طريقة تقسيم الاصطناعية وتمارين حلها

ال تقسيم الاصطناعية إنها طريقة بسيطة لتقسيم متعدد الحدود P (x) على أي من النموذج d (x) = x - c. إنها أداة مفيدة للغاية لأنه ، بالإضافة إلى السماح لنا بتقسيم كثير الحدود ، فإنه يسمح لنا أيضًا بتقييم متعدد الحدود P (x) في أي رقم c ، والذي بدوره يخبرنا بدقة ما إذا كان هذا الرقم هو صفر أم لا من متعدد الحدود.

بفضل خوارزمية القسمة ، نعلم أنه إذا كان لدينا كثير الحدود ف (س) و د (س) ليست ثابتة ، هناك كثيرات الحدود ف (س) و ص (س) فريدة من نوعها بحيث يكون صحيحًا أن P (x) = q (x) d (x) + r (x) ، حيث r (x) تساوي صفرًا أو أقل من q (x). تُعرف كثيرات الحدود هذه بالكمية الباقية والبقايا أو الراحة على التوالي.

في الحالات التي يكون فيها متعدد الحدود d (x) من النموذج x-c ، يعطينا التقسيم الصناعي طريقة قصيرة للعثور على من هم q (x) و r (x).

مؤشر

• 1 طريقة تقسيم الاصطناعية
• 2 تمارين حلها
  • 2.1 مثال 1
  • 2.2 مثال 2
  • 2.3 مثال 3
  • 2.4 مثال 4
• 3 المراجع

طريقة تقسيم الاصطناعية

دع P (x) = أ_نس^ن+إلى_{ن 1}س^{ن 1}+... +₁س + أ₀ كثير الحدود نريد أن نقسمه و d (x) = x-c المقسوم عليه. للتقسيم على طريقة التقسيم الصناعي ، نواصل ما يلي:

1- نكتب معاملات P (x) في الصف الأول. إذا لم تظهر أي قوة لـ X ، فإننا نضع الصفر كمعامل لها.

2- في الصف الثاني ، على يسار_ن ضع c ، ورسم خطوط القسمة كما هو موضح في الشكل التالي:

3- نخفض المعامل الرائدة إلى الصف الثالث.

في هذا التعبير ب_{ن 1}= أ_ن

4- نضاعف c بالمعامل الرئيسي b_{ن 1} والنتيجة مكتوبة في الصف الثاني ، ولكن عمود على اليمين.

5- نضيف العمود الذي كتبنا فيه النتيجة السابقة والنتيجة التي وضعناها تحت هذا المبلغ ؛ هذا هو ، في نفس العمود ، الصف الثالث.

عن طريق إضافة ، لدينا نتيجة لذلك_{ن 1}+ج * ب_{ن 1}, التي للراحة سوف نسميه ب_{ن 2}

6- نضرب c بالنتيجة السابقة ونكتب النتيجة على يمينها في الصف الثاني.

7- نكرر الخطوتين 5 و 6 حتى نصل إلى المعامل أ₀.

8- اكتب الجواب وهذا هو ، حاصل البقايا والبقايا. نظرًا لأننا نقوم بتقسيم متعدد الحدود من الدرجة n بين متعدد الحدود من الدرجة 1 ، لدينا هذا الحد الخطير من الدرجة n-1.

ستكون معامِلات الحدود القصوى لعدد الأرقام في الصف الثالث باستثناء الأخير ، والذي سيكون متعدد الحدود المتبقي أو ما تبقى من القسمة.

تمارين حلها

مثال 1

نفذ القسمة التالية بطريقة التقسيم الاصطناعية:

(خ⁵+3X⁴-7X³+2X²-8x + 1): (× + 1).

حل

أولاً نكتب معاملات الأرباح كما يلي:

ثم نكتب c على الجانب الأيسر ، في الصف الثاني ، مع خطوط التقسيم. في هذا المثال ج = -1.

نحن خفض معامل الرائدة (في هذه الحالة ب_{ن 1} = 1) واضربه في -1:

نكتب نتيجتك إلى اليمين في الصف الثاني ، كما هو موضح أدناه:

نضيف الأرقام في العمود الثاني:

نقوم بضرب 2 ب -1 وكتابة النتيجة في العمود الثالث ، الصف الثاني:

نضيف في العمود الثالث:

نمضي بشكل مماثل حتى نصل إلى العمود الأخير:

وبالتالي ، لدينا أن الرقم الأخير الذي تم الحصول عليه هو بقية القسمة ، والأرقام المتبقية هي معاملات كثير الحدود. هذا مكتوب على النحو التالي:

إذا كنا نريد التحقق من أن النتيجة صحيحة ، فهذا يكفي للتحقق من استيفاء المعادلة التالية:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

حتى نتمكن من التحقق من أن النتيجة التي تم الحصول عليها صحيحة.

