خصائص المنتجات المتقاطعة والتطبيقات والتمارين التي تم حلها

ال عبر المنتج أو ناقلات المنتج إنها طريقة لمضاعفة متجهين أو أكثر. هناك ثلاث طرق لمضاعفة المتجهات ، ولكن أيا من هذه هي الضرب بالمعنى المعتاد للكلمة. يُعرف أحد هذه النماذج كمنتج متجه ، والذي ينتج عنه متجه ثالث.

يتميز المنتج المتجه ، والذي يُسمى أيضًا المنتج المتقاطع أو المنتج الخارجي ، بخصائص جبرية وهندسية مختلفة. هذه الخصائص مفيدة للغاية ، خاصة في دراسة الفيزياء.

مؤشر

• 1 التعريف
• 2 خصائص
  • 2.1 الملكية 1
  • 2.2 الملكية 2
  • 2.3 الملكية 3
  • 2.4 خاصية 4 (منتج عددي ثلاثي)
  • 2.5 خاصية 5 (منتج متجه ثلاثي)
  • 2.6 الملكية 6
  • 2.7 الملكية 7
  • 2.8 الملكية 8
• 3 تطبيقات
  • 3.1 حساب حجم متوازي
• 4 تمارين حلها
  • 4.1 التمرين 1
  • 4.2 التمرين 2
• 5 المراجع

تعريف

وهناك تعريف رسمي من المنتج ناقلات على النحو التالي: إذا A = (A1، A2، A3) وB = (B1، B2، B3) وناقلات، ثم المنتج متجه A و B، التي تدل كما AxB، هو:

AxB = (a2b3 - a3b2 ، a3b1 - a1b3 ، a1b2 - a2b1)

بسبب التدوين AxB ، فإنه يقرأ كـ "A cross B".

مثال على كيفية استخدام المنتج الخارجي هو أنه إذا كانت A = (1 ، 2 ، 3) و B = (3 ، -2 ، 4) عبارة عن متجه ، ثم باستخدام تعريف منتج المتجه لدينا:

AxB = (1 ، 2 ، 3) x (3 ، -2 ، 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2) ، 3 * 3 - 1 * 4 ، 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6 ، 9 - 4 ، - 2 - 6) = (14 ، 5 ، - 8).

يتم إعطاء طريقة أخرى للتعبير عن المنتج المتجه بواسطة تدوين المحددات.

يتم حساب محدد الدرجة الثانية من خلال:

لذلك ، يمكن إعادة كتابة صيغة منتج المتجه الوارد في التعريف على النحو التالي:

يتم تبسيط هذا عادةً في محدد ترتيب ثالث كما يلي:

حيث يمثل i، j، k المتجهات التي تشكل أساس R³.

باستخدام هذه الطريقة للتعبير عن المنتج المتقاطع ، لدينا أنه يمكن إعادة كتابة المثال السابق على النحو التالي:

خصائص

فيما يلي بعض الخصائص التي يمتلكها المنتج المتجه:

الملكية 1

إذا كان A هو أي ناقل في R³, يجب علينا:

- أكسا = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

من السهل التحقق من هذه الخصائص باستخدام التعريف فقط. إذا كانت A = (a1 ، a2 ، a3) فعلينا:

AxA = (a2a3 - a3a2 ، a3a1 - a1a3 ، a1a2 - a2a1) = (0 ، 0 ، 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0 ، a3 * 0 - a1 * 0 ، a1 * 0 - a2 * 0) = (0 ، 0 ، 0) = 0.

إذا كان i، j، k يمثل أساس الوحدة لـ R³, يمكننا كتابتها على النحو التالي:

أنا = (1 ، 0 ، 0)

ي = (0 ، 1 ، 0)

ك = (0 ، 0 ، 1)

بعد ذلك ، علينا أن نحقق الخصائص التالية:

كقاعدة عامة ، لتذكر هذه الخصائص ، عادة ما تستخدم الدائرة التالية:

هناك يجب أن نلاحظ أن أي متجه بنفسه ينتج المتجه 0 ، ويمكن الحصول على بقية المنتجات من خلال القاعدة التالية:

يعطي الناتج المتقاطع لمتجهين متتالين في اتجاه عقارب الساعة المتجه التالي ؛ وعند النظر في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة ، تكون النتيجة هي المتجه التالي بعلامة سالب.

بفضل هذه الخصائص ، يمكننا أن نرى أن منتج المتجه ليس تبادلاً ؛ على سبيل المثال ، يكفي ملاحظة أن i x j ≠ j x i. تخبرنا الخاصية التالية كيف ترتبط AxB و BxA بشكل عام.

