تم شرح نظرية بولزانو وتطبيقاتها وتمارينها

ال نظرية بولزانو يثبت أنه إذا كانت الوظيفة مستمرة في جميع نقاط الفاصل المغلق [أ ، ب] وأنها مقتنعة بأن صورة "أ" و "ب" (تحت الوظيفة) لها علامات معاكسة ، فستكون هناك نقطة واحدة على الأقل "C" في الفاصل الزمني المفتوح (a ، b) ، بحيث تكون الوظيفة التي تم تقييمها في "c" تساوي 0.

أعلن هذا الفيلسوف ، عالم اللاهوت والرياضيات برنارد بولزانو عام 1850. كان هذا العالم ، الذي ولد في الجمهورية التشيكية الحالية ، أحد أوائل علماء الرياضيات في التاريخ لتقديم عرض رسمي لخصائص الوظائف المستمرة.

مؤشر

• 1 التفسير
• 2 مظاهرة
• 3 ما هذا؟?
• 4 تمارين حلها
  • 4.1 التمرين 1
  • 4.2 التمرين 2
• 5 المراجع

تفسير

تُعرف نظرية بولزانو أيضًا باسم نظرية القيم الوسيطة ، والتي تساعد في تحديد قيم معينة ، وخاصة الأصفار ، لوظائف حقيقية معينة لمتغير حقيقي.

في دالة معينة ، يستمر f (x) ، أي أن f (a) و f (b) متصلان بمنحنى ، حيث f (a) أسفل المحور x (سالب) ، و f (b) أعلى المحور س (يكون موجبًا) ، أو العكس ، ستكون هناك نقطة قطع على المحور س تمثل قيمة وسيطة "c" ، والتي ستكون بين "a" و "b" ، وقيمة f (c) سوف يساوي 0.

من خلال التحليل النظري لنظرية بولزانو ، يمكننا أن نعرف أنه لكل دالة f مستمر محدد في فاصل زمني [أ ، ب] ، حيث f (a)_*f (b) أقل من 0 ، سيكون هناك جذر واحد على الأقل من هذه الوظيفة داخل الفاصل الزمني (a ، b).

لا تحدد هذه النظرية عدد النقاط الموجودة في هذه الفترة الزمنية المفتوحة ، وتنص فقط على أن هناك نقطة واحدة على الأقل.

عرض

لإثبات نظرية بولزانو ، يفترض دون فقدان للعمومية أن f (a) < 0 y f(b) > 0؛ بهذه الطريقة ، قد يكون هناك العديد من القيم بين "a" و "b" والتي f (x) = 0 ، ولكن عليك فقط إثبات وجود واحد.

ابدأ بتقييم f عند نقطة المنتصف (a + b) / 2. إذا كانت f ((a + b) / 2) = 0 ، ينتهي الاختبار هنا ؛ خلاف ذلك ، ثم f ((a + b) / 2) موجب أو سالب.

يتم اختيار أحد نصفي الفاصل الزمني [a، b] ، بحيث تكون علامات الدالة التي تم تقييمها في النهايات مختلفة. هذا الفاصل الزمني الجديد سيكون [a1، b1].

الآن ، إذا تم تقييم f عند نقطة المنتصف لـ [a1 ، b1] ليست صفرية ، فسيتم تنفيذ نفس العملية كما كان من قبل أي ، يتم اختيار نصف هذا الفاصل الزمني الذي يفي بشرط العلامات. كن هذا الفاصل الزمني الجديد [a2، b2].

إذا استمرت هذه العملية ، فسيتم اتخاذ تسلسلين an و bn ، بحيث:

an آخذ في الازدياد و bn آخذ في التناقص:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ مليار ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

إذا قمت بحساب طول كل فاصل زمني [ai ، bi] ، فسيتعين عليك:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2 ².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

لذلك ، فإن الحد عندما يميل n إلى ما لا نهاية (bn-an) يساوي 0.

باستخدام ذلك an يتزايد ويحد ، bn يتناقص ويحد ، يجب أن يكون هناك قيمة "c" بحيث:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ مليار ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

حد a هو "c" والحد الأقصى bn هو أيضا "c". لذلك ، نظرًا لأي δ> 0 ، يوجد دائمًا "n" بحيث يتم تضمين الفاصل الزمني [an، bn] ضمن الفاصل الزمني (c-δ، c + δ).

الآن ، يجب أن يظهر أن f (c) = 0.

إذا كانت f (c)> 0 ، إذا كانت f مستمرة ، فهناك an> 0 بحيث تكون f موجبة طوال الفترة (c-ε، c + ε). ومع ذلك ، كما هو مذكور أعلاه ، توجد قيمة "n" بحيث تشير التغييرات f إلى تسجيل الدخول [an، bn] وبالإضافة إلى ذلك ، [an، bn] موجودة داخل (c-ε، c + ε)، ما هو التناقض.

إذا كانت f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 بحيث تكون f سالبة طوال الفترة (c-ε، c + ε)؛ ولكن توجد قيمة "n" بحيث تسجل f التغييرات في [an، bn]. اتضح أن [an، bn] موجود داخل (c-ε، c + ε) ، وهو أيضًا تناقض.

لذلك ، f (c) = 0 وهذا ما أردنا إظهاره.

ما هذا؟?

