ما هي المعادلات المتزامنة؟ (مع التمارين حلها)

ال معادلات متزامنة هي تلك المعادلات التي يجب أن تتحقق في نفس الوقت. لذلك ، للحصول على معادلات متزامنة ، يجب أن يكون هناك أكثر من معادلة واحدة.

عندما يكون لديك اثنين أو أكثر من المعادلات المختلفة ، والتي يجب أن يكون لها نفس الحل (أو نفس الحلول) ، فأنت تقول أن لديك نظام المعادلات أو تقول أن لديك معادلات متزامنة.

عندما يكون لديك معادلات متزامنة ، فقد يحدث عدم وجود حلول مشتركة أو عدم وجود كمية محدودة أو الحصول على كمية غير محدودة.

معادلات متزامنة

بالنظر إلى معادلتين مختلفتين Eq1 و Eq2 ، لدينا أن يسمى نظام هاتين المعادلتين بالمعادلات المتزامنة.

تفي المعادلات المتزامنة أنه إذا كانت S هي حل Eq1 ، فإن S هي أيضًا حل Eq2 والعكس صحيح

ملامح

عندما يتعلق الأمر بنظام المعادلات المتزامنة ، يمكنك الحصول على معادلتين أو 3 معادلات أو معادلات N.

الطرق الأكثر شيوعًا المستخدمة في حل المعادلات المتزامنة هي: الاستبدال والمعادلة والحد. هناك أيضًا طريقة أخرى تسمى قاعدة Cramer ، وهي مفيدة جدًا للأنظمة التي تحتوي على أكثر من معادلتين متزامنتين.

مثال على المعادلات المتزامنة هو النظام

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

يمكن ملاحظة أن x = 0 ، y = 2 هي حل Eq1 ولكنها ليست حلاً Eq2.

الحل المشترك الوحيد لكلتا المعادلتين هو x = 1 ، y = 1. وهذا هو ، س = 1 ، ص = 1 هو الحل لنظام المعادلات في وقت واحد.

تمارين تم حلها

ثم ننتقل إلى حل نظام المعادلات المتزامنة الموضح أعلاه ، من خلال الطرق الثلاثة المذكورة.

التمرين الأول

حل نظام المعادلات Eq1: x + y = 2، Eq2 = 2x-y = 1 باستخدام طريقة الاستبدال.

حل

تتمثل طريقة الاستبدال في مسح أحد المجهولين لأحد المعادلات ثم استبداله في المعادلة الأخرى. في هذه الحالة بالذات ، يمكنك مسح "y" من Eq1 وستحصل على y = 2-x.

عند استبدال هذه القيمة "y" في Eq2 ، يتم الحصول على ذلك 2x- (2-x) = 1. لذلك ، نحصل على 3x-2 = 1 ، أي x = 1.

بعد ذلك ، نظرًا لأن قيمة x معروفة ، يتم استبدالها في "y" ويتم الحصول على y = 2-1 = 1.

لذلك ، فإن الحل الوحيد لنظام المعادلات المتزامنة Eq1 و Eq2 هو x = 1 ، y = 1.

التمرين الثاني

حل نظام المعادلات Eq1: x + y = 2، Eq2 = 2x-y = 1 باستخدام طريقة المعادلة.

حل

تتكون طريقة المعادلة من مسح السؤال نفسه من كلا المعادلتين ثم معادلة المعادلات الناتجة.

بإزالة "x" من كلا المعادلتين ، نحصل على x = 2-y ، و x = (1 + y) / 2. الآن ، يتم حساب هاتين المعادلتين ونحصل على 2-y = (1 + y) / 2 ، حيث اتضح أن 4-2y = 1 + y.

يؤدي تجميع "y" غير المعروف على نفس الجانب إلى y = 1. الآن بعد أن تعرف "و" يمكنك المتابعة للعثور على قيمة "x". عند استبدال y = 1 نحصل على x = 2-1 = 1.

لذلك ، فإن الحل المشترك بين المعادلتين Eq1 و Eq2 هو x = 1 ، y = 1.

التمرين الثالث

حل نظام المعادلات Eq1: x + y = 2، Eq2 = 2x-y = 1 باستخدام طريقة الاختزال.

حل

تتكون طريقة الخفض من ضرب المعادلات التي تقدمها المعامِلات المناسبة ، بحيث يتم إلغاء أحد المتغيرات عند إضافة هذه المعادلات..

في هذا المثال بالذات ، لا تحتاج إلى ضرب أي معادلة بأي معامل ، فقط قم بإضافتها معًا. عند إضافة Eq1 plus Eq2 نحصل على 3x = 3 ، والتي نحصل عليها x = 1.

عند تقييم x = 1 في Eq1 نحصل على 1 + y = 2 ، والتي تبين أن y = 1.

لذلك ، س = 1 ، ص = 1 هو الحل الوحيد للمعادلات المتزامنة Eq1 و Eq2.

التمرين الرابع

حل نظام المعادلات المتزامنة Eq1: 2x-3y = 8 و Eq2: 4x-3y = 12.

حل

لا يتطلب هذا التمرين أي طريقة معينة ، لذلك يمكنك تطبيق الطريقة الأكثر راحة لكل قارئ.

في هذه الحالة ، سيتم استخدام طريقة الخفض. ضرب ضرب Eq1 ب -2 يعطي المعادلة Eq3: -4x + 6y = -16. الآن ، إضافة Eq3 و Eq2 تعطي 3y = -4 ، وبالتالي y = -4 / 3.

الآن ، عند تقييم y = -4 / 3 في Eq1 ، نحصل على 2x-3 (-4/3) = 8 ، حيث 2x + 4 = 8 ، وبالتالي ، x = 2.

في الختام ، الحل الوحيد لنظام المعادلات المتزامنة Eq1 و Eq2 هو x = 2 ، y = -4 / 3.

ملاحظة

يمكن تطبيق الطرق الموضحة في هذه المقالة على أنظمة بها أكثر من معادلتين متزامنتين.

كلما زادت المعادلات والمزيد من المجهول ، أصبح إجراء حل النظام أكثر تعقيدًا.

أي طريقة لحل أنظمة المعادلات سوف تسفر عن نفس الحلول ، أي أن الحلول لا تعتمد على الطريقة المطبقة.

مراجع

1. المصادر ، أ. (2016). الرياضيات الأساسية. مقدمة في الحساب. Lulu.com.
2. Garo، M. (2014). الرياضيات: المعادلات التربيعية.: كيفية حل المعادلة التربيعية. ماريلو غارو.
3. Haeussler، E. F.، & Paul، R. S. (2003). الرياضيات للإدارة والاقتصاد. بيرسون التعليم.
4. Jiménez، J.، Rofríguez، M.، & Estrada، R. (2005). الرياضيات 1 سبتمبر. عتبة.
5. Preciado، C. T. (2005). دورة الرياضيات 3o. برنامج التحرير.
6. روك ، ن. م. (2006). الجبر أنا سهل! سهل جدا. فريق روك برس.
7. سوليفان ، ج. (2006). الجبر وعلم المثلثات. بيرسون التعليم.