ثلاثي الشكل للنموذج x ^ 2 + bx + c (مع أمثلة)

قبل التعلم لحل ثلاثية الشكل للنموذج x ^ 2 + bx + c, وحتى قبل معرفة مفهوم الحدود الثلاثية ، من المهم معرفة فكرتين أساسيتين ؛ وهي مفاهيم أحادية ومتعددة الحدود. المونوميال هو تعبير من النوع a * x^ن, حيث a رقم منطقي ، n هو رقم طبيعي و x متغير.

كثير الحدود هو مزيج خطي من أحادي الشكل من الشكل أ_ن* س^ن+إلى_{ن 1}* س^{ن 1}+... +₂* س²+إلى₁* س + أ₀, حيث كل_أنا, مع i = 0 ، ... ، n ، هو رقم عقلاني ، n هو رقم طبيعي و a_n غير صفري. في هذه الحالة يقال إن درجة كثير الحدود هي n.

متعدد الحدود يتكون من مجموع مصطلحين فقط (اثنين من الأحاديات) بدرجات مختلفة ، ويعرف باسم الحدين.

مؤشر

• 1 Trinomials
  • 1.1 الكمال مربع ثلاثي الحدود
• 2 خصائص الصف ثلاثي الحدود
  • 2.1 مربع مثالي
  • 2.2 المذيبات الصيغة
  • 2.3 التفسير الهندسي
  • 2.4 العوملة ثلاثية الحدود
• 3 أمثلة
  • 3.1 مثال 1
  • 3.2 مثال 2
• 4 المراجع

trinomials

يُعرف كثير الحدود الذي يتكون من مجموع ثلاثة مصطلحات فقط (ثلاثة أحاديات) بدرجات مختلفة باسم ثلاثي الحدود. فيما يلي أمثلة ثلاثية الأبعاد:

• س³+س²+5X
• 2X⁴-س³+5
• س²+6x + 3

هناك عدة أنواع من ثلاثي الحدود. من هذه يسلط الضوء على مربع ثلاثي الحدود الكمال.

مربع ثلاثي الحدود الكمال

ثلاثي الحدود المربع المثالي هو نتيجة رفع التربيع ذي الحدين. على سبيل المثال:

• (3X-2)²= 9x²-12x + 4
• (2X³+ذ)²= 4x⁶+4X³ذ + ذ²
• (4X²-2Y⁴)²= 16x⁴-16X²و⁴+4Y⁸
• 1 / 16x²و⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1 / 4xy⁴)²-2 (1 / 4xy⁴) z + z²= (1 / 4xy⁴-ض)²

خصائص الصف 2 trinomials

مربع مثالي

بشكل عام ، ثلاثي الحدود من الفأس الشكل²+bx + c عبارة عن مربع مثالي إذا كان التمييز الخاص به يساوي الصفر ؛ هذا هو ، إذا ب²-4ac = 0 ، لأنه في هذه الحالة سيكون له جذر واحد فقط ويمكن التعبير عنه بالشكل a (x-d)²= ((a (x-d))², حيث د هو الجذر المذكور بالفعل.

جذر كثير الحدود هو رقم يصبح فيه كثير الحدود صفراً ؛ بمعنى آخر ، الرقم الذي يؤدي إلى استبداله في x بالتعبير عن كثير الحدود ، يؤدي إلى صفر.

صيغة المذيبات

معادلة عامة لحساب جذور كثير الحدود من الدرجة الثانية من الفأس النموذجي²+bx + c هي صيغة المحلل ، التي تنص على أن هذه الجذور تعطى بواسطة (-b ± √ (b²-4ac)) / 2a ، حيث ب²-يُعرف 4ac باسم المُميّز ويُشار إليه عادةً بـ Δ. من هذه الصيغة يتبع ذلك الفأس²+bx + c له:

- اثنين من جذور حقيقية مختلفة إذا Δ> 0.

- جذر حقيقي واحد إذا Δ = 0.

- لا يوجد لديه الجذر الحقيقي إذا Δ<0.

في ما يلي سننظر فقط في ثلاثية الحدود من النموذج x²+bx + c ، حيث من الواضح أن c يجب أن يكون عددًا غير صفري (وإلا فسيكون ذلك ذو حدين) هذا النوع من ثلاثي الحدودات له مزايا معينة عند التخصيم والتعامل معها.

التفسير الهندسي

هندسيا ، ثلاثية الالوان²+bx + c عبارة عن قطع مكافئ يفتح لأعلى وله قمة عند النقطة (-b / 2، -b²/ 4 + c) للطائرة الديكارتية لأن x²+bx + c = (x + b / 2)²-ب²/ 4 + ج.

