شرح نظرية بايز والتطبيقات والتمارين

ال نظرية بايز هو إجراء يسمح لنا بالتعبير عن الاحتمال المشروط لحدث عشوائي A معين B ، من حيث توزيع الاحتمال للحدث B المعطى A وتوزيع الاحتمال A فقط.

هذه النظرية مفيدة للغاية ، لأنه بفضلها يمكننا أن نربط احتمالية وقوع حدث A مع العلم أن B قد حدث ، مع احتمال حدوث العكس ، أي أن B يحدث بسبب A.

كانت نظرية بايز اقتراحًا فضيًا من قبل القس توماس بايز ، عالم اللاهوت الإنجليزي في القرن الثامن عشر والذي كان أيضًا عالم رياضيات. كان مؤلف العديد من الأعمال في علم اللاهوت ، ولكن من المعروف حاليًا عن اثنين من الأطروحات الرياضية ، ومن بينها نظرية بايز المذكورة سابقًا والتي تبرز باعتبارها النتيجة الرئيسية..

تناول بايز هذه النظرية في ورقة بعنوان "مقالة نحو حل مشكلة في عقيدة الفرص" ، التي نشرت في عام 1763 ، والتي تم تطوير الأعمال الكبيرة لحل مشكلة في عقيدة الاحتمالات. دراسات مع التطبيقات في مختلف مجالات المعرفة.

مؤشر

• 1 التفسير
• 2 تطبيقات نظرية بايز
  • 2.1 تمارين تم حلها
• 3 المراجع

تفسير

أولاً ، لمزيد من الفهم لهذه النظرية ، من الضروري وجود بعض المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات ، وخاصة نظرية الضرب لاحتمال الشرطية ، والتي تنص على أن

بالنسبة إلى أحداث E و A العشوائية لمساحة عينة S.

وتعريف الأقسام ، الذي يخبرنا أنه إذا كان لدينا أ₁ ,A₂,... ، أ_ن أحداث مساحة العينة S ، ستشكل هذه قسمًا من S ، إذا كانت A_أنا هم متبادلون واتحادهم هو S.

بعد هذا ، دع B يكون حدثًا آخر. ثم يمكننا أن نرى B كما

حيث أ_أنا تتقاطع مع B هي الأحداث المتبادلة.

وبالتالي,

ثم ، تطبيق نظرية الضرب

من ناحية أخرى ، يتم تحديد الاحتمال الشرطي لـ Ai المعطى B بواسطة

استبدال بشكل كاف لدينا لفي أي

تطبيقات نظرية بايز

بفضل هذه النتيجة ، تمكنت مجموعات البحث والشركات المتنوعة من تحسين النظم القائمة على المعرفة.

على سبيل المثال ، في دراسة الأمراض ، يمكن لنظرية بايز أن تساعد في اكتشاف احتمال وجود مرض في مجموعة من الأشخاص ذوي خصائص معينة ، مع الأخذ في الاعتبار المعدلات العالمية للمرض وهيمنة الخصائص المذكورة في الناس على حد سواء الأصحاء والمرضى.

من ناحية أخرى ، في عالم التكنولوجيا المتقدمة ، أثرت على الشركات الكبيرة التي طورت ، بفضل هذه النتيجة ، برنامج "قائم على المعرفة".

كمثال يومي ، لدينا مساعد Microsoft Office. تساعد نظرية Bayes البرنامج على تقييم المشكلات التي يعرضها المستخدم وتحديد النصيحة التي يمكن تقديمها وبالتالي يكون قادرًا على تقديم خدمة أفضل وفقًا لعادات المستخدم.

تجدر الإشارة إلى أن هذه الصيغة قد تم تجاهلها حتى وقت قريب ، وهذا يرجع بشكل رئيسي إلى حقيقة أنه عندما تم تطوير هذه النتيجة قبل 200 عام ، كان هناك القليل من الاستخدام العملي لها. ومع ذلك ، في عصرنا ، بفضل التقدم التكنولوجي الكبير ، حقق العلماء طرقًا لوضع هذه النتيجة موضع التنفيذ.

