شارك:
توزيعات خصائص الاحتمالات المنفصلة والتمارين
ال توزيعات احتمالية منفصلة هي وظيفة تعين لكل عنصر من عناصر X (S) = x1 ، x2 ، ... ، xi ، ... ، حيث X عبارة عن متغير عشوائي منفصل معين و S هي مساحة العينة الخاصة به ، والاحتمال الذي سيحدث الحدث المذكور. تُسمى هذه الوظيفة f من X (S) المعرَّفة كـ f (xi) = P (X = xi) أحيانًا دالة الكتلة الاحتمالية.
وعادة ما يتم تمثيل هذه الكتلة من الاحتمالات كجدول. نظرًا لأن X متغير عشوائي منفصل ، فإن X (S) يحتوي على عدد محدود من الأحداث أو عدد لا نهائي من العد. من بين توزيعات الاحتمالية المنفصلة الأكثر شيوعًا لدينا التوزيع الموحد والتوزيع ذو الحدين وتوزيع بواسون.
مؤشر
- 1 الخصائص
- 2 أنواع
- 2.1 توزيع موحد على نقاط n
- 2.2 التوزيع ذو الحدين
- 2.3 توزيع بواسون
- 2.4 توزيع Hypergeometric
- 3 تمارين حلها
- 3.1 التمرين الأول
- 3.2 التمرين الثاني
- 3.3 التمرين الثالث
- 3.4 التمرين الثالث
- 4 المراجع
ملامح
يجب أن تفي وظيفة توزيع الاحتمال بالشروط التالية:
أيضًا ، إذا كانت X تأخذ فقط عددًا محدودًا من القيم (على سبيل المثال ، x1 ، x2 ، ... ، xn) ، ثم p (xi) = 0 إذا كنت تفي هذه الوظيفة أيضًا بالخصائص التالية: دع B يكون حدثًا مرتبطًا بالمتغير العشوائي X. وهذا يعني أن B موجود في X (S). على وجه التحديد ، افترض أن B = xi1 ، xi2 ، .... لذلك: بمعنى آخر: احتمال وقوع حدث B يساوي مجموع احتمالات النتائج الفردية المرتبطة بـ B. من هذا يمكننا أن نستنتج أنه إذا أ < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b) son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos: يقال إن المتغير العشوائي X يتبع التوزيع الذي يتميز بأنه موحد في نقاط n إذا تم تعيين نفس القيمة لكل قيمة. وظيفة الكتلة الاحتمالية لها هي: لنفترض أن لدينا تجربة لها نتيجتان محتملتان ، يمكن أن يكون طرح عملة معدنية يكون وجهها أو طابعها ، أو اختيار عدد صحيح يمكن أن تكون نتيجته رقم زوجي أو رقم فردي ؛ يُعرف هذا النوع من التجارب باختبارات برنولي. بشكل عام ، يطلق على النتيجتين المحتملتين النجاح والفشل ، حيث p هو احتمال النجاح وواحد الفشل. يمكننا تحديد احتمال النجاح x في اختبارات n Bernoulli المستقلة عن بعضها البعض مع التوزيع التالي. هذه هي الوظيفة التي تمثل احتمال الحصول على النجاحات x في اختبارات Bernoulli المستقلة ، والتي يكون احتمال نجاحها هو p. وظيفة الكتلة الاحتمالية لها هي: يمثل الرسم البياني التالي كتلة دالة الاحتمال لقيم مختلفة لمعلمات التوزيع ذي الحدين. يوزع التوزيع التالي باسم عالم الرياضيات الفرنسي Simeon Poisson (1781-1840) ، الذي حصل عليه كحد أقصى لتوزيع ذي الحدين.. يقال إن المتغير العشوائي X له توزيع Poisson للمعلمة λ عندما يمكن أن يأخذ قيم الأعداد الصحيحة الموجبة 0،1،2،3 ، ... بالاحتمال التالي: في هذا التعبير λ هو متوسط العدد