قوانين الأسس (مع أمثلة وتمارين تم حلها)

ال قوانين الأسس هي تلك التي تنطبق على هذا الرقم والتي تشير إلى عدد المرات التي يجب فيها ضرب الرقم الأساسي بمفرده. تُعرف الأسس أيضًا بالسلطات. التقوية هي عملية رياضية تتكون من قاعدة (أ) ، الأس (م) والقوة (ب) ، والتي هي نتيجة العملية.

يتم استخدام الأس بشكل عام عند استخدام كميات كبيرة جدًا ، لأنها ليست أكثر من اختصارات تمثل ضرب هذا العدد نفسه عدة مرات. يمكن أن يكون الأسس إيجابيا وسلبيا.

مؤشر

• 1 شرح قوانين الأس
  • 1.1 القانون الأول: قوة الأس تساوي 1
  • 1.2 القانون الثاني: قوة الأس تساوي 0
  • 1.3 القانون الثالث: الأس السلبي
  • 1.4 القانون الرابع: مضاعفة الصلاحيات على قدم المساواة
  • 1.5 القانون الخامس: تقسيم السلطات على قدم المساواة
  • 1.6 القانون السادس: مضاعفة الصلاحيات بقاعدة مختلفة
  • 1.7 القانون السابع: تقسيم السلطات مع قاعدة مختلفة
  • 1.8 القانون الثامن: قوة السلطة
  • 1.9 القانون التاسع: الأس الجزئي
• 2 تمارين حلها
  • 2.1 التمرين 1
  • 2.2 التمرين 2
• 3 المراجع

شرح قوانين الأس

كما ذُكر سابقًا ، فإن الأس هو شكل مختصر يمثل ضرب الأرقام بأنفسهم عدة مرات ، حيث يرتبط الأس فقط بالرقم الموجود على اليسار. على سبيل المثال:

2³ = 2 * 2 * 2 = 8

في هذه الحالة ، يكون الرقم 2 هو أساس القوة ، والذي سيتم ضربه 3 مرات كما هو محدد بواسطة الأس ، الموجود في الركن الأيمن العلوي من القاعدة. هناك طرق مختلفة لقراءة التعبير: 2 مرفوع إلى 3 أو 2 مرفوع إلى المكعب.

يشير الأسس أيضًا إلى عدد المرات التي يمكن فيها تقسيمهم ، ولتمييز هذه العملية عن الضرب ، يحمل الأس علامة ناقص (-) أمامها (سالبة) ، مما يعني أن الأس هو في مقام الكسر. على سبيل المثال:

2^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

لا ينبغي الخلط بينه وبين الحالة التي تكون فيها القاعدة سالبة ، حيث إنها ستعتمد على ما إذا كان الأس هو غريب أو غريب لتحديد ما إذا كانت القوة ستكون إيجابية أم سلبية. لذلك عليك أن:

- إذا كان الأس ، ستكون القوة إيجابية. على سبيل المثال:

(-7)² = -7 _* -7 = 49.

- إذا كان الأس أمرًا غريبًا ، فستكون القوة سالبة. على سبيل المثال:

(-2)⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

هناك حالة خاصة حيث إذا كان الأس يساوي 0 ، فإن القوة تساوي 1. هناك أيضًا احتمال أن تكون القاعدة هي 0 ؛ في هذه الحالة ، اعتمادًا على المكشوف ، ستكون الطاقة غير محددة أم لا.

لتنفيذ عمليات رياضية مع الأسس ، من الضروري اتباع العديد من القواعد أو القواعد التي تسهل العثور على حل لهذه العمليات.

القانون الأول: قوة الأس تساوي 1

عندما يكون الأس 1 ستكون النتيجة هي نفس قيمة الأساس: أ¹ = أ.

أمثلة

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

القانون الثاني: قوة الأس تساوي 0

عندما يكون الأس هو 0 ، إذا كانت القاعدة غير صفرية ، فستكون النتيجة: ،⁰ = 1.

أمثلة

1⁰ = 1.

323⁰= 1.

1095⁰ = 1.

القانون الثالث: الأس السلبي

بما أن exponte سالبة ، ستكون النتيجة جزءًا صغيرًا ، حيث ستكون القوة هي المقام. على سبيل المثال ، إذا كانت m موجبة ،^-م = 1 / أ^م.

أمثلة

- 3^-1 = 1/3.

- 6^-2 = 1/6² = 1/36.

- 8^-3 = 1/8³ = 1/512.

القانون الرابع: مضاعفة الصلاحيات على قدم المساواة

لمضاعفة القوى التي تكون فيها القواعد متساوية ومختلفة عن 0 ، تتم المحافظة على القاعدة وتتم إضافة الأس: أ^م _* إلى^ن = أ^{م + ن}.    

