قوانين مورغان

لعيون مورغان هي قواعد الاستدلال المستخدمة في المنطق الافتراضي ، والتي تحدد ما هو نتيجة الحرمان من الانفصال وتزامن المقترحات أو المتغيرات المقترحة. تم تعريف هذه القوانين من قبل عالم الرياضيات أوجستس دي مورغان.

تمثل قوانين مورغان أداة مفيدة للغاية لإثبات صحة التفكير الرياضي. في وقت لاحق تم تعميمها في مفهوم مجموعات من قبل عالم الرياضيات جورج بول.

هذا التعميم الذي صممه بول يعادل تماماً قوانين مورجان الأولية ، لكنه تم تطويره خصيصًا للمجموعات وليس للمقترحات. يُعرف هذا التعميم أيضًا باسم قوانين مورغان.

مؤشر

• 1 مراجعة المنطق الإفتراضي
  • 1.1 مغالطة
  • 1.2 المقترحات
• 2 قوانين مورغان
  • 2.1 مظاهرة
• 3 مجموعات
  • 3.1 الاتحاد ، تقاطع ويكمل مجموعات
• 4 قوانين مورغان للمجموعات
• 5 المراجع

مراجعة المنطق الإفتراضي

قبل النظر في ماهية قوانين مورغان على وجه التحديد وكيفية استخدامها ، من المريح تذكر بعض المفاهيم الأساسية للمنطق الإفتراضي. (لمزيد من التفاصيل ، انظر مقال المنطق المنطقي).

في مجال المنطق الرياضي (أو الإفتراضي) ، الاستنتاج هو استنتاج ينبعث من مجموعة من الفرضيات أو الفرضيات. هذا الاستنتاج ، جنبا إلى جنب مع الأماكن المذكورة ، يؤدي إلى ما يعرف باسم التفكير الرياضي.

يجب أن يكون هذا المنطق قادراً على إثباته أو رفضه ؛ وهذا يعني أن ليست كل الاستنتاجات أو الاستنتاجات في التفكير الرياضي صالحة.

مغالطة

يُعرف الاستنتاج الخاطئ المنبعث من بعض الافتراضات التي يُفترض أنها حقيقية بأنها مغالطة. المغالطات لها خصوصية كونها حجج تبدو صحيحة ، لكنها غير صحيحة من الناحية الرياضية.

منطق الاقتراح هو المسؤول عن التطوير الدقيق وتوفير الأساليب التي يمكن من خلالها لأي شخص ، دون أي غموض ، التحقق من صحة أو دحض المنطق الرياضي ؛ وهذا يعني استنتاج صالح من أماكن العمل. تُعرف هذه الأساليب بقواعد الاستدلال ، والتي تعتبر قوانين مورغان جزءًا منها.

المقترحات

العناصر الأساسية للمنطق الافتراضي هي الافتراضات. المقترحات عبارة عن عبارات يمكن لأي شخص أن يقول ما إذا كانت صالحة أم لا ، لكن لا يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة في نفس الوقت. لا ينبغي أن يكون هناك غموض في هذه المسألة.

مثلما يمكن دمج الأرقام من خلال عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة ، يمكن تشغيل المقترحات عن طريق منطقية الاتصال (أو الموصلات) المعروفة: النفي (¬ ، "لا") ، الفصل (V) ، "O") ، بالتزامن (Ʌ ، "و") ، الشرطية (→ ، "if ... ، then ...") وشرط (↔ ، "نعم ، وفقط إذا").

للعمل بشكل أعم ، بدلاً من النظر في مقترحات محددة ، فإننا نعتبر المتغيرات المقترحة التي تمثل أي مقترحات ، وعادةً ما تتم الإشارة إليها بأحرف صغيرة p ، q ، r ، s ، إلخ..

الصيغة المقترحة عبارة عن مزيج من المتغيرات المقترحة من خلال بعض من المنطقي الضام. بمعنى آخر ، إنها تركيبة متغيرات افتراضية. وعادة ما يشار إليها بالحروف اليونانية.

يقال إن الصيغة المقترحة تتضمن منطقًا صيغة أخرى عندما تكون الأخيرة صحيحة في كل مرة تكون فيها الصيغة الأولى صحيحة. هذا يدل عليه:

عندما يكون التضمين المنطقي بين الصيغتين المقترحتين متبادلاً - أي عندما يكون التضمين السابق صالحًا أيضًا في الاتجاه المعاكس - يقال إن الصيغ مكافئة منطقيًا ، ويتم الإشارة إليها بواسطة

التكافؤ المنطقي هو نوع من المساواة بين الصيغ المقترحة ويسمح باستبدال أحدهما للآخر عند الضرورة.

قوانين مورغان

تتكون قوانين مورغان من معادلين منطقيين بين شكلين افتراضيين ، هما:

تسمح هذه القوانين بالفصل بين نفي الفصل أو الاقتران ، كإنكار للمتغيرات المعنية.

يمكن قراءة الأول على النحو التالي: إنكار الانقسام يساوي اقتران النفي. والثاني يقرأ مثل هذا: إن نفي بالتزامن هو انفصال النفي.