المقابل لحدوث الحدث لكل وحدة زمنية ، و x هو عدد مرات حدوث الحدث. وظيفة الكتلة الاحتمالية لها هي: بعد ذلك ، رسم بياني يمثل دالة الكتلة الاحتمالية لقيم مختلفة لمعلمات توزيع بواسون. لاحظ أنه طالما أن عدد النجاحات منخفض وكان عدد الاختبارات التي أجريت في توزيع ذي حدين مرتفعًا ، فيمكننا دائمًا تقريب هذه التوزيعات ، نظرًا لأن توزيع Poisson هو الحد الأقصى للتوزيع ذي الحدين.. الفرق الرئيسي بين هاتين التوزيعتين هو أنه بينما يعتمد الحدين على معلمتين - n و p - ، يعتمد Poisson فقط على λ ، والتي تسمى أحيانًا كثافة التوزيع. حتى الآن لم نتحدث إلا عن توزيعات الاحتمال للحالات التي تكون فيها التجارب المختلفة مستقلة عن بعضها البعض ؛ وهذا هو ، عندما لا تتأثر نتيجة واحدة من بعض النتائج الأخرى. عندما تحدث حالة وجود تجارب غير مستقلة ، يكون التوزيع الهندسي الفائق مفيدًا للغاية. دع N هو العدد الإجمالي للكائنات في مجموعة محددة ، والتي يمكننا من خلالها تحديد k من هذه الأشياء بطريقة أو بأخرى ، لتشكيل مجموعة فرعية K ، والتي يتكون تكميلها من العناصر المتبقية N-k. إذا قمنا باختيار كائنات n عشوائياً ، فإن المتغير العشوائي X الذي يمثل عدد الكائنات التي تنتمي إلى K في تلك الانتخابات له توزيع فائق هندسي للمعلمات N و n و k. وظيفة الكتلة الاحتمالية لها هي: يمثل الرسم البياني التالي كتلة دالة الاحتمال لقيم مختلفة لمعلمات التوزيع الهندسي الفائق. افترض أن احتمال عمل أنبوب راديوي (وضع في نوع معين من المعدات) لأكثر من 500 ساعة هو 0.2. إذا تم اختبار 20 أنبوبًا ، فما هو احتمال أن تعمل k بالضبط من هذه الأنابيب لأكثر من 500 ساعة ، k = 0 ، 1،2 ، ... ، 20? إذا كان X هو عدد الأنابيب التي تعمل أكثر من 500 ساعة ، فسوف نفترض أن X لها توزيع ذو حدين. ثم و هكذا: بالنسبة إلى k≥11 ، الاحتمالات أقل من 0.001 لذلك يمكننا أن نرى كيف ترتفع احتمالية أن تعمل هذه k لأكثر من 500 ساعة ، حتى تصل إلى أقصى قيمة لها (مع k = 4) ثم تبدأ في الانخفاض. ألقيت عملة 6 مرات. عندما تكون النتيجة باهظة الثمن ، سنقول إنها ناجحة. ما هو احتمال ظهور وجهين بالضبط? في هذه الحالة ، لدينا n = 6 وكل من احتمالية النجاح والفشل هي p = q = 1/2 لذلك ، فإن احتمال ظهور وجهين (أي k = 2) هو ما هو احتمال العثور على أربعة وجوه على الأقل? لهذه الحالة لدينا أن ك = 4 أو 5 أو 6 لنفترض أن 2٪ من المواد المنتجة في المصنع معيبة. أوجد الاحتمال P بوجود ثلاثة عناصر معيبة في عينة مكونة من 100 عنصر. في هذه الحالة ، يمكننا تطبيق التوزيع ذي الحدين على n = 100 و p = 0.02 ، والحصول على نتيجة لذلك: ومع ذلك ، نظرًا لأن p صغيرة ، فإننا نستخدم تقريب Poisson مع λ = np = 2. هكذا,
نوع
توزيع موحد على نقاط n
توزيع ذو الحدين
توزيع بواسون
توزيع Hypergeometric
تمارين حلها
التمرين الأول
حل
التمرين الثاني
حل
التمرين الثالث
حل
التمرين الثالث
حل
مراجع