أمثلة

- 4⁴_* 4³ = 4^{4 + 3} = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8^{1 + 4} = 8⁵

- 2² _* 2⁹ = 2^{2 + 9} = 2¹¹

القانون الخامس: تقسيم السلطات على قدم المساواة

لتقسيم الصلاحيات التي تكون فيها القواعد متساوية ومختلفة عن 0 ، يتم الحفاظ على القاعدة ويتم طرح الأسس على النحو التالي:^م / أ^ن = أ^{م ن}.    

أمثلة

- 9² / 9¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9¹.

- 6¹⁵ / 6¹⁰ = 6 ^{(15 - 10)} = 6⁵.

- 49¹² / 49⁶ = 49 ^{(12 - 6)} = 49⁶.

القانون السادس: مضاعفة الصلاحيات بقاعدة مختلفة

في هذا القانون لدينا عكس ما يعبر عنه في الرابع ؛ أي إذا كانت هناك قواعد مختلفة ولكن مع الأسس ، يتم مضاعفة القواعد ويتم الحفاظ على الأس:^م _* ب^م = (أ)_*ب) ^م.

أمثلة

- 10² _* 20² = (10 _* 20)² = 200².

- 45¹¹_* 9¹¹ = (45 * 9)^{11 =} 405¹¹.

هناك طريقة أخرى لتمثيل هذا القانون عندما يتم رفع الضرب إلى سلطة. وبالتالي ، فإن الأس ينتمي إلى كل من الشروط: (أ_*ب)^م= أ^م_* ب^م.

أمثلة

- (5_*8)⁴ = 5⁴_* 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶_* 7⁶ = 161⁶.

القانون السابع: تقسيم السلطات بقاعدة مختلفة

إذا كانت هناك قواعد مختلفة ولكن مع الأسس ، يتم تقسيم القواعد والحفاظ على الأس: أ^م / ب^م = (أ / ب)^م.

أمثلة

- 30³ / 2³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5.5⁴.

وبالمثل ، عندما يتم رفع القسمة إلى قوة ، ينتمي الأس إلى كل من المصطلحات: (أ / ب) ^م = أ^م / ب^م.

أمثلة

- (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25.05)² = 25² / 5² = 5².

هناك حالة يكون فيها الأس سالبًا. لذلك ، لكي تكون قيمة البسط مقلوبة مع قيمة المقام ، بالطريقة التالية:

- (أ / ب)^-ن = (ب / أ)^ن = ب^ن / أ^ن.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

القانون الثامن: قوة السلطة

عندما يكون لديك قوة مرفوعة إلى قوة أخرى - أي الأسين في نفس الوقت - ، يتم الحفاظ على القاعدة ويتضاعف الأس:^م)^ن= أ^{م *ن}.

أمثلة

- (8³)² = 8 ^{(3 * 2)} = 8⁶.

- (13⁹)³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13²⁷.

- (238¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

القانون التاسع: الأس الجزئي

إذا كان للكسر كسرة ، يتم حلها عن طريق تحويلها إلى جذر nth ، حيث يظل البسط بمثابة الأس ويمثل المقام فهرس الجذر:

تمارين حلها

التمرين 1

احسب العمليات بين القوى التي لها قواعد مختلفة:

2⁴_* 4⁴ / 8².

حل

عند تطبيق قواعد الأسس ، في البسط ، يتم ضرب القواعد والحفاظ على الأس ، مثل هذا:

2⁴_* 4⁴ / 8²= (2_*4)⁴ / 8²  = 8⁴ / 8²

الآن ، نظرًا لأن لدينا نفس القواعد ولكن مع الأسس المختلفة ، يتم الحفاظ على القاعدة ويتم طرح الأسس:

 8⁴ / 8² = 8^{(4 - 2)} = 8²

التمرين 2

احسب العمليات بين القوى العليا لسلطة أخرى:

(3²)³_* (2 _* 6⁵)^-2_* (2²)³

حل

بتطبيق القوانين ، عليك:

(3²)³_* (2 _* 6⁵)^-2_* (2²)³

= 3⁶_* 2^-2_* 2^-10 _* 2⁶

= 3⁶_* 2^{(-2) + (- 10)} _* 2⁶

= 3⁶ _*  2^-12_* 2⁶

= 3⁶ _* 2^{(-12) + (6)}

= 3⁶ _* 2⁶

= (3_*2)⁶

= 6⁶

= 46656

مراجع

1. Aponte، G. (1998). أساسيات الرياضيات الأساسية. بيرسون التعليم.
2. كوربالان ، ف. (1997). تطبق الرياضيات على الحياة اليومية.
3. Jiménez، J. R. (2009). الرياضيات 1 سبتمبر.
4. ماكس بيترز ، و.ل. (1972). الجبر وعلم المثلثات.
5. ريس ، بي. ك. (1986). Reverte.