الملكية 2

إذا كانت A و B متجهات R³, يجب علينا:

AxB = - (BxA).

عرض

إذا كانت A = (a1 ، a2 ، a3) و B = (b1 ، b2 ، b3) ، من خلال تعريف المنتج الخارجي لدينا:

AxB = (a2b3 - a3b2 ، a3b1 - a1b3 ، a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3 ، a1b3 - a3b1 ، a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

يمكننا أيضًا ملاحظة أن هذا المنتج غير مرتبط بالمثال التالي:

ix (ixj) = ixk = - j لكن (ixi) xj = 0xj = 0

من هذا يمكننا أن نلاحظ أن:

التاسع (ixj) ≠ (ixi) xj

الملكية 3

إذا كانت A ، B ، C هي متجهات R³ و r رقم حقيقي ، التالي صحيح:

- الفأس (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

بفضل هذه الخصائص ، يمكننا حساب منتج المتجه باستخدام قوانين الجبر ، بشرط احترام الطلب. على سبيل المثال:

إذا كانت A = (1 ، 2 ، 3) و B = (3 ، -2 ، 4) ، يمكننا إعادة كتابتها بناءً على الأساس الكنسي لـ R³.

وبالتالي ، A = i + 2j + 3k و B = 3i - 2j + 4k. ثم ، تطبيق الخصائص السابقة:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (IXI) - 2 (IXJ) + 4 (ixk) + 6 (JXI) - 4 (jxj) + 8 (JXK) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14 ، 5 ، - 8).

خاصية 4 (المنتج الثلاثي العددية)

كما ذكرنا في البداية ، هناك طرق أخرى لمضاعفة المتجهات بجانب منتج المتجه. تتمثل إحدى هذه الطرق في المنتج القياسي أو المنتج الداخلي ، والذي يُشار إليه باسم A-B والذي تعريفه هو:

إذا كانت A = (a1 ، a2 ، a3) و B = (b1 ، b2 ، b3) ، ثم A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

تُعرف الخاصية التي تربط كلا المنتجين بالمنتج القياسي الثلاثي.

إذا كانت A و B و C متجهات R³, ثم A ∙ BxC = AxB ∙ C

كمثال ، دعنا نرى أنه ، بالنظر إلى A = (1 ، 1 ، - 2) ، B = (- 3 ، 4 ، 2) و C = (- 5 ، 1 ، - 4) ، تم الوفاء بهذه الخاصية.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BXC = (1، 1، - 2) ∙ (- 18، - 22، 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

من ناحية أخرى:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10 ، 4 ، 7) ∙ (- 5 ، 1 ، - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

منتج ثلاثي آخر هو Ax (BxC) ، والذي يعرف باسم منتج vector vector.

خاصية 5 (المنتج الثلاثي الموجه)

إذا كانت A و B و C هي متجهات R³,  ثم:

الفأس (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

كمثال ، دعنا نرى أنه ، بالنظر إلى A = (1 ، 1 ، - 2) ، B = (- 3 ، 4 ، 2) و C = (- 5 ، 1 ، - 4) ، تم الوفاء بهذه الخاصية.

من المثال السابق ، نعلم أن BxC = (- 18 ، - 22 ، 17). دعنا نحسب الفأس (BxC):

الفأس (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

من ناحية أخرى ، يتعين علينا:

A ∙ C = (1 ، 1 ، - 2) ∙ (- 5 ، 1 ، - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1 ، 1 ، - 2) ∙ (- 3 ، 4 ، 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

لذلك ، علينا أن:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3، 4، 2) + 3 (- 5، 1-4) = (- 12، 16، 8) + (- 15، 3، - 12) = (- 27،19 ، -4)

الملكية 6

انها واحدة من الخصائص الهندسية للناقلات. إذا كان A و B متجهين في R³ و Θ هي الزاوية التي يتم تشكيلها بين هذه ، ثم:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ) ، حيث || ∙ || يدل على وحدة أو حجم المتجه.

التفسير الهندسي لهذه الخاصية هو كما يلي:

دع A = PR و B = PQ. بعد ذلك ، تكون الزاوية التي شكلتها المتجهات A و B هي الزاوية P للمثلث RQP ، كما هو موضح في الشكل التالي.

لذلك ، فإن مساحة متوازي الاضلاع مع الجوانب المتجاورة PR و PQ هي || A |||| B || sin (Θ) ، حيث يمكننا أن نأخذ كأساس || A || وطوله يعطى بواسطة || B || sin (Θ).

وبسبب هذا ، يمكننا أن نستنتج أن || AxB || هو مجال متوازي الاضلاع.

