صيغ نظرية إقليدس ، مظاهرة ، تطبيق وتمارين

ال نظرية إقليدس يوضح خصائص المثلث الأيمن عن طريق رسم خط يقسمه إلى مثلثين صحيحين جديدين يشبهان بعضهما البعض ، ويشبهان في المقابل المثلث الأصلي ؛ ثم ، هناك علاقة التناسب.

كان إقليدس واحداً من أعظم علماء الرياضيات والجيولوجيا في العصر القديم الذين قاموا بعدة مظاهرات نظريات مهمة. واحدة من أهمها هي التي تحمل اسمه ، والذي كان له تطبيق واسع.

لقