شرح المنتجات وتمارين حلها

ال منتجات رائعة هي عمليات جبرية ، حيث يتم التعبير عن مضاعفات متعددة الحدود ، والتي لا تحتاج إلى حل تقليديًا ، لكن بمساعدة قواعد معينة ، يمكنك العثور على نتائجها.

متعددو الحدود متعددون يتم ضربهم بأنفسهم ، وبالتالي قد يكون لديهم عدد كبير من المصطلحات والمتغيرات. لجعل العملية أقصر ، يتم استخدام قواعد المنتجات الرائعة ، والتي تسمح بإجراء الضرب دون الحاجة إلى تنفيذ مصطلح..

مؤشر

• 1 المنتجات والأمثلة البارزة
  • 1.1 ذات الحدين التربيعي
  • 1.2 نتاج ذي الحدين المترافقين
  • 1.3 نتاج اثنين من ذات الحدين مع مصطلح شائع
  • 1.4 متعددو الحدود التربيعية
  • 1.5 ذات الحدين إلى المكعب
  • 1.6 دلو من ثلاثي الحدود
• تمارين 2 حلها لمنتجات رائعة
  • 2.1 التمرين 1
  • 2.2 التمرين 2
• 3 المراجع

المنتجات والأمثلة البارزة

كل منتج رائع هو صيغة تنتج عن عامل ، يتكون من كثير الحدود بمصطلحات مختلفة مثل ذات الحدين أو ثلاثي الحدود ، تسمى العوامل.

العوامل هي أساس القوة ولها الأس. عندما تتضاعف العوامل ، يجب إضافة الأس.

هناك العديد من صيغ المنتجات الرائعة ، بعضها أكثر استخدامًا من غيرها ، اعتمادًا على كثير الحدود ، وهي التالية:

ذات الحدين تربيع

هو ضرب الحدين بحد ذاته ، معبراً عنه في شكل قوة ، حيث تضاف المصطلحات أو تطرحها:

أ. ذات الحدين من المربع إلى المربع: تساوي مربع الفصل الأول ، بالإضافة إلى ضعف ناتج المصطلحات ، بالإضافة إلى مربع الفصل الثاني. يتم التعبير عنها على النحو التالي:

(أ + ب)² = (أ + ب) _* (أ + ب).

يوضح الشكل التالي كيف تم تطوير المنتج وفقًا للقاعدة المذكورة أعلاه. وتسمى النتيجة ثلاثية الحدود من مربع مثالي.

مثال 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5 ²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

مثال 2

(4a + 2b) = (4a)² + 2 (4a _* 2 ب) + (2 ب)²

(4a + 2b) = 8a² + 2 (8ab) + 4b²

(4a + 2b) = 8a² + 16 أب + 4 ب².

ب. ذات الحدين للطرح التربيعي: تنطبق نفس القاعدة على ذات الحدين للمبلغ ، فقط أنه في هذه الحالة يكون المصطلح الثاني سالبًا. صيغتها هي التالية:

(أ - ب)² = [(أ) + (- ب)]²

(أ - ب)² = أ² +و2 _* (ب) + (ب)²

(أ - ب)²  = أ² - 2ab + ب².

مثال 1

(2 × 6)² = (2x)² - 2 (2x _* 6) + 6²

(2 × 6)²  = 4x² - 2 (12x) + 36

(2 × 6)² = 4x² - 24x + 36.

نتاج من الحدين مترافق

يتم الجمع بين حدين إذا كانت المصطلحان الثانيان لكل منهما من علامات مختلفة ، أي أن المصطلح الأول موجب والموجود في الثانية السالبة أو العكس. حل عن طريق رفع كل مربع monom وطرح. صيغتها هي التالية:

(أ + ب) _* (أ - ب)

في الشكل التالي ، تم تطوير ناتج ذي حدين مترافقين ، حيث لوحظ أن النتيجة هي اختلاف المربعات.

مثال 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)²)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a² - 9B².

نتاج اثنين من ذات الحدين مع مصطلح مشترك

إنه أحد أكثر المنتجات البارزة تعقيدًا والأقل استخدامًا لأنه تكاثر ذو الحدين لهما مصطلح مشترك. تشير القاعدة إلى ما يلي:

• مربع المصطلح المشترك.
• بالإضافة إلى إضافة المصطلحات غير الشائعة ثم ضربها بالمصطلح "عام".
• بالإضافة إلى مجموع ضرب المصطلحات غير الشائعة.

يتم تمثيلها في الصيغة: (x + a) _* (س + ب) ويتم تطويره كما هو موضح في الصورة. والنتيجة هي مربع ثلاثي الحدود ليست مثالية.

(س + 6) _* (س + 9) = س² + (6 + 9) _* س + (6 _* 9)

(س + 6) _* (س + 9) = س² + 15+ + 54.

هناك احتمال أن يكون المصطلح الثاني (المصطلح المختلف) سالبًا وأن صيغته هي كما يلي: (x + a) _* (س - ب).

مثال 2

(7 × 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4 - 2)_* 7x + (4 _* -2)

(7 × 4) _* (7x - 2) = 49x² + (2)_* 7 × 8

(7 × 4) _* (7x - 2) = 49x² + 14 × 8.

يمكن أن يكون الأمر كذلك أن كلا المصطلحين المختلفين سلبيان. صيغته ستكون: (س - أ) _* (س - ب).

مثال 3

(3 ب - 6) _* (3b - 5) = (3b _* 3 ب) + (-6 - 5)_* (3 ب) + (-6 _* -5)

(3 ب - 6) _* (3 ب - 5) = 9 ب² + (-11) _* (3 ب) + (30)

(3 ب - 6) _* (3 ب - 5) = 9 ب² - 33 ب + 30.