تمارين تم حلها

التمرين 1

تمتلك الشركة الخلوية جهازين A و B. 54 ٪ من الهواتف المحمولة المنتجة بواسطة الجهاز A والباقي بواسطة الجهاز B. ليست جميع الهواتف المحمولة المنتجة في حالة جيدة.

نسبة الهواتف المحمولة المعيبة التي صنعتها A هي 0.2 وبنسبة 0.5. ما هو احتمال أن يكون الهاتف الخلوي للمصنع المذكور معيبًا؟ ما هو احتمال أن ، مع العلم أن الهاتف الخلوي معيب ، يأتي من الجهاز أ?

حل

هنا ، لديك تجربة تتم في جزأين ؛ في الجزء الأول تحدث الأحداث:

ج: الهاتف الخليوي الذي أدلى به الجهاز أ.

ب: الهاتف الخليوي الذي أدلى به الجهاز ب.

نظرًا لأن الجهاز A ينتج 54٪ من الهواتف المحمولة ويتم إنتاج الباقي بواسطة الجهاز B ، فإن الجهاز B ينتج 46٪ من الهواتف المحمولة. يتم إعطاء احتمالات هذه الأحداث ، وهي:

P (A) = 0.54.

P (B) = 0.46.

أحداث الجزء الثاني من التجربة هي:

D: خلية معيبة.

E: خلية غير معيبة.

كما يقال في البيان ، تعتمد احتمالات هذه الأحداث على النتيجة التي تم الحصول عليها في الجزء الأول:

P (D | A) = 0.2.

P (D | B) = 0.5.

باستخدام هذه القيم ، يمكنك أيضًا تحديد احتمالات مكملات هذه الأحداث ، وهي:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0.2

= 0.8

و

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0.5

= 0.5.

الآن ، يمكن كتابة الحدث D على النحو التالي:

باستخدام نظرية الضرب لاحتمال شرطي ، فإنه ينتج:

مع الإجابة على السؤال الأول.

الآن نحتاج فقط إلى حساب P (A | D) ، والتي تنطبق عليها نظرية بايز:

بفضل نظرية بايز ، يمكن القول أن احتمال تصنيع هاتف خلوي بواسطة الجهاز أ ، مع العلم أن الهاتف الخلوي معيب ، هو 0.319.

التمرين 2

ثلاثة صناديق تحتوي على كرات بيضاء وسوداء. تكوين كل منهم على النحو التالي: U1 = 3B ، 1N ، U2 = 2B ، 2N ، U3 = 1B ، 3N.

يتم اختيار أحد الصناديق عشوائياً ويتم استخراج كرة عشوائية منها ، والتي تتحول إلى اللون الأبيض. وهو المربع الذي من المرجح أن يتم اختياره?

حل

من خلال U1 و U2 و U3 ، سنعمل أيضًا على تمثيل الصندوق المختار.

تشكل هذه الأحداث قسماً من S ويتم التحقق من أن P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 لأن اختيار المربع عشوائي.

إذا كانت B = الكرة المستخرجة بيضاء ، فسنحصل على P (B | U1) = 3/4 ، P (B | U2) = 2/4 ، P (B | U3) = 1/4 .

ما نريد الحصول عليه هو احتمال إخراج الكرة من المربع Ui مع العلم أن الكرة كانت بيضاء ، أي P (Ui | B) ، ومعرفة أي من القيم الثلاث كان الأعلى لمعرفة أي منها كان مربع على الأرجح استخراج الكرة البيضاء.

تطبيق نظرية بايز على أول المربعات:

وللآخرين:

P (U2 | B) = 2/6 و P (U3 | B) = 1/6.

ثم ، أول الصناديق هو الذي يتمتع باحتمال أكبر باختياره لاستخراج الكرة البيضاء.

مراجع

1. كاي لاي تشونج نظرية القدرة الأولية مع العمليات العشوائية. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. روزن الرياضيات المنفصلة وتطبيقاتها. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. بول ل. ماير. الاحتمالات والتطبيقات الإحصائية. شركة المكسيكي الحمراء.
4. سيمور ليبشوتز دكتوراه 2000 حل مشاكل الرياضيات المنفصلة. ماكجرو هيل.
5. سيمور ليبشوتز دكتوراه نظرية ومشاكل الاحتمالات. ماكجرو هيل.