مثال

بالنظر إلى القمم التالية للرباعي P (1 ، -2،3) ، Q (4 ، 3 ، -1) ، R (2 ، 2،1) و S (5،7 ، -3) ، تظهر أن الرباعي المذكور هو متوازي الاضلاع والعثور على منطقته.

لهذا نحدد أولاً المتجهات التي تحدد اتجاه جوانب الرباعي. هذا هو:

A = PQ = (1 - 4 ، 3 + 2 ، - 1 - 3) = (3 ، 5 ، - 4)

B = PR = (2 - 1 ، 2 + 2 ، 1 - 3) = (1 ، 4 ، - 2)

C = RS = (5 - 2 ، 7 - 2 ، - 3 - 1) = (3 ، 5 ، - 4)

D = QS = (5 - 4 ، 7 - 3 ، - 3 + 1) = (1 ، 4 ، - 2)

كما يمكننا أن نلاحظ أن A و C لديهما نفس مدير المتجهات ، حيث لدينا كلاهما متوازيان ؛ بالطريقة نفسها يحدث مع B و D. لذلك ، فإننا نستنتج أن PQRS هو متوازي الاضلاع.

للحصول على مساحة متوازي الاضلاع المذكور ، نحسب BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

لذلك ، ستكون المساحة المربعة:

|| BxA ||² = (- 6)² + (- 2)² + (- 7)² = 36 + 4 + 49 = 89.

يمكن أن نستنتج أن مساحة متوازي الاضلاع ستكون الجذر التربيعي لـ 89.

الملكية 7

متجهان A و B متوازيان في R³ نعم وفقط إذا AxB = 0

عرض

من الواضح أنه إذا كان A أو B هو المتجه الفارغ ، فيتبع ذلك AxB = 0. بما أن الموجه صفر متوازي مع أي متجه آخر ، فإن الخاصية تكون صالحة.

إذا لم يكن أي من المتجهين هو المتجه الصفري ، فلدينا اختلاف في قيمته عن الصفر ؛ وهذا هو ، على حد سواء | ≠ 0 كـ || B || ≠ 0 ، لذلك سيتعين علينا || AxB || = 0 إذا وفقط إذا كانت sin (Θ) = 0 ، ويحدث هذا إذا وفقط Θ = π أو Θ = 0.

لذلك ، يمكننا استنتاج AxB = 0 إذا وفقط إذا كانت Θ = π أو Θ = 0 ، وهذا يحدث فقط عندما يكون كلا المتجهين متوازيين مع بعضهما البعض.

الملكية 8

إذا كان A و B متجهين في R³, ثم AxB عمودي على كل من A و B.

عرض

بالنسبة إلى هذا العرض التوضيحي ، تذكر أن متجهين متعامدين إذا كانت A-B تساوي الصفر. بالإضافة إلى ذلك ، نحن نعرف أن:

A ∙ AxB = AxA ∙ B ، لكن AxA تساوي 0. لذلك ، يتعين علينا:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

بهذا يمكننا أن نستنتج أن A و AxB عموديان على بعضهما البعض. بطريقة مماثلة ، يتعين علينا:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

نظرًا لأن BxB = 0 ، يتعين علينا:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

لذلك ، AxB و B عموديان على بعضهما البعض ومع هذا يتم إثبات الخاصية. هذا مفيد للغاية ، لأنهم يسمحون لنا بتحديد معادلة الطائرة.

مثال 1

الحصول على معادلة الطائرة التي تمر عبر النقاط P (1 ، 3 ، 2) ، Q (3 ، - 2 ، 2) و R (2 ، 1 ، 3).

دع A = QR = (2 - 3،1 + 2 ، 3 - 2) و B = PR = (2 - 1،1 - 3 ، 3 - 2). ثم A = - i + 3j + k و B = i - 2j + k. للعثور على الطائرة المكونة من هذه النقاط الثلاث ، يكفي العثور على متجه طبيعي للطائرة ، وهو AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

باستخدام هذا المتجه ، وأخذ النقطة P (1 ، 3 ، 2) ، يمكننا تحديد معادلة المستوى كما يلي:

(5 ، 2 ، - 1) ∙ (x - 1 ، y - 3 ، z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

لذلك ، لدينا أن معادلة الطائرة هي 5x + 2y - z - 9 = 0.

مثال 2

ابحث عن معادلة المستوى الذي يحتوي على النقطة P (4 ، 0 ، - 2) والتي تكون عموديًا على كل طائرة x - y + z = 0 و 2x + y - 4z - 5 = 0 .

مع العلم أن المتجه العادي للفأس المستوي + بواسطة cz + d = 0 هو (a ، b ، c) ، لدينا (1 ، -1،1) متجه عادي لـ x - y + z = 0 y ( 2.1 ، - 4) عبارة عن ناقل عادي 2x + y - 4z - 5 = 0.

