خصائص المساواة

ال خصائص المساواة تشير إلى العلاقة بين كائنين رياضيين ، إما الأرقام أو المتغيرات. يتم الإشارة إليه بواسطة الرمز "=" ، والذي ينتقل دائمًا بين هذين الكائنين. يستخدم هذا التعبير لتأكيد أن كائنين رياضيين يمثلان نفس الكائن ؛ بكلمة أخرى ، أن كائنين هما نفس الشيء.

هناك حالات يمكن فيها استخدام المساواة. على سبيل المثال ، من الواضح أن 2 = 2. ومع ذلك ، عندما يتعلق الأمر بالمتغيرات ، فإنها لم تعد تافهة ولديها استخدامات محددة. على سبيل المثال ، إذا كان لديك y = x وعلى الجانب الآخر x = 7 ، فيمكنك استنتاج أن y = 7 أيضًا.

ويستند المثال السابق على واحد من خصائص المساواة ، كما سنرى قريباً. هذه الخصائص ضرورية لحل المعادلات (المساواة التي تنطوي على متغيرات) ، والتي تشكل جزءًا مهمًا جدًا في الرياضيات.

مؤشر

• 1 ما هي خصائص المساواة?
  • 1.1 خاصية عاكسة
  • 1.2 خاصية متماثل
  • 1.3 الممتلكات متعدية
  • 1.4 الملكية الموحدة
  • 1.5 خاصية الإلغاء
  • 1.6 استبدال الممتلكات
  • 1.7 ملكية القوة على قدم المساواة
  • 1.8 خاصية الجذر في المساواة
• 2 المراجع

ما هي خصائص المساواة?

خاصية عاكسة

تنص خاصية الانعكاس ، في حالة المساواة ، على أن كل رقم يساوي نفسه ويتم التعبير عنه كـ b = b لأي رقم حقيقي b.

في حالة معينة من المساواة يبدو أن هذه الخاصية واضحة ، ولكن في نوع آخر من العلاقة بين الأرقام ليست كذلك. بمعنى آخر ، ليست كل علاقة بالأرقام الحقيقية تفي بهذا العقار. على سبيل المثال ، مثل هذه الحالة من العلاقة "أقل من" (<); ningún número es menor que sí mismo.

خاصية متناظرة

تقول الخاصية المتماثلة للمساواة أنه إذا كانت a = b ، فإن b = a. بغض النظر عن الترتيب المستخدم في المتغيرات ، سيتم الحفاظ على هذا من خلال علاقة المساواة.

يمكن ملاحظة تشبيه معين لهذه الخاصية مع الخاصية التبادلية في حالة الإضافة. على سبيل المثال ، بسبب هذه الخاصية يكافئ كتابة y = 4 أو 4 = y.

الملكية متعدية

تنص الخاصية متعدية في المساواة على أنه إذا كانت أ = ب و ب = ج ، أ = ج. على سبيل المثال ، 2 + 7 = 9 و 9 = 6 + 3 ؛ لذلك ، بواسطة الخاصية متعدية لدينا 2 + 7 = 6 + 3.

تطبيق بسيط هو ما يلي: لنفترض أن جوليان يبلغ من العمر 14 عامًا وأن ماريو هو نفس عمر روزا. إذا كانت روزا في نفس عمر جوليان ، فكم عمر ماريو؟?

وراء هذا السيناريو ، يتم استخدام الخاصية متعدية مرتين. يتم تفسيره من الناحية الرياضية على هذا النحو: أن يكون "عصر ماريو" ، "ب" عصر روزا و "ج" عصر جوليان. من المعروف أن b = c وأن c = 14.

للخاصية متعدية لدينا أن ب = 14 ؛ وهذا هو ، روزا 14 سنة. بما أن a = b و b = 14 ، باستخدام الخاصية متعدية مرة أخرى لدينا = 14 ؛ أي أن عمر ماريو هو أيضًا 14 عامًا.

