نظرية Chebyshov ما الذي يتكون منه ، التطبيقات والأمثلة

ال نظرية تشبيشوف (أو عدم المساواة في Chebyshov) هي واحدة من أهم النتائج الكلاسيكية لنظرية الاحتمال. يسمح بتقدير احتمالية وقوع حدث موصوف من حيث المتغير العشوائي X ، من خلال تزويدنا ببعد لا يعتمد على توزيع المتغير العشوائي ولكن على تباين X.

تمت تسمية النظرية على اسم عالم الرياضيات الروسي Pafnuty Chebyshov (يُكتب أيضًا باسم Chebychev أو Tchebycheff) الذي كان ، على الرغم من عدم كونه أول من أعلن عن هذه النظرية ، أول من قدم عرضًا توضيحيًا في عام 1867.

هذا عدم المساواة ، أو تلك التي تسمى خصائصها Chebyshov عدم المساواة ، ويستخدم أساسا لتقريب الاحتمالات عن طريق حساب الأبعاد.

مؤشر

• 1 ماذا تتكون؟?
• 2 التطبيقات والأمثلة
  • 2.1 احتمالات الربط
  • 2.2 مظاهرة الحد النظريات
  • 2.3 حجم العينة
• 3 عدم المساواة نوع Chebyshov
• 4 المراجع

ماذا تتكون؟?

في دراسة نظرية الاحتمالات يحدث أنه إذا علمنا وظيفة التوزيع لمتغير عشوائي X ، يمكننا حساب قيمته المتوقعة - أو التوقع الرياضي E (X) - والتباين Var (X) ، طالما الكميات المذكورة موجودة. ومع ذلك ، فإن المعاملة بالمثل ليست صحيحة بالضرورة.

بمعنى أن معرفة E (X) و Var (X) لا يمكن بالضرورة الحصول على وظيفة التوزيع لـ X ، لذلك يصعب الحصول على كميات مثل P (| X |> k) لبعض k> 0. لكن بفضل عدم المساواة في Chebyshov ، من الممكن تقدير احتمال المتغير العشوائي.

تخبرنا نظرية Chebyshov بأنه إذا كان لدينا متغير عشوائي X على مساحة عينة S مع دالة الاحتمال p ، وإذا كانت k> 0 ، فعندئذٍ:

التطبيقات والأمثلة

من بين العديد من التطبيقات التي تمتلكها نظرية تشيبيشوف ، يمكن ذكر ما يلي:

يحد من الاحتمالات

هذا هو التطبيق الأكثر شيوعًا ويستخدم لإعطاء حد أعلى لـ P (| X-E (X) | ≥k) حيث k> 0 ، فقط مع التباين وتوقع المتغير العشوائي X ، دون معرفة وظيفة الاحتمال.

مثال 1

افترض أن عدد المنتجات المصنعة في الشركة خلال أسبوع هو متغير عشوائي بمتوسط ​​50.

إذا علمنا أن التباين في أسبوع الإنتاج يساوي 25 ، فماذا يمكن أن نقول عن احتمال أن يختلف الإنتاج في هذا الأسبوع بأكثر من 10 عن المتوسط?

حل

بتطبيق عدم المساواة في Chebyshov علينا:

من هذا يمكننا أن نحصل على أن احتمال تجاوز عدد المقالات في أسبوع الإنتاج أكثر من 10 إلى المتوسط ​​هو 1/4 على الأكثر.

مظاهرة الحد النظريات

يلعب عدم المساواة في تشيبيشوف دورًا مهمًا في عرض نظريات الحد الأكثر أهمية. كمثال لدينا ما يلي:

ضعف قانون الأعداد الكبيرة

ينص هذا القانون على أنه في ظل تسلسل X1 و X2 و ... و Xn و ... للمتغيرات العشوائية المستقلة التي لها نفس متوسط ​​التوزيع E (Xi) = μ والتباين Var (X) = σ², وعينة متوسط ​​معروف من:

ثم من أجل k> 0 عليك:

أو بالتساوي:

عرض

أولاً دعنا نلاحظ ما يلي:

نظرًا لأن X1 و X2 و ... و Xn مستقلة ، يتبع ذلك:

لذلك ، من الممكن تأكيد ما يلي:

ثم ، باستخدام نظرية Chebyshov ، علينا:

أخيرًا ، تنتج النظرية عن حقيقة أن الحد إلى اليمين هو صفر عندما يميل n إلى ما لا نهاية.

تجدر الإشارة إلى أن هذا الاختبار تم فقط للحالة التي يوجد فيها تباين Xi ؛ وهذا هو ، فإنه لا تتباعد. لذلك نلاحظ أن النظرية صحيحة دائمًا في حالة وجود E (Xi).

نظرية Chebyshov الحد

إذا كانت X1 ، X2 ، ... ، Xn ، ... عبارة عن سلسلة متغيرات عشوائية مستقلة بحيث يكون هناك بعض C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

عرض

نظرًا لأن تتابع الفروق مرتبط بشكل موحد ، فلدينا Var (Sn) ≤ C / n ، لكل n الطبيعية. لكننا نعرف أن:

بجعل n تميل نحو اللانهاية ، النتائج التالية:

نظرًا لأن الاحتمال لا يمكن أن يتجاوز قيمة 1 ، يتم الحصول على النتيجة المرجوة. نتيجة لهذه النظرية ، يمكن أن نذكر حالة برنولي المعينة.

إذا تم تكرار التجربة n مرات بشكل مستقل مع نتيجتين محتملتين (الفشل والنجاح) ، حيث p هو احتمال النجاح في كل تجربة و X هو المتغير العشوائي الذي يمثل عدد النجاحات التي تم الحصول عليها ، ثم لكل k> 0 عليك أن:

حجم العينة

من ناحية التباين ، فإن عدم المساواة في Chebyshov يسمح لنا بالعثور على حجم عينة n يكفي لضمان أن احتمال حدوث | Sn-μ |> = k ضئيل كما هو مطلوب ، مما يسمح لنا بتقريب إلى المتوسط.

على وجه التحديد ، دع X1 و X2 و ... Xn عبارة عن عينة من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات الحجم n ودعونا نفترض أن E (Xi) = μ والتباين σ². ثم ، بسبب عدم المساواة في Chebyshov ، يتعين علينا:

مثال

افترض أن X1 ، X2 ، ... Xn هي عينة من المتغيرات العشوائية المستقلة مع توزيع Bernoulli ، بحيث تأخذ القيمة 1 بالاحتمال p = 0.5.

ما ينبغي أن يكون حجم العينة لتكون قادرة على التأكد من أن احتمال أن الفرق بين الحساب يعني Sn والقيمة المتوقعة (تتجاوز أكثر من 0.1) أقل من أو يساوي 0. 01?

حل

لدينا هذا E (X) = μ = p = 0.5 و Var (X) = σ²= p (1-p) = 0.25. لعدم المساواة في Chebyshov ، لأي k> 0 علينا:

الآن ، بأخذ k = 0.1 و 0.01 = 0.01 ، يتعين علينا:

وبهذه الطريقة ، يستنتج أن حجم عينة لا يقل عن 2500 مطلوب لضمان أن يكون احتمال الحدث | Sn - 0.5 |> = 0.1 أقل من 0.01.

عدم المساواة نوع Chebyshov

هناك العديد من أوجه عدم المساواة المتعلقة بعدم المساواة في Chebyshov. واحدة من أشهرها هو عدم المساواة في ماركوف:

في هذا التعبير ، X متغير عشوائي غير سالب مع k ، r> 0.

يمكن أن يتخذ عدم المساواة ماركوف أشكالًا مختلفة. على سبيل المثال ، اجعل Y متغيرًا عشوائيًا غير سالب (لذلك P (Y> = 0) = 1) وافترض أن E (Y) = μ موجود. لنفترض أيضًا أن (E (Y))^ص= μ_ص موجود لبعض الأعداد الصحيحة r> 1. ثم:

عدم المساواة الآخر هو Gauss ، الذي يخبرنا أنه عند إعطاء متغير عشوائي أحادي الوسائط X مع الوضع عند الصفر ، ثم من أجل k> 0,

مراجع

1. كاي لاي تشونج نظرية القدرة الأولية مع العمليات العشوائية. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. روزن الرياضيات المنفصلة وتطبيقاتها. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. بول ل. ماير. الاحتمالات والتطبيقات الإحصائية. شركة المكسيكي الحمراء.
4. سيمور ليبشوتز دكتوراه 2000 حل مشاكل الرياضيات المنفصلة. ماكجرو هيل.
5. سيمور ليبشوتز دكتوراه نظرية ومشاكل الاحتمالات. ماكجرو هيل.