ما هي المثلثات المائلة؟ (مع التمارين حلها)

ال مثلثات مائلة هي تلك المثلثات التي ليست مستطيلات. وهذا هو ، مثلثات مثل أن أيا من زواياها زاوية صحيحة (قياساتها 90º).

عدم وجود زاوية صحيحة ، ثم لا يمكن تطبيق نظرية فيثاغورس على هذه المثلثات.

لذلك ، لمعرفة البيانات في مثلث منحرف ، من الضروري استخدام صيغ أخرى.

الصيغ اللازمة لحل مثلث الزاوية المائل هي ما يسمى قوانين الجيب وجيب التمام ، والتي سيتم وصفها لاحقًا.

بالإضافة إلى هذه القوانين ، يمكن دائمًا استخدام حقيقة أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة..

مثلثات مائلة

كما قيل في البداية ، المثلث المائل هو مثلث بحيث لا تقيس أي من زاويته 90 درجة.

تسمى مشكلة العثور على أطوال جوانب مثلث الزاوية المائل ، وكذلك العثور على قياسات زواياها ، "تحليل المثلثات المائلة".

حقيقة مهمة عند العمل مع المثلثات هي أن مجموع الزوايا الداخلية الثلاث للمثلث يساوي 180 درجة. هذه هي نتيجة عامة ، وبالتالي يمكن استخدام المثلثات المائلة.

قوانين الثدي وجيب التمام

إعطاء مثلث ABC مع جوانب الطول "a" ، "b" و "c":

- ينص قانون الثديين على أن / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C) ، حيث A و B و C هي الزوايا المقابلة لـ "a" و "b" و "c" على التوالي.

- ينص قانون جيب التمام على ما يلي: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). بالتساوي ، يمكن استخدام الصيغ التالية:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) أو a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

باستخدام هذه الصيغ ، يمكنك حساب بيانات مثلث الزاوية المائلة.

تدريب

فيما يلي بعض التمارين التي يجب أن تجد فيها البيانات المفقودة للمثلثات المقدمة ، من بعض البيانات المقدمة.

التمرين الأول

عند إعطاء مثلث ABC بحيث A = 45º و B = 60º و = 12cm ، احسب البيانات الأخرى للمثلث.

حل

باستخدام أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180º ، يجب عليك

C = 180º-45º-60º = 75º.

الزوايا الثلاث معروفة بالفعل. ثم تابع استخدام قانون الثديين لحساب الجانبين المفقودين.

المعادلات التي يتم طرحها هي 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

من المساواة الأولى يمكنك مسح "ب" والحصول على ذلك

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14،696cm.

يمكنك أيضا مسح "ج" والحصول على ذلك

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16،392 سم.

التمرين الثاني

بالنظر إلى المثلث ABC بحيث A = 60º و C = 75º و b = 10cm ، احسب البيانات الأخرى للمثلث.

حل

كما في التمرين السابق ، B = 180º-60º-75º = 45º. بالإضافة إلى ذلك ، باستخدام قانون الثدي ، من الضروري أن تكون / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º) ، والتي يتم الحصول عليها من = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12.247 cm و c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13،660 سم.

التمرين الثالث

بالنظر إلى المثلث ABC بحيث تكون = 10cm و b = 15cm و C = 80º ، احسب البيانات الأخرى للمثلث.

حل

في هذا التمرين ، تُعرف زاوية واحدة فقط ، وبالتالي لا يمكنك البدء كما فعلت في التمرينين السابقين. أيضا ، لا يمكن تطبيق قانون الثدي لأنه لا يمكن حل المعادلة.

لذلك ، ننتقل إلى تطبيق قانون جيب التمام. ومن ثم ذلك

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0.173 ≈ 272،905 سم,

بحيث ج ≈ 16.51 سم. الآن ، ومع معرفة الجوانب الثلاثة ، يتم استخدام قانون الثدي وتحصل عليه

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16.51cm / sin (80º).

من هنا ، عند مسح B ، ينتج بدون (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894 ، مما يعني أن B ≈ 63.38º.

الآن ، يمكن الحصول على أن A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

التمرين الرابع

جوانب المثلث المائل هي = 5 سم ، ب = 3 سم و ج = 7 سم. احسب زوايا المثلث.

حل

مرة أخرى ، لا يمكن تطبيق قانون الثدي مباشرة حيث لن تعمل أي معادلة على الحصول على قيمة الزوايا.

باستخدام قانون جيب التمام ، لدينا ذلك c² = a² + b² - 2ab cos (C) ، حيث عندما نوضح لدينا cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 وبالتالي C = 120º.

الآن يمكنك تطبيق قانون الثدي والحصول على 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120) ، حيث يمكنك مسح B والحصول عليها بدون (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0.371 ، بحيث B = 21.79º.

أخيرًا ، يتم حساب الزاوية الأخيرة باستخدام A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.

مراجع

1. لاندافيردي ، ف. د. (1997). علم الهندسة (طبع إد.). تقدم.
2. Leake، D. (2006). مثلثات (المصور إد). هاينمان-رينتري.
3. بيريز ، سي دي (2006). precalculus. بيرسون التعليم.
4. رويز ،، ، وبارانتس ، هـ (2006). هندستها. CR التكنولوجيا.
5. سوليفان ، م. (1997). precalculus. بيرسون التعليم.
6. سوليفان ، م. (1997). علم المثلثات والهندسة التحليلية. بيرسون التعليم.