تؤخذ كلها مرة واحدة ، على النحو التالي:

نPن = ن!

مثال

يريد أربعة أصدقاء التقاط صورة ويريدون معرفة عدد الأشكال المختلفة التي يمكن طلبها.

حل

كنت تريد أن تعرف مجموعة من جميع الطرق الممكنة التي يمكن أن توضع 4 أشخاص لالتقاط الصورة. لذلك ، عليك:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 طرق مختلفة.

إذا أخذ عدد التباديل للعناصر المتاحة بأجزاء من مجموعة مكونة من عناصر r ، فيتم تمثيلها على النحو التالي:

نPص = ن! n (n - r)!

مثال

في غرفة الصف هناك 10 وظائف. إذا حضر 4 طلاب الفصل ، في عدد الطرق المختلفة التي يمكن للطلاب من خلالها شغل المناصب?

حل

إجمالي عدد مجموعة الكراسي هو 10 ، وسيتم استخدام هذه فقط 4. يتم تطبيق الصيغة المحددة لتحديد عدد التباديل:

نPص = ن! n (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 طرق لملء المشاركات.

هناك حالات يتكرر فيها بعض العناصر المتاحة للمجموعة (تكون متماثلة). لحساب عدد الترتيبات التي تأخذ كل العناصر في وقت واحد ، يتم استخدام الصيغة التالية:

نPص = ن! ÷ ن1!* ن2!... نص!

مثال

كم من الكلمات المختلفة من أربعة أحرف يمكن تشكيلها من كلمة "الذئب"?

حل

في هذه الحالة لدينا 4 عناصر (رسائل) ، اثنان منهم متشابهان تمامًا. بتطبيق الصيغة المحددة ، نعرف عدد الكلمات المختلفة:

نPص = ن! ÷ ن1!* ن2!... نص!

4P2 ، 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2 ، 1 ، 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2 ، 1 ، 1 = 24 ÷ 2 = 12 كلمات مختلفة.

مبدأ الجمع

إنه يتعلق بإصلاح كل أو بعض العناصر التي تشكل مجموعة بدون ترتيب محدد. على سبيل المثال ، إذا كان لديك صفيف XYZ ، فسيكون مطابقًا لصفيفات ZXY و YZX و ZYX وغيرها ؛ هذا لأنه على الرغم من عدم وجوده في نفس الترتيب ، فإن عناصر كل ترتيب هي نفسها.

عند أخذ بعض العناصر (ص) من المجموعة (ن) ، يتم إعطاء مبدأ الجمع بالصيغة التالية:

نCص = ن! n (n - r)!!

مثال

في المتجر يبيعون 5 أنواع مختلفة من الشوكولاته. كم من الطرق المختلفة يمكنك اختيار 4 شوكولاتة?

حل

في هذه الحالة ، يجب عليك اختيار 4 أنواع من الشوكولاتة من الأنواع الخمسة التي تباع في المتجر. لا يهم الترتيب الذي يتم اختيارهم فيه ، وبالإضافة إلى ذلك ، يمكن اختيار نوع من الشوكولاتة أكثر من مرتين. عند تطبيق الصيغة ، يجب عليك:

نCص = ن! n (n - r)!!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)! 4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 طرق مختلفة لاختيار 4 شوكولاتة.

عندما تؤخذ جميع العناصر (ص) من المجموعة (ن) ، يتم إعطاء مبدأ الجمع بالصيغة التالية:

نCن = ن!

تمارين حلها

التمرين 1

لديك فريق بيسبول يضم 14 عضوًا. في عدد الطرق التي يمكنك تعيين 5 وظائف لعبة?

حل

تتكون المجموعة من 14 عنصرًا وترغب في تعيين 5 وظائف محددة ؛ وهذا هو ، هذا الأمر يهم. يتم تطبيق صيغة التقليب حيث يتم أخذ العناصر المتاحة بأجزاء من مجموعة مكونة بواسطة r.

نPص = ن! n (n - r)!

حيث n = 14 و r = 5. يتم استبدالها في الصيغة:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 طرق لتعيين 9 مواقف اللعبة.

التمرين 2

إذا ذهبت عائلة مكونة من 9 أفراد في رحلة واشترت تذاكرهم بمقاعد متتالية ، فكم من الطرق المختلفة يمكنهم الجلوس بها?

حل

فهو يقع في حوالي 9 عناصر التي ستشغل 9 مقاعد على التوالي.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 طرق مختلفة للجلوس.

مراجع

  1. هوبكنز ، ب. (2009). مصادر لتدريس الرياضيات المنفصلة: مشاريع الفصل الدراسي ، وحدات التاريخ ، والمقالات.
  2. جونسون بو ، ر. (2005). الرياضيات المنفصلة بيرسون التعليم,.
  3. Lutfiyya، L. A. (2012). محدد وحل مشكلة الرياضيات المنفصلة. جمعية محرري البحث والتعليم.
  4. Padró، F. C. (2001). الرياضيات المنفصلة POLITEC. كاتالونيا.
  5. شتاينر ، E. (2005). الرياضيات للعلوم التطبيقية. Reverte.