ميزات مثلث متساوي الساق ، الصيغة والمساحة ، والحساب

ل مثلث متساوي الساقين إنه مضلع ثلاثي الجوانب ، حيث يوجد اثنان منهم لهما نفس القياس والجانب الثالث له قياس مختلف. هذا الجانب الأخير يسمى قاعدة. بسبب هذه الخاصية ، تم منحها هذا الاسم ، والذي يعني في اليونانية "أرجل متساوية"

المثلثات هي مضلعات تعتبر الأسهل في الهندسة لأنها تتكون من ثلاثة جوانب وثلاث زوايا وثلاثة رؤوس. هم أولئك الذين لديهم أقل عدد من الجوانب والزوايا فيما يتعلق بالمضلعات الأخرى ، ولكن استخدامه واسع للغاية.

مؤشر

• 1 خصائص مثلثات متساوي الساقين
  • 1.1 المكونات
• 2 خصائص
  • 2.1 الزوايا الداخلية
  • 2.2 مجموع الجانبين
  • 2.3 متطابق الجانبين
  • 2.4 الزوايا المتطابقة
  • 2.5 الارتفاع ، الوسيط ، والمنصف والمنصف تتزامن
  • 2.6 المرتفعات النسبية
  • 2.7 يتطابق مركز أوروسنتر ، باريسينتير ، إينسينتير آند سيرسنر
• 3 كيفية حساب المحيط?
• 4 كيفية حساب الارتفاع?
• 5 كيفية حساب المنطقة?
• 6 كيف تحسب قاعدة المثلث?
• 7 تمارين
  • 7.1 التمرين الأول
  • 7.2 التمرين الثاني
  • 7.3 التمرين الثالث
• 8 المراجع

خصائص مثلثات متساوي الساقين

تم تصنيف مثلث متساوي الساقين باستخدام مقياس جوانبها كمعلمة ، حيث أن اثنين من جوانبها متطابقان (لهما نفس الطول).

وفقًا لسعة الزوايا الداخلية ، تصنف مثلثات متساوي الساقين على النحو التالي:

• مستطيل مثلث متساوي الساقين: اثنان من الجانبين متساويان. واحدة من زواياها مستقيم (90^أو) والآخرون هم نفسه (45^أو كل واحد)
• متساوي الساقين مثلث زاوية منفرجة: اثنان من الجانبين متساويان. واحدة من زواياها منفرج (> 90^أو).
• Isosceles مثلث الزاوية الحادة: اثنان من الجانبين متساويان. جميع زواياها حادة (< 90^أو) ، حيث اثنين لديهم نفس الإجراء.

المكونات

• الوسيط: هو الخط الذي يترك من نقطة الوسط من جانب واحد ويصل إلى الرأس المقابل. يتفق الوسطاء الثلاثة عند نقطة تسمى النقطه الوسطى أو النقطه الوسطى.
• المنصف: هو شعاع يقسم زاوية كل قمة إلى زاويتين متساويتين في الحجم. هذا هو السبب في أنه يعرف باسم محور التماثل وهذا النوع من المثلثات لديه واحد فقط.
• الوسيط: هو مقطع عمودي على جانب المثلث ، والذي ينشأ في منتصف هذا. هناك ثلاثة أطباء في مثلث ويتفقون في نقطة تسمى circuncentro.
• الارتفاع: هو الخط الذي ينتقل من قمة الرأس إلى الجانب المعاكس وأيضًا هذا الخط عمودي على هذا الجانب. جميع المثلثات لها ثلاثة ارتفاعات ، والتي تتزامن في نقطة تسمى orthocenter.

خصائص

يتم تعريف أو تحديد مثلثات متساوي الساقين لأن لها العديد من الخصائص التي تمثلها ، والتي نشأت من النظريات التي اقترحها علماء الرياضيات العظيمة:

الزوايا الداخلية

مجموع الزوايا الداخلية يساوي دائمًا 180^أو.

مجموع الجانبين

يجب أن يكون مجموع تدابير الجانبين دائمًا أكبر من مقياس الجانب الثالث ، a + b> c.

الجانبين متطابقة

مثلثات متساوي الساقين لها جانبان بنفس المقاس أو الطول ؛ وهذا هو ، فهي متطابقة والجانب الثالث يختلف عن هذه.

زوايا متطابقة

تُعرف مثلثات Isosceles بأنها مثلثات iso-triang أيضًا ، لأن لها زاويتين لهما نفس المقياس (التطابقات). وتقع هذه في قاعدة المثلث ، مقابل الجوانب التي لها نفس الطول.

لهذا السبب ، فإن النظرية التي تؤكد أن:

"إذا كان للمثلث جانبان متطابقان ، فستكون الزوايا المقابلة لهذين الجانبين متطابقتين أيضًا." لذلك ، إذا كان المثلث متساوي الساقين ، فإن زوايا قواعده متطابقة.

على سبيل المثال:

يوضح الشكل التالي مثلث ABC. عن طريق تتبع منبه من قمة الزاوية B إلى القاعدة ، ينقسم المثلث إلى مثلثين متساويين BDA و BDC:

وهكذا ، تم تقسيم زاوية القمة B أيضًا إلى زاويتين متساويتين. أصبح bisector الآن هو الجانب (BD) المشترك بين هذين المثلثين ، في حين أن الجانبين AB و BC هما الجانبان المتطابقان. إذن لديك حالة التطابق ، الزاوية ، الجانب (LAL).

هذا يدل على أن زاويتي القمة A و C لها نفس المقياس ، تمامًا كما يمكن إثبات أنه بما أن المثلثات BDA و BDC متطابقتان ، فإن جانبي AD و DC متطابقان أيضًا..

الارتفاع ، الوسيط ، والمنصف والمنصف هي من قبيل الصدفة

الخط الذي يتم رسمه من الرأس المقابل للقاعدة إلى منتصف قاعدة قاعدة مثلث متساوي الساقين ، هو في نفس الوقت الارتفاع والوسيط والمنصف ، وكذلك المنصف بالنسبة إلى الزاوية المقابلة للقاعدة.

كل هذه الشرائح تتزامن في واحد يمثلهم.

على سبيل المثال:

يوضح الشكل التالي المثلث ABC بنقطة منتصف M تقسم القاعدة إلى قسمين BM و CM.

عندما تقوم بسحب قطعة من النقطة M إلى الرأس المعاكس ، بحكم تعريفك ، تحصل على الوسيط AM ، وهو نسبة إلى الرأس A والجانب BC.

نظرًا لأن مقطع AM يقسم المثلث ABC إلى مثلثين متساويين AMB و AMC ، فهذا يعني أن حالة الجانب والزاوية والتوافق الجانبي ستؤخذ وبالتالي فإن AM سيكون أيضًا منصف BÂC.

هذا هو السبب في أن المنصف سوف يكون دائمًا مساويًا للمتوسط ​​والعكس صحيح.

تشكل شريحة AM زوايا لها نفس المقياس لمثلثات AMB و AMC ؛ أي أنها مكملة بطريقة تجعل قياس كل منها:

Med (AMB) + Med (AMC) = 180^أو

2 _* المتوسط ​​(AMC) = 180^أو

المتوسط ​​(AMC) = 180^أو ÷ 2

ميد (AMC) = 90^أو

من المعروف أن الزوايا التي تشكلها شريحة AM فيما يتعلق بقاعدة المثلث مستقيمة ، مما يشير إلى أن هذا الجزء متعامد تمامًا مع القاعدة.

لذلك يمثل الارتفاع والمنصف ، مع العلم أن M هي نقطة المنتصف.

لذلك الخط المستقيم AM:

• يمثل ارتفاع قبل الميلاد.
• إنه متوسط.
• وهو موجود داخل mediatrix قبل الميلاد.
• إنه منصف زاوية القمة Â

المرتفعات النسبية

الارتفاعات التي تتعلق بالجانبين المتساويين ، لها نفس الإجراء أيضًا.

نظرًا لأن مثلث متساوي الساقين له جانبان متساويان ، سيكون ارتفاعهما متساويًا أيضًا.

Orthocenter ، barycenter ، incenter و circumcenter تتزامن

نظرًا لأن الطول والوسيط والمنصف والمنصف بالنسبة للقاعدة ، يتم تمثيلها في نفس الوقت بواسطة نفس الشريحة ، سيكون مركز تقويم العظام والمركز المركزي ومركز التحذير نقاطًا متداخلة ، أي أنها ستكون على نفس الخط:

كيفية حساب المحيط?

يتم حساب محيط المضلع بمجموع الجوانب.

كما في هذه الحالة ، يكون لمثلث متساوي الساقين وجهان لهما نفس التدبير ، ويتم حساب محيطه بالصيغة التالية:

ف = 2_*(الجانب أ) + (الجانب ب).

كيفية حساب الارتفاع?

الارتفاع هو الخط العمودي على القاعدة ، ويقسم المثلث إلى جزأين متساويين عن طريق الامتداد إلى الرأس المقابل.

يمثل الارتفاع الساق المعاكسة (أ) ، نصف القاعدة (ب / 2) إلى الساق المجاورة والجانب "أ" يمثل الوتر.

باستخدام نظرية فيثاغورس ، يمكنك تحديد قيمة الارتفاع:

إلى² + ب² = ج²

حيث:

إلى² = الارتفاع (ح).

ب² = ب / 2.

ج² = الجانب.

استبدال هذه القيم في نظرية فيثاغورس ، ومسح الارتفاع الذي لدينا:

ح² + (ب / 2)² = إلى²

ح² + ب² / 4 = إلى²

ح² = إلى² - ب² / 4

ع = √ (إلى² - ب² / 4).

إذا كانت الزاوية التي تشكلها الجوانب المتطابقة معروفة ، يمكن حساب الارتفاع بالصيغة التالية:

كيفية حساب المنطقة?

يتم احتساب مساحة المثلثات دائمًا بنفس الصيغة ، مع ضرب القاعدة بالطول وقسمها على اثنين:

هناك حالات معروفة فيها فقط قياسات وجهي المثلث والزاوية المشكلة بينهما. في هذه الحالة ، لتحديد المنطقة ، من الضروري تطبيق نسب المثلثية:

كيفية حساب قاعدة المثلث?

نظرًا لأن مثلث متساوي الساقين له جانبان متساويان ، لتحديد قيمة قاعدته ، يجب على المرء أن يعرف على الأقل قياس الطول أو إحدى زواياه.

معرفة ارتفاع نظرية فيثاغورس يستخدم:

إلى² + ب² = ج²

حيث:

إلى² = الارتفاع (ح).

ج² = الجانب.

ب² = ب / 2 ، غير معروف.

نحن تطهيرها ب² من الصيغة وعلينا:

ب² = أ² - ج²

ب = √ أ² - ج²

نظرًا لأن هذه القيمة تقابل نصف القاعدة ، فيجب ضربها للحصول على القياس الكامل لقاعدة مثلث متساوي الساق:

ب = 2 _* (√ أ² - ج²)

في حالة معرفة قيمة الجوانب المتساوية والزاوية بينهما ، يتم تطبيق علم المثلثات ، ويتتبع خطًا من الرأس إلى القاعدة يقسم مثلث متساوي الساقين إلى مثلثين صحيحين.

بهذه الطريقة ، يتم حساب نصف القاعدة باستخدام:

من الممكن أيضًا أن تكون قيمة ارتفاع الرأس وزاوية عكس القاعدة معروفة فقط. في هذه الحالة بواسطة علم المثلثات ، يمكن تحديد القاعدة:

تدريب

التمرين الأول

ابحث عن مساحة مثلث متساوي الساق ABC ، ​​مع العلم أن اثنين من جوانبها يبلغ طولهما 10 سم وأن الجانب الثالث يبلغ 12 سم.

حل

للعثور على مساحة المثلث ، من الضروري حساب الارتفاع باستخدام صيغة المنطقة المرتبطة بنظرية فيثاغوري ، حيث أن قيمة الزاوية المشكلة بين الجانبين المتساويين غير معروفة.

لدينا البيانات التالية من مثلث متساوي الساقين:

• جوانب متساوية (أ) = 10 سم.
• القاعدة (ب) = 12 سم.

يتم استبدال القيم في الصيغة:

التمرين الثاني

يبلغ طول الجانبين المتساويين لمثلث متساوي الساقين 42 سم ، ويشكل اتحاد هذين الجانبين زاوية 130^أو. حدد قيمة الجانب الثالث ، ومنطقة ذلك المثلث والمحيط.

حل

في هذه الحالة معروفة قياسات الجانبين والزاوية الموجودة بينهما.

لمعرفة قيمة الجانب المفقود ، أي قاعدة هذا المثلث ، يتم رسم خط عمودي عليه ، ويقسم الزاوية إلى جزأين متساويين ، واحد لكل مثلث قائم يتم تشكيله.

• جوانب متساوية (أ) = 42 سم.
• الزاوية (Ɵ) = 130^أو

الآن حسب علم المثلثات ، يتم حساب قيمة نصف القاعدة ، وهو ما يتوافق مع نصف الوتر السفلي:

لحساب المساحة ، من الضروري معرفة ارتفاع هذا المثلث الذي يمكن حسابه بواسطة علم المثلثات أو بواسطة نظرية فيثاغورس ، والآن بعد أن تم تحديد قيمة الأساس بالفعل.

حسب علم المثلثات ، سيكون:

يتم حساب المحيط:

ف = 2_*(الجانب أ) + (الجانب ب).

ف = 2_* (42 سم) + (76 سم)

P = 84 سم + 76 سم

P = 160 سم.

التمرين الثالث

حساب الزوايا الداخلية للمثلث متساوي الساقين ، مع العلم أن زاوية القاعدة هي Â = 55^أو

حل

للعثور على الزاويتين المفقودتين (Ê و Ô) ، من الضروري تذكر خاصيتين من المثلثات:

• مجموع الزوايا الداخلية لكل مثلث سيكون دائمًا = 180^أو:

 + Ê + Ô = 180 ^أو

• في مثلث متساوي الساقين ، تكون زوايا القاعدة متطابقة دائمًا ، أي أن لها نفس القياس ، وبالتالي:

 = Ô

55 = 55^أو

لتحديد قيمة الزاوية Ê ، استبدل قيم الزوايا الأخرى في القاعدة الأولى واضبط Ê:

55^أو + 55^أو + Ô = 180 ^أو

110 ^أو + Ô = 180 ^أو

Ô = 180 ^أو - 110 ^أو

70 = 70 ^أو.

مراجع

1. ألفاريز ، E. (2003). عناصر الهندسة: مع العديد من التدريبات وهندسة البوصلة. جامعة ميديلين.
2. ألفارو رندون ، إيه آر (2004). الرسم الفني: دفتر الأنشطة.
3. آنجيل ، إيه آر (2007). الجبر الابتدائي بيرسون التعليم.
4. آرثر جودمان ، إل. إتش. (1996). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. بيرسون التعليم.
5. بالدور ، أ. (1941). الجبر. هافانا: ثقافة.
6. José Jiménez، L. J. (2006). الرياضيات 2.
7. توما ، جيه (1998). دليل الرياضيات الهندسية. ولفرام MathWorld.