ما هي أبناء عمومة النسبية؟ الخصائص والأمثلة

اسمه أبناء عمومة النسبية (coprimos أو أبناء عمومة بالنسبة لبعضهم البعض) إلى أي زوج من الأعداد الصحيحة التي لا يوجد بها أي قواسم مشتركة ، باستثناء 1.

بمعنى آخر ، هناك رقمان كاملان هما أبناء عمومة نسبيين إذا لم يكن لديهم عامل مشترك في تحللهم بأعداد أولية.

على سبيل المثال ، إذا تم اختيار 4 و 25 ، تكون تحاليل العامل الأول لكل منهما 2 ² و 5 ² على التوالي. كما هو موضع تقدير ، هؤلاء ليس لديهم أي عامل مشترك ، لذلك 4 و 25 هم أبناء عمومة نسبية.

من ناحية أخرى ، إذا تم اختيار 6 و 24 ، عند تنفيذ تحللهم في العوامل الأولية ، نحصل على 6 = 2 * 3 و 24 = 2³ * 3.

كما ترون ، فإن لهذين التعبيرين الأخيرين عامل مشترك واحد على الأقل ، وبالتالي ، فإنهما ليسا من الأعداد الأولية النسبية.

أبناء العم النسبية

الشيء الوحيد الذي يجب توخي الحذر بشأنه هو أن القول بأن زوجًا من الأعداد الصحيحة أعدادًا أولية نسبيًا هو أن هذا لا يعني أن أيًا منهما رقم أولي.

من ناحية أخرى ، يمكن تلخيص التعريف الوارد أعلاه على النحو التالي: اثنين من الأعداد الصحيحة "a" و "b" هما نسبيان أوليان إذا كان ، وما إذا كان أكبر مقسوم مشترك لهما 1 ، أي mcd ( أ ، ب) = 1.

استنتاجان فوريان من هذا التعريف هما:

-إذا كان "a" (أو "b") هو رقم أولي ، فعندئذٍ mcd (a، b) = 1.

-إذا كان "a" و "b" من الأعداد الأولية ، فعندئذ mcd (a، b) = 1.

أي إذا كان أحد الأرقام المختارة على الأقل رقمًا أوليًا ، فسيكون زوج الأرقام مباشرة أعدادًا أولية نسبيًا.

ميزات أخرى

النتائج الأخرى التي يتم استخدامها لتحديد ما إذا كان الرقمان أوليين نسبيين:

-إذا كان عدد صحيحين متتاليين ، فهذه هي أبناء العمومة النسبية.

-يعد العددان الطبيعيان "a" و "b" من الأعداد الأولية النسبية إذا كانت الأعداد "(2 ^ a) -1" و "(2 ^ b) -1" هي الأعداد الأولية النسبية فقط.

-يمثل العددان الصحيحان "أ" و "ب" أعدادًا أولية نسبية إذا ، وفقط في حالة تخطيط النقطة (أ ، ب) في الطائرة الديكارتية ، وبناء الخط الذي يمر عبر الأصل (0 ، 0) و (أ) ، ب) ، هذا لا يحتوي على أي نقاط مع إحداثيات كاملة.

أمثلة

1.- النظر في الأعداد الصحيحة 5 و 12. تحلل العامل الأول من كلا العددين: 5 و 2 ² * 3 على التوالي. في الختام ، gcd (5،12) = 1 ، لذلك ، 5 و 12 من الأعداد الأولية النسبية.

2.- دع الأرقام -4 و 6. ثم -4 = -2² و 6 = 2 * 3 ، بحيث تكون شاشة LCD (-4.6) = 2 ≠ 1. في الختام -4 و 6 ليسوا أبناء عمومة نسبية.

إذا تابعنا رسم بياني للخط الذي يمر عبر الأزواج المطلوبة (-4.6) و (0.0) ، وحدد معادلة هذا الخط ، يمكننا التحقق من أنه يمر عبر النقطة (-2.3).

مرة أخرى خلص إلى أن -4 و 6 ليسوا أبناء عمومة نسبيين.

3.- الرقمان 7 و 44 من الأعداد الأولية النسبية ويمكن استنتاجهما بسرعة بفضل ما سبق ، حيث أن الرقم 7 هو رقم أولي.

4.- النظر في الأرقام 345 و 346. كونه رقمين متتاليين ، تم التحقق من أن mcd (345346) = 1 ، وبالتالي 345 و 346 هي الأعداد الأولية النسبية.

5.- إذا تم أخذ الرقمين 147 و 74 في الاعتبار ، فهذه أرقام عمومة نسبية ، لأن 147 = 3 * 7² و 74 = 2 * 37 ، وبالتالي فإن gcd (147.74) = 1.

6.- الأرقام 4 و 9 هي أعداد أولية نسبية. للتدليل على ذلك ، يمكن استخدام التوصيف الثاني المذكور أعلاه. في الواقع ، 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 و 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

الأرقام التي تم الحصول عليها هي 15 و 511. تحلل العامل الأول لهذه الأرقام هو 3 * 5 و 7 * 73 على التوالي ، بحيث mcd (15،511) = 1.

كما ترى ، فإن استخدام التوصيف الثاني يعد مهمة أطول وأكثر صعوبة من التحقق منها مباشرةً.

7.- النظر في الأرقام -22 و -27. ثم يمكن إعادة كتابة هذه الأرقام على النحو التالي: -22 = -2 * 11 و -27 = -3³. لذلك ، gcd (-22 ، -27) = 1 ، لذلك -22 و -27 هي أعداد أولية نسبية.

مراجع

1. Barrantes، H.، Diaz، P.، Murillo، M.، & Soto، A. (1998). مقدمة في نظرية الأعداد. EUNED.
2. بوردون ، ب. ل. (1843). العناصر الحسابية. مكتبة اللوردات وأولاد كاليخا.
3. كاستانيدا ، س. (2016). دورة أساسية في نظرية الأعداد. جامعة الشمال.
4. جيفارا ، م. ه.. مجموعة من الأعداد الصحيحة. EUNED.
5. المعهد العالي لتدريب المعلمين (إسبانيا) ، ج. ل. (2004). الأرقام والنماذج والمجلدات في بيئة الطفل. وزارة التعليم.
6. Palmer، C. I.، & Bibb، S. F. (1979). الرياضيات العملية: الحساب ، الجبر ، الهندسة ، علم المثلثات وحكم الشريحة (طبع إد.). Reverte.
7. روك ، ن. م. (2006). الجبر أنا سهل! سهل جدا. فريق روك برس.
8. سميث ، س. أ. (2000). علم الجبر. بيرسون التعليم.
9. سزيزي ، دي. (2006). الرياضيات الأساسية وقبل الجبر (المصور إد). الصحافة المهنية.
10. Toral، C.، & Preciado، M. (1985). دورة الرياضيات الثانية. برنامج التحرير.
11. فاجنر ، ج. ، كايسيدو ، أ. ، وكولورادو ، هـ (2010). المبادئ الأساسية للحساب. إليزكوم س.