هذا القطع المكافئ يقطع المحور Y عند النقطة (0 ، c) والمحور X عند النقاط (d₁,0) و (د)₂,0)؛ ثم ، د₁ و د₂ هم جذور ثلاثية الحدود. يمكن أن يحدث أن يكون للثلاثي الجذر جذر واحد د ، وفي هذه الحالة سيكون القطع الوحيد ذي المحور X (د ، 0).

قد يحدث أيضًا أن ثلاثي الحدود ليس له أي جذور حقيقية ، وفي هذه الحالة لن يقطع المحور X في أي وقت.

على سبيل المثال ، س²+6 × + 9 = (× + 3)²-9 + 9 = (× + 3)² هو القطع المكافئ ذي الرأس في (-3،0) ، والذي يقطع المحور Y في (0،9) والمحور X في (-3،0).

العوامل الثلاثية

أداة مفيدة للغاية عند العمل مع كثير الحدود هي العوملة ، وهو التعبير عن كثير الحدود كمنتج من العوامل. بشكل عام ، بالنظر إلى الصيغة الثلاثية الشكل x²+bx + c ، إذا كان لهذا جذران مختلفان د₁ و د₂, يمكن اعتبارها (x-d)₁) (س س)₂).

إذا كان لديك جذر واحد فقط ، فيمكنك معاملته كـ (x-d) (x-d) = (x-d)², وإذا لم يكن له أي جذور حقيقية ، فإنه يترك نفسه ؛ في هذه الحالة ، لا يدعم التوصيف كمنتج لعوامل أخرى غير نفسه.

هذا يعني أنه مع معرفة جذور ثلاثية الشكل الموجود بالفعل ، يمكن التعبير عن معاملتها بسهولة ، وكما ذكرنا سابقًا ، يمكن تحديد هذه الجذور دائمًا باستخدام المذيب.

ومع ذلك ، هناك قدر كبير من هذا النوع من trinomies التي يمكن أن تؤخذ في الحسبان دون الحاجة إلى معرفة جذورها مسبقا ، مما يبسط العمل.

يمكن تحديد الجذور مباشرة من التوصيف دون الحاجة إلى استخدام صيغة محلل ؛ هذه هي كثيرات الحدود من شكل س² +(a + b) x + ab. في هذه الحالة لديك:

س²+(a + b) x + ab = x²+الفأس + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

من هنا يلاحظ بسهولة أن الجذور هي -a و -b.

وبعبارة أخرى ، تعطى x ثلاثية²+bx + c ، إذا كان هناك رقمان u و v بحيث c = uv و b = u + v ، ثم x²+bx + c = (x + u) (x + v).

وهذا هو ، بالنظر إلى x ثلاثي الحدود²+bx + c ، تحقق أولاً مما إذا كان هناك رقمان مثل الضرب المضاعف للكلمة المستقلة (ج) وإضافتها (أو طرحها ، اعتمادًا على الحالة) ، حدد المصطلح المصاحب لـ x (b).

ليس مع كل الحدود الثلاثية بهذه الطريقة يمكن تطبيق هذه الطريقة ؛ حيث لا يمكنك ذلك ، تذهب إلى المذيب وتطبق ما سبق ذكره.

أمثلة

مثال 1

لعامل الثلاثية الأبعاد التالية س²+3x + 2 نواصل كما يلي:

يجب أن تجد رقمين ، عندما تضيفهم ، تكون النتيجة 3 ، وعندما تضربهم ، تكون النتيجة 2.

بعد إجراء التفتيش ، يمكن استنتاج أن الأرقام المطلوبة هي: 2 و 1. لذلك ، س²+3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

مثال 2

لعامل ثلاثي الحدود س²-5x + 6 نبحث عن رقمين مجموعهما هو -5 ومنتجها هو 6. والأرقام التي تفي بهذين الشرطين هي -3 و -2. لذلك ، فإن عامل ثلاثي الحدود المعطى هو x²-5x + 6 = (x-3) (x-2).

مراجع

1. المصادر ، أ. (2016). الرياضيات الأساسية. مقدمة في الحساب. Lulu.com.
2. Garo، M. (2014). الرياضيات: المعادلات التربيعية: كيفية حل المعادلة التربيعية. ماريلو غارو.
3. Haeussler، E. F.، & Paul، R. S. (2003). الرياضيات للإدارة والاقتصاد. بيرسون التعليم.
4. Jiménez، J.، Rofríguez، M.، & Estrada، R. (2005). الرياضيات 1 سبتمبر. عتبة.
5. Preciado، C. T. (2005). دورة الرياضيات 3o. برنامج التحرير.
6. روك ، ن. م. (2006). الجبر أنا سهل! سهل جدا. فريق روك برس.
7. سوليفان ، ج. (2006). الجبر وعلم المثلثات. بيرسون التعليم.