بمعنى آخر ، إن رفض انفصال اثنين من المتغيرات الافتراضية يعادل تعادل نفي كلا المتغيرين. وبالمثل ، فإن رفض الجمع بين متغيرين مفترضين يعادل معادلة نفي كلا المتغيرين.

كما ذكرنا سابقًا ، فإن استبدال هذا التكافؤ المنطقي يساعد في إظهار النتائج المهمة ، إلى جانب قواعد الاستدلال الأخرى القائمة. مع هذه يمكنك تبسيط العديد من الصيغ المقترحة ، بحيث تكون أكثر فائدة للعمل.

فيما يلي مثال لإثبات رياضي يستخدم قواعد الاستدلال ، من بين قوانين مورغان هذه. على وجه التحديد ، يظهر أن الصيغة:

تعادل:

هذا الأخير هو أكثر بساطة لفهم وتطوير.

عرض

تجدر الإشارة إلى أنه يمكن إثبات صحة قوانين مورغان رياضيا. طريقة واحدة هي من خلال مقارنة الجداول الحقيقة الخاصة بك.

مجموعات

يمكن أيضًا تطوير نفس قواعد الاستدلال ومفاهيم المنطق المطبقة على المقترحات. هذا ما يعرف باسم الجبر المنطقي ، بعد عالم الرياضيات جورج بول.

للتمييز بين الحالات ، من الضروري تغيير الترميز ونقله إلى مجموعات ، وجميع المفاهيم التي رأيناها بالفعل للمنطق المقترح.

مجموعة هي مجموعة من الكائنات. يتم الرمز للمجموعات بأحرف كبيرة A و B و C و X و ... ويتم تعيين عناصر المجموعة بأحرف صغيرة a و b و c و x ، إلخ. عندما ينتمي عنصر a إلى مجموعة X ، تتم الإشارة إليه بواسطة:

عندما لا تنتمي إلى X ، يكون الرمز هو:

طريقة تمثيل المجموعات هي وضع عناصرها داخل المفاتيح. على سبيل المثال ، يتم تمثيل مجموعة الأرقام الطبيعية بواسطة:

يمكن أيضًا تمثيل المجموعات دون كتابة قائمة صريحة بعناصرها. يمكن التعبير عنها في النموذج :. تتم قراءة النقطتين "بحيث". يتم وضع متغير يمثل عناصر المجموعة على يسار النقطتين ، ويتم وضع الخاصية أو الشرط الذي يرضيانه على الجانب الأيمن. هذا هو:

على سبيل المثال ، يمكن التعبير عن مجموعة الأعداد الصحيحة أكبر من -4 على النحو التالي:

أو ما يعادلها ، وأكثر اختصارا ، على النحو التالي:

وبالمثل ، فإن التعبيرات التالية تمثل مجموعات الأرقام الفردية والزوجية ، على التوالي:

الاتحاد ، تقاطع ويكمل مجموعات

بعد ذلك ، سنرى نظائر الاتصال المنطقي في حالة المجموعات ، والتي تعد جزءًا من العمليات الأساسية بين المجموعات.

الاتحاد والتقاطع

يتم تعريف الاتحاد وتقاطع المجموعات ، على التوالي ، بالطريقة التالية:

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المجموعات:

ثم ، عليك:

تكملة

يتم تكوين مجموعة من العناصر التي لا تنتمي إلى هذه المجموعة (من نفس النوع الذي يمثله الأصلي). يشار إلى مجموعة من A ، من قبل:

على سبيل المثال ، ضمن الأعداد الطبيعية ، تكون مجموعة الأرقام الزوجية مكملة للأعداد الفردية والعكس صحيح.

لتحديد تكملة مجموعة ما ، يجب أن يكون واضحًا من البداية المجموعة الشاملة أو الرئيسية من العناصر التي يتم النظر فيها. على سبيل المثال ، لا يساوي النظر في مجموعة من الأعداد الطبيعية الموجودة على الأعداد المنطقية.

يوضح الجدول التالي العلاقة أو التشابه الموجود بين العمليات في مجموعات محددة مسبقًا ، وتلك المرتبطة في المنطق المقترح:

قوانين مورغان للمجموعات

أخيرًا ، قوانين مورغان بشأن المجموعات هي:

بمعنى: تكملة الاتحاد هي تقاطع المكملات ، ومكمل التقاطع هو اتحاد المكملات.

والدليل الرياضي للمساواة الأولى سيكون كما يلي:

مظاهرة الثاني هو مماثل.

مراجع

1. ألماغير ، ج. (2002). الرياضيات 1. التحرير ليموزا.
2. أيلوين ، سي يو (2011). المنطق ، مجموعات والأرقام. ميريدا - فنزويلا: مجلس المنشورات ، جامعة لوس أنديس.
3. Barrantes، H.، Diaz، P.، Murillo، M.، & Soto، A. (1998). مقدمة في نظرية الأعداد. EUNED.
4. كاستانيدا ، س. (2016). دورة أساسية في نظرية الأعداد. جامعة الشمال.
5. Cofré، A.، & Tapia، L. (1995). كيفية تطوير التفكير المنطقي الرياضي. افتتاحية الجامعة.
6. جيفارا ، م. ه.. نظرية الأعداد. EUNED.
7. سرقسطة ، أ.. نظرية الأعداد. كتب الرؤية الافتتاحية.