ما هو المجال والوحدة من وظيفة؟ (مع أمثلة تم حلها)

مفاهيم المجال ومجال مكافحة وظيفة يتم تدريسهم عادة في دورات حساب التفاضل والتكامل تدرس في بداية المهن الجامعية.

قبل تحديد المجال والمجال ، يجب أن تعرف الوظيفة. الوظيفة f هي قانون (قاعدة) المراسلات بين عناصر مجموعتين.

تسمى المجموعة التي يتم اختيار العناصر فيها مجال الوظيفة ، والمجموعة التي يتم إرسال هذه العناصر إليها عبر f تسمى المجال المضاد.

في الرياضيات ، يُشار إلى الدالة ذات المجال A والمجال المضاد B بالتعبير f: A → B.

يشير التعبير أعلاه إلى أن عناصر المجموعة أ يتم إرسالها إلى المجموعة ب وفقًا لقانون المراسلات f.

تقوم دالة بتخصيص كل عنصر من عناصر المجموعة أ عنصر واحد من المجموعة ب.

المجال والمجال المضاد

بالنظر إلى وظيفة حقيقية لمتغير حقيقي f (x) ، لدينا أن مجال الوظيفة سيكون كل تلك الأرقام الحقيقية ، عند تقييمها في f ، تكون النتيجة هي رقم حقيقي.

بشكل عام ، يمثل مجال الأضداد للدالة مجموعة من الأرقام الحقيقية R. ويطلق على contradomain أيضًا مجموعة الوصول أو الكودومين الخاص بالوظيفة f.

مجال مكافحة وظيفة هو دائما R?

لا. طالما أن الوظيفة لم تدرس بالتفصيل ، فعادة ما يتم اعتبارها مجالًا مضادًا مجموعة من الأرقام الحقيقية R.

ولكن بمجرد دراسة الوظيفة ، يمكن اعتبار مجموعة أكثر ملائمة كنطاق مضاد ، والتي ستكون مجموعة فرعية من R.

المجموعة المناسبة التي تم ذكرها في الفقرة السابقة تتطابق مع صورة الوظيفة.

يشير تعريف الصورة أو مدى دالة f إلى جميع القيم التي تأتي من تقييم عنصر المجال في f.

أمثلة

توضح الأمثلة التالية كيفية حساب مجال دالة وصورتها.

مثال 1

ليكن f وظيفة حقيقية يحددها f (x) = 2.

مجال f كلها أرقام حقيقية ، عند تقييمها في f ، تكون النتيجة رقماً حقيقياً. المجال المضاد في الوقت الحالي يساوي R.

نظرًا لأن الوظيفة المعطاة ثابتة (تساوي دائمًا 2) ، لا يهم العدد الحقيقي الذي يتم اختياره ، لأنه عند تقييمه في f ، ستكون النتيجة دائمًا تساوي 2 ، وهو رقم حقيقي.

لذلك ، مجال الدالة المعطاة كلها أرقام حقيقية ؛ وهذا هو ، A = R.

الآن بعد أن أصبح معروفًا أن نتيجة الوظيفة تساوي دائمًا 2 ، لدينا أن صورة الوظيفة هي فقط رقم 2 ، وبالتالي يمكن إعادة تعريف نطاق الوظيفة المقابل بأنه B = Img (f) = 2.

لذلك ، f: R → 2.

مثال 2

اجعل g وظيفة حقيقية معرفة بواسطة g (x) = √x.

في حين أن صورة g غير معروفة ، فإن المجال المضاد لـ g هو B = R.

باستخدام هذه الوظيفة ، يجب أن تأخذ في الاعتبار أن الجذور التربيعية محددة فقط للأرقام غير السالبة ؛ وهذا هو ، للأرقام أكبر من أو تساوي الصفر. على سبيل المثال ، √-1 ليس رقمًا حقيقيًا.

لذلك ، يجب أن يكون مجال الوظيفة g جميع الأرقام أكبر من أو تساوي الصفر ؛ هذا هو ، x ≥ 0.

لذلك ، A = [0 ، + ∞).

لحساب النطاق ، تجدر الإشارة إلى أن أي نتيجة لـ g (x) ، كونها الجذر التربيعي ، ستكون دائمًا أكبر من أو تساوي الصفر. وهذا هو ، B = [0 ، + ∞).

في الختام ، g: [0، + ∞) → [0، + ∞).

مثال 3

إذا كانت لدينا الدالة h (x) = 1 / (x-1) ، فلدينا هذه الوظيفة غير محددة لـ x = 1 ، لأنه في المقام سيتم الحصول على الصفر وعدم تحديد القسمة على الصفر.

من ناحية أخرى ، لأي قيمة حقيقية أخرى ستكون النتيجة عددًا حقيقيًا. لذلك ، المجال هو كل ريال مدريد باستثناء واحد ؛ وهذا هو ، A = R \ 1.

بالطريقة نفسها ، يمكن ملاحظة أن القيمة الوحيدة التي لا يمكن الحصول عليها كنتيجة هي 0 ، لأن الكسر يساوي الصفر ، يجب أن يكون البسط صفراً.

لذلك ، فإن صورة الوظيفة هي مجموعة من كل reals باستثناء الصفر ، لذلك تؤخذ كنطاق مضاد B = R \ 0.

في الختام ، h: R \ 1 → R \ 0.

تصريحات

لا يجب أن يكون المجال والصورة هما نفس المجموعة ، كما هو موضح في المثالين 1 و 3.

عندما يتم رسم وظيفة على المستوى الديكارتي ، يتم تمثيل المجال بالمحور X ويمثل المجال المضاد أو النطاق بالمحور Y.

مراجع

1. Fleming، W.، & Varberg، D. E. (1989). الرياضيات التمهيدية. برنتيس هول PTR.
2. Fleming، W.، & Varberg، D. E. (1989). الرياضيات التمهيدية: نهج لحل المشكلات (2 ، مصور إد). ميشيغان: قاعة برنتيس.
3. Fleming، W.، & Varberg، D. (1991). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. بيرسون التعليم.
4. لارسون ، ر. (2010). Precalculus (8 إد.) Cengage التعلم.
5. Leal، J. M.، & Viloria، N. G. (2005). هندسة تحليلية مسطحة. ميريدا - فنزويلا: Editorial Venezolana C. A.
6. بيريز ، سي دي (2006). precalculus. بيرسون التعليم.
7. بورسيل ، جيه. ، فاربرغ ، دي. ، وريجدون ، س. (2007). حساب (الطبعة التاسعة). برنتيس هول.
8. ساينز ، ج. (2005). حساب التفاضل والتكامل التفاضلي مع وظائف متعالية مبكرة للعلوم والهندسة (الطبعة الثانية إد.). وتر المثلث.
9. سكوت ، سي. (2009). هندسة الطائرة الديكارتية ، الجزء: المخروطات التحليلية (1907) (طبع إد.). مصدر البرق.
10. سوليفان ، م. (1997). precalculus. بيرسون التعليم.