لذلك ، يجب أن يكون المتجه العادي للمستوى المطلوب عموديًا على (1 ، -1،1) و (2 ، 1 ، - 4). سعيد المتجه هو:

(1 ، -1 ، 1) × (2،1 ، - 4) = 3i + 6j + 3k.

ثم ، لدينا أن الطائرة المطلوبة هي تلك التي تحتوي على النقطة P (4،0 ، - 2) ولها المتجه (3،6،3) كمتجه عادي.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

تطبيقات

حساب حجم موازي

يجب أن يكون التطبيق الذي يحتوي على منتج العددية الثلاثي قادراً على حساب حجم خط متوازي يتم إعطاء حوافه بواسطة المتجهات A و B و C ، كما هو موضح في الشكل:

يمكننا استنتاج هذا التطبيق بالطريقة التالية: كما قلنا سابقًا ، فإن المتجه AxB هو ناقل طبيعي لمستوى A و B. ولدينا أيضًا أن المتجه - (AxB) هو متجه آخر عادي إلى مستوي قال.

نختار المتجه العادي الذي يشكل أصغر زاوية مع المتجه C ؛ دون فقدان العمومية ، دع AxB يكون المتجه الذي تكون الزاوية مع C هي الأصغر.

لدينا أن كل من AxB و C لديهم نفس نقطة البداية. بالإضافة إلى ذلك ، نعلم أن مساحة متوازي الاضلاع الذي يشكل قاعدة متوازي الاضلاع هو || AxB ||. لذلك ، إذا تم إعطاء ارتفاع المتوازي بواسطة h ، فسيكون حجمه:

V = || AxB || h.

من ناحية أخرى ، خذ بعين الاعتبار المنتج القياسي بين AxB و C ، والذي يمكن وصفه على النحو التالي:

ومع ذلك ، من خلال الخصائص المثلثية لدينا ذلك h = || C || cos (Θ) ، لذلك يتعين علينا:

بهذه الطريقة ، يتعين علينا:

بشكل عام ، لدينا أن حجم خط الموازاة يُعطى بالقيمة المطلقة للمنتج القياسي الثلاثي. AxB-C.

تمارين حلها

التمرين 1

بالنظر إلى النقاط P = (5 ، 4 ، 5) ، Q = (4 ، 10 ، 6) ، R = (1 ، 8 ، 7) و S = (2 ، 6 ، 9) ، تشكل هذه النقاط موازًا لها حوافها هم PQ ، PR و PS. تحديد حجم وقال المتوازي.

حل

إذا أخذنا:

- A = PQ = (-1 ، 6 ، 1)

- B = PR = (-4 ، 4 ، 2)

- C = PS = (-3 ، 2 ، 2)

باستخدام خاصية المنتج القياسي الثلاثي ، يتعين علينا:

AxB = (-1 ، 6 ، 1) x (-4 ، 4 ، 2) = (8 ، -2 ، 20).

AxB ∙ C = (8 ، -2 ، 20) ∙ (-3 ، 2 ، 2) = -24 -4 +80 = 52.

لذلك ، لدينا أن حجم parallelepiped قال هو 52.

التمرين 2

حدد حجم خط متوازي يتم إعطاء حوافه بواسطة A = PQ و B = PR و C = PS ، حيث النقاط P و Q و R و S هي (1 ، 3 ، 4) ، (3 ، 5 ، 3) ، (2 ، 1 ، 6) و (2 ، 2 ، 5) ، على التوالي.

حل

أولاً ، لدينا A = (2 ، 2 ، -1) ، B = (1 ، -2 ، 2) ، C = (1 ، -1 ، 1).

نحسب AxB = (2 ، 2 ، -1) x (1 ، -2 ، 2) = (2 ، -5 ، -6).

ثم نحسب AxB-C:

AxB ∙ C = (2، -5، -6) ∙ (1، -1، 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

وهكذا نستنتج أن حجم المتوازي المذكور هو 1 وحدة مكعب.

مراجع

1. ليتولد ، L. (1992). الحساب باستخدام الهندسة التحليلية. هارلا ، س.
2. Resnick، R.، Halliday، D.، & Krane، K. (2001). الفيزياء المجلد 1. المكسيك: كونتيننتال.
3. ساينز ، ج.. المتجهات حساب 1ed. وتر المثلث.
4. شبيغل ، م. ر. (2011). تحليل المتجهات 2ed. مولودية جراو هيل.
5. Zill، D. G.، & Wright، W. (2011). حساب المتغيرات المختلفة 4ed. مولودية جراو هيل.