الملكية موحدة

الخاصية الموحدة هي أنه إذا تمت إضافة أو مضاعفة جانبي المساواة بنفس المقدار ، فسيتم الحفاظ على المساواة. على سبيل المثال ، إذا كانت 2 = 2 ، ثم 2 + 3 = 2 + 3 ، وهذا واضح ، ثم 5 = 5. هذه الخاصية لها فائدة أكبر عندما يتعلق الأمر بحل المعادلة.

على سبيل المثال ، افترض أنك مطالب بحل المعادلة x-2 = 1. من المريح تذكر أن حل المعادلة يتكون من تحديد المتغير (أو المتغيرات) بشكل صريح ، استنادًا إلى رقم محدد أو متغير محدد مسبقًا.

بالعودة إلى المعادلة x-2 = 1 ، ما يجب القيام به هو العثور صراحةً على قيمة x. للقيام بذلك ، يجب مسح المتغير.

لقد تم تعليمه خطأ أنه في هذه الحالة ، حيث أن الرقم 2 هو سلبي ، فإنه ينتقل إلى الجانب الآخر من المساواة بعلامة إيجابية. ولكن ليس صحيحا أن أقول ذلك بهذه الطريقة.

في الأساس ، ما يجري هو تطبيق الملكية الموحدة ، كما سنرى أدناه. والفكرة هي لمسح "x" ؛ وهذا هو ، وترك الأمر وحده على جانب واحد من المعادلة. عن طريق الاصطلاح عادة ما يتم تركه على اليسار.

لهذا الغرض ، الرقم الذي تريد "إزالته" هو -2. ستكون طريقة القيام بذلك هي إضافة 2 ، لأن -2 + 2 = 0 و x + 0 = 0. لتكون قادرًا على القيام بذلك دون تغيير المساواة ، يجب تطبيق نفس العملية على الجانب الآخر.

هذا يسمح بتحقيق خاصية موحدة: كما x-2 = 1 ، إذا تم إضافة الرقم 2 على كلا الجانبين من المساواة ، تقول خاصية موحدة أنه لا يتم تغيير ذلك. ثم لدينا x-2 + 2 = 1 + 2 ، أي ما يعادل قول x = 3. مع هذا سيتم حل المعادلة.

وبالمثل ، إذا كنت ترغب في حل المعادلة (1/5) y-1 = 9 ، يمكنك المتابعة باستخدام خاصية موحدة على النحو التالي:

بشكل عام ، يمكن الإدلاء بالبيانات التالية:

- إذا كانت a-b = c-b ، ثم a = c.

- إذا كانت x-b = y ، ثم x = y + b.

- إذا كانت (1 / a) z = b ، فإن z = a ×

- إذا كانت (1 / ج) أ = (1 / ج) ب ، ثم أ = ب.

خاصية الإلغاء

خاصية الإلغاء هي حالة معينة من الملكية الموحدة ، لا سيما بالنظر إلى حالة الطرح والقسمة (والتي ، في النهاية ، تتوافق مع الجمع والضرب). هذه الخاصية تعامل هذه الحالة على حدة.

على سبيل المثال ، إذا كانت 7 + 2 = 9 ، ثم 7 = 9-2. أو إذا كانت 2y = 6 ، ثم y = 3 (القسمة على اثنين على كلا الجانبين).

على نحو مماثل للحالة السابقة ، من خلال خاصية الإلغاء ، يمكن إنشاء البيانات التالية:

- إذا كانت a + b = c + b ، ثم a = c.

- إذا كانت x + b = y ، ثم x = y-b.

- إذا az = b ، ثم z = b / a.

- إذا كان ca = cb ، ثم أ = ب.

استبدال الممتلكات

إذا علمنا قيمة كائن رياضي ، فإن خاصية الاستبدال تنص على أنه يمكن استبدال هذه القيمة في أي معادلة أو تعبير. على سبيل المثال ، إذا كانت b = 5 و a = bx ، ثم استبدلت بقيمة "b" في المساواة الثانية ، لدينا ذلك = 5x.

مثال آخر هو ما يلي: إذا قسم "m" قسم "n" وكذلك "n" قسم "m" ، فيجب أن يكون ذلك m = n.