متعدد الحدود مربع

في هذه الحالة ، هناك أكثر من فترتين ، ولتطويره ، يتم تربيع كل واحد مع إضافة مضاعفة الضرب لكل مصطلح مع آخر ؛ صيغته هي: (a + b + c)² وكانت نتيجة العملية ثلاثية الأبعاد مربعة.

مثال 1

(3x + 2y + 4z)² = (3x)² + (2Y)² + (4Z)² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)² = 9x² + 4Y² + 16Z² + 12xy + 24xz + 16yz.

ذو الحدين إلى المكعب

إنه منتج معقد رائع. لتطويره ، اضرب الحدين في مربعه ، بالطريقة التالية:

أ. من الحدين إلى مكعب من المبلغ:

• المكعب من الفصل الأول ، بالإضافة إلى ثلاثة أضعاف مربع الفصل الأول في الثانية.
• زائد ثلاثة أضعاف المدة الأولى ، للمرة الثانية.
• بالإضافة إلى مكعب من الفصل الثاني.

(أ + ب)³ = (أ + ب) _* (أ + ب)²

(أ + ب)³ = (أ + ب) _* (أ² + 2ab + ب²)

(أ + ب)³ = أ³ + و2²ب + أب² + با² + 2AB² + ب³

(أ + ب)³ = أ³ + و3²b + 3ab² + ب³.

مثال 1

(أ + 3)³ = أ³ + 3 (أ)²_*(3) + 3 (أ)_*(3)² + (3)³

(أ + 3)³ = أ³ + 3 (أ)²_*(3) + 3 (أ)_*(9) + 27

(أ + 3)³ = أ³ + 9 أ² + 27 أ + 27.

ب. من الحدين إلى مكعب من الطرح:

• المكعب من المصطلح الأول ، ناقص ثلاثة أضعاف مربع الفصل الأول في الثانية.
• زائد ثلاثة أضعاف المدة الأولى ، للمرة الثانية.
• أقل مكعب من الفصل الثاني.

(أ - ب)³ = (أ - ب) _* (أ - ب)²

(أ - ب)³ = (أ - ب) _* (أ² - 2ab + ب²)

(أ - ب)³ = أ³ - و2²ب + أب² - با² + 2AB² - ب³

(أ - ب)³ = إلى³ - و3²b + 3ab² - ب³.

مثال 2

(ب - 5)³ = ب³ + 3 (ب)²_*(-5) + 3 (ب)_*(-5)² + (-5)³

(ب - 5)³ = ب³ + 3 (ب)²_*(-5) + 3 (ب)_*(25) -125

(ب - 5)³ = ب³ - 15B² +75 ب - 125.

دلو من ثلاثي الحدود

يتطور بضربه بمربعه. إنه منتج رائع للغاية حيث أن هناك 3 مصطلحات مرفوعة للمكعب ، بالإضافة إلى ثلاثة أضعاف كل مصطلح مربع ، مضروب في كل من المصطلحات ، بالإضافة إلى ستة أضعاف منتج المصطلحات الثلاثة. ينظر بطريقة أفضل:

(أ + ب + ج)³ = (أ + ب + ج) _* (أ + ب + ج)²

(أ + ب + ج)³ = (أ + ب + ج) _* (أ² + ب² + ج² + 2ab + 2ac + 2bc)

(أ + ب + ج)³ = أ³ + ب³ + ج³ + و3²b + 3ab² + و3²ج + 3ac² + 3B²ج + 3 ق² + 6abc.

مثال 1

تمارين تم حلها من المنتجات الرائعة

التمرين 1

تطوير الحدين التالي للمكعب: (4x - 6)³.

حل

إذ تشير إلى أن الحدين الموجود في المكعب يساوي الحد الأول الذي تم رفعه إلى المكعب ، أي أقل من ثلاثة أضعاف مربع الفصل الأول في الثانية ؛ بالإضافة إلى ثلاثية الفصل الأول ، بالمربع الثاني ، ناقص مكعب الفصل الثاني.

(4 - 6)³ = (4x)³ - 3 (4x)²(6) + 3 (4x) _* (6)² - (6)²

(4 - 6)³ = 64x³ - 3 (16x²) (6) + 3 (4x)_* (36) - 36

(4 - 6)³ = 64x³ - إلى 288x² + 432x - 36.

التمرين 2

تطوير الحدين التاليين: (س + 3) (س + 8).

حل

يوجد حدين حيث يوجد مصطلح شائع وهو x والكلمة الثانية موجبة. لتطويره ، يجب عليك فقط تحديد المصطلح المشترك ، بالإضافة إلى مجموع المصطلحات غير الشائعة (3 و 8) ثم ضربها بمصطلح "مشترك" ، بالإضافة إلى مجموع ضرب المصطلحات غير الشائعة.

(س + 3) (س + 8) = س² + (3 + 8) × + (3_*8)

(س + 3) (س + 8) = س² + 11x + 24.

مراجع

1. آنجيل ، أ. ر. (2007). الجبر الابتدائي. بيرسون التعليم,.
2. آرثر جودمان ، إل. إتش. (1996). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. بيرسون التعليم.
3. داس ، س.. الرياضيات زائد 8. المملكة المتحدة: راتنا ساغار.
4. جيروم إ. كوفمان ، ك. إل (2011). الجبر الأولي والوسيط: نهج مشترك. فلوريدا: Cengage التعلم.
5. بيريز ، سي دي (2010). بيرسون التعليم.