من تفسيرها الرسومي ، تُستخدم نظرية بولزانو للعثور على الجذور أو الأصفار في وظيفة مستمرة ، من خلال التنصيص (التقريب) ، وهي طريقة بحث تزايدي تقسم الفواصل الزمنية دائمًا إلى 2.

ثم خذ فاصل زمني [أ ، ج] أو [ج ، ب] حيث يحدث تغيير الإشارة ، وكرر العملية حتى يصبح الفاصل أصغر وأصغر ، بحيث يمكنك الاقتراب من القيمة التي تريدها ؛ بمعنى ، القيمة التي تجعل الدالة 0.

باختصار ، لتطبيق نظرية بولزانو وبالتالي العثور على الجذور ، وتحديد الأصفار لوظيفة أو إعطاء حل للمعادلة ، يتم تنفيذ الخطوات التالية:

- يتم التحقق منه إذا كانت f هي وظيفة مستمرة في الفاصل الزمني [a، b].

- إذا لم يتم إعطاء الفاصل الزمني ، يجب العثور على واحد حيث تكون الوظيفة مستمرة.

- يتم التحقق منه إذا كانت الأطراف الفاصلة تعطي علامات عكسية عند تقييمها في ص.

- إذا لم يتم الحصول على علامات معاكسة ، فيجب تقسيم الفاصل الزمني إلى فترتين فرعيتين باستخدام نقطة المنتصف.

- قم بتقييم الوظيفة عند نقطة المنتصف وتحقق من تلبية فرضية بولزانو ، حيث f (a) _* و (ب) < 0.

- اعتمادًا على علامة (موجبة أو سلبية) للقيمة الموجودة ، يتم تكرار العملية مع فترة فرعية جديدة حتى يتم تحقيق الفرضية المذكورة.

تمارين حلها

التمرين 1

حدد إذا كانت الدالة f (x) = x² - 2 ، لديه حل حقيقي واحد على الأقل في الفاصل الزمني [1،2].

حل

لدينا وظيفة و (س) = س² - 2. لأنه متعدد الحدود ، فهذا يعني أنه مستمر في أي فاصل.

يُطلب منك تحديد ما إذا كان لديك حل حقيقي في الفاصل الزمني [1 ، 2] ، لذا فأنت بحاجة فقط إلى استبدال نهايات الفاصل في الوظيفة لمعرفة علامة هذه النقاط ومعرفة ما إذا كانت تفي بشرط الاختلاف:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (سلبي)

f (2) = 2² - 2 = 2 (إيجابي)

لذلك ، علامة f (1) ≠ علامة f (2).

هذا يضمن أن هناك نقطة واحدة على الأقل "c" تنتمي إلى الفاصل الزمني [1،2] ، حيث f (c) = 0.

في هذه الحالة ، يمكن حساب قيمة "c" بسهولة كما يلي:

س² - 2 = 0

س = ± √2.

وبالتالي ، ينتمي √2 ≈ 1،4 إلى الفاصل الزمني [1،2] ويلبي ذلك f ()2) = 0.

التمرين 2

إثبات أن المعادلة س⁵ + يحتوي x + 1 = 0 على حل حقيقي واحد على الأقل.

حل

لاحظ أولاً أن f (x) = x⁵ + x + 1 هي وظيفة متعددة الحدود ، مما يعني أنها مستمرة في جميع الأرقام الحقيقية.

في هذه الحالة ، لا يتم إعطاء فاصل زمني ، لذلك يجب اختيار القيم بشكل حدسي ، ويفضل أن يكون ذلك بالقرب من 0 ، لتقييم الوظيفة والعثور على التغييرات في علامة:

إذا كنت تستخدم الفاصل الزمني [0 ، 1] عليك:

f (x) = x⁵ + س + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

نظرًا لعدم وجود تغيير في الإشارة ، يتم تكرار العملية بفاصل زمني آخر.

إذا كنت تستخدم الفاصل الزمني [-1 ، 0] ، يجب عليك:

f (x) = x⁵ + س + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

في هذا الفاصل الزمني يوجد تغيير في العلامة: علامة f (-1) ≠ علامة f (0) ، مما يعني أن الدالة f (x) = x⁵ + يحتوي x + 1 على جذر حقيقي واحد على الأقل "c" في الفاصل الزمني [-1 ، 0] ، مثل f (c) = 0. وبعبارة أخرى ، صحيح أن x⁵ + x + 1 = 0 لديه حل حقيقي في الفاصل الزمني [-1،0].

مراجع

1. برونشتين الأول ، س. ك. (1988). دليل الرياضيات للمهندسين والطلاب ... التحرير MIR.
2. جورج ، (1994). الرياضيات والعقل. مطبعة جامعة أكسفورد.
3. Ilín V، P. E. (1991). التحليل الرياضي في ثلاثة مجلدات ...
4. Jesús Gómez، F. G. (2003). معلمي التعليم الثانوي. المجلد الثاني. MAD.
5. Mateos، M. L. (2013). الخصائص الأساسية للتحليل في R. Editores ، 20 ديسمبر.
6. بيسكونوف ، ن. (1980). التفاضل والتكامل حساب التفاضل والتكامل ...
7. Sydsaeter K، H. P. (2005). الرياضيات للتحليل الاقتصادي. فيليكس فاريلا.
8. ويليام هـ. باركر ، ر. هـ. التماثل المستمر: من إقليدس إلى كلاين. جمعية الرياضيات الأمريكية.