مثال 2

أداء التقسيم المقبل من كثيرات الحدود من خلال طريقة تقسيم الاصطناعية

(7X³-س + 2): (س + 2)

حل

في هذه الحالة ، لدينا المصطلح x² لا يظهر ، لذلك سنكتب 0 كمعامل لها. لذلك ، فإن كثير الحدود سيكون مثل 7X³+0X²-س + 2.

نكتب معاملاتهم على التوالي ، وهذا هو:

نكتب قيمة C = -2 إلى الجانب الأيسر في الصف الثاني ونرسم خطوط القسمة.

نحن خفض معامل الرائدة ب_{ن 1} = 7 ونضربها في -2 ، ونكتب نتيجتها في الصف الثاني على اليمين.

نضيف ونواصل كما هو موضح سابقًا ، حتى نصل إلى الفصل الأخير:

في هذه الحالة ، يكون الباقي هو r (x) = - 52 والحاصل عليها هو q (x) = 7x²-14x + 27.

مثال 3

هناك طريقة أخرى لاستخدام التقسيم الصناعي وهي: نفترض أن لدينا كثير الحدود P (x) من الدرجة n ونريد أن نعرف ما هي القيمة عند تقييمها في x = c.

من خلال خوارزمية التقسيم ، يمكننا كتابة كثير الحدود P (x) بالطريقة التالية:

في هذا التعبير ، q (x) و r (x) هما حاصل الباقي والباقي ، على التوالي. الآن ، إذا كانت d (x) = x- c ، عند التقييم في c في كثير الحدود ، نجد ما يلي:

لهذا نحتاج فقط إلى إيجاد r (x) ، وهذا يمكننا القيام به بفضل الانقسام الصناعي.

على سبيل المثال ، لدينا كثير الحدود P (x) = x⁷-9X⁶+19x⁵+12X⁴-3X³+19x²-37x-37 ونريد أن نعرف ما هي قيمته عند تقييمه في x = 5. لهذا نقوم بتنفيذ التقسيم بين P (x) و d (x) = x -5 بواسطة طريقة التقسيم الصناعي:

بمجرد الانتهاء من العمليات ، نعلم أنه يمكننا كتابة P (x) بالطريقة التالية:

P (x) = (x⁶-4X⁵ -س⁴+ 7X³ +32X² +179x + 858) * (x-5) + 4253

لذلك ، عند تقييمه ، يجب علينا:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

كما نرى ، من الممكن استخدام التقسيم الصناعي لإيجاد قيمة كثير الحدود عند تقييمه في c بدلاً من استبدال c بـ x. 

إذا حاولنا تقييم P (5) بالطريقة التقليدية ، فسنحتاج إلى إجراء بعض الحسابات التي تميل إلى أن تصبح مملة.

مثال 4

يتم أيضًا تنفيذ خوارزمية تقسيم الحدود متعددة الحدود بالنسبة للعديد الحدود مع المعاملات المعقدة ، ونتيجة لذلك ، لدينا طريقة تقسيم الاصطناعية تعمل أيضًا مع الحدود متعددة الحدود المذكورة. التالي سنرى مثالا.

سوف نستخدم طريقة التقسيم الصناعي لإظهار أن z = 1+ 2i هي صفر من كثير الحدود P (x) = x³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) × + (15 + 5i) ؛ أي أن باقي القسمة P (x) بين d (x) = x - z تساوي الصفر.

نمضي كما كان من قبل: في الصف الأول نكتب معاملات P (x) ، ثم في الثاني نكتب z ونرسم خطوط التقسيم.

حققنا الانقسام كما كان من قبل. هذا هو:

يمكننا أن نرى أن البقايا هي صفر. لذلك ، نستنتج أن ، z = 1+ 2i هي صفر من P (x).

مراجع

1. بالدور أوريليو. علم الجبر. مجموعة التحرير باتريا.
2. Demana ، ينتظر ، فولي وكينيدي. Precalculus: الرسم البياني ، العددية ، جبري التعليم السابع بيرسون.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra and علم المثلثات مع الهندسة التحليلية. برنتيس هول
4. مايكل سوليفان. precalculus 4th Ed. بيرسون التعليم.
5. الأحمر. أرماندو يا. الجبر 1 6th إد. الأثينيوم.