في الواقع ، يعني القول بأن "m" يقسم "n" (أو ما يعادلها ، أن "m" مقسوم على "n") يعني أن التقسيم m ÷ n دقيق ؛ وهذا يعني ، بقسمة "m" على "n" تحصل على عدد صحيح ، وليس رقم عشري. يمكن التعبير عن ذلك بالقول إن هناك عددًا صحيحًا "k" مثل m = k × n.

نظرًا لأن "n" تقسم "m" أيضًا ، فهناك عدد صحيح "p" بحيث n = p × m. بالنسبة لخاصية الاستبدال ، لدينا n = p × k × n ، ولكي يحدث ذلك هناك احتمالان: n = 0 ، وفي هذه الحالة سيكون لدينا الهوية 0 = 0 ؛ أو p × k = 1 ، حيث يجب أن تكون الهوية n = n.

افترض أن "n" غير صفرية. ثم بالضرورة p × k = 1 ؛ لذلك ، p = 1 و k = 1. باستخدام خاصية الاستبدال مرة أخرى ، عند استبدال k = 1 في المساواة m = k × n (أو ما يعادلها ، p = 1 في n = p × m) يتم الحصول عليها أخيرًا m = n ، وهو ما كان مطلوبًا للتوضيح.

ملكية السلطة على قدم المساواة

كما سبق أن رأينا أنه إذا تم إجراء عملية ما كمجموع أو ضرب أو طرح أو قسمة على حد سواء من حيث المساواة ، يتم الحفاظ عليها ، بنفس الطريقة التي يمكن بها تطبيق عمليات أخرى لا تغير المساواة.

المفتاح هو القيام بذلك دائمًا على جانبي المساواة والتأكد مسبقًا من إمكانية تنفيذ العملية. هذه هي حالة التمكين ؛ بمعنى أنه إذا تم رفع طرفي المعادلة إلى نفس القوة ، فلا يزال هناك مساواة.

على سبيل المثال ، مثل 3 = 3 ، ثم 3²= 3² (9 = 9). بشكل عام ، يتم إعطاء عدد صحيح "n" ، إذا كانت x = y ، ثم x^ن= ذ^ن.

خاصية الجذر في المساواة

هذا هو حالة معينة من الجهد ويتم تطبيقه عندما تكون الطاقة رقمًا عقلانيًا غير صحيح ، مثل ½ ، الذي يمثل الجذر التربيعي. تنص هذه الخاصية على أنه إذا تم تطبيق نفس الجذر على جانبي المساواة (حيثما أمكن ذلك) ، فسيتم الحفاظ على المساواة.

على عكس الحالة السابقة ، يجب أن تكون حذرًا هنا من تعادل الجذر الذي سيتم تطبيقه ، لأنه من المعروف جيدًا أن الجذر الزوجي للرقم السالب غير محدد جيدًا.

في حالة أن الراديكالي متساوي ، فلا توجد مشكلة. على سبيل المثال ، إذا س³= -8 ، على الرغم من أنها مساواة ، لا يمكنك تطبيق الجذر التربيعي على كلا الجانبين ، على سبيل المثال. ومع ذلك ، إذا كان يمكنك تطبيق جذر مكعب (وهو أكثر ملاءمة إذا كنت تريد معرفة قيمة x بشكل صريح) ، يمكنك الحصول على x = -2.

مراجع

1. أيلوين ، سي يو (2011). المنطق ، مجموعات والأرقام. ميريدا - فنزويلا: مجلس المنشورات ، جامعة لوس أنديس.
2. Jiménez، J.، Rofríguez، M.، & Estrada، R. (2005). الرياضيات 1 سبتمبر. عتبة.
3. Lira، M. L. (1994). سيمون والرياضيات: نص الرياضيات للعام الثاني الأساسي: كتاب الطالب. أندريس بيلو.
4. Preciado، C. T. (2005). دورة الرياضيات 3o. برنامج التحرير.
5. سيغوفيا ، ب. ر. (2012). الأنشطة الرياضية والألعاب مع ميغيل ولوسيا. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral، C.، & Preciado، M. (1985). دورة الرياضيات الثانية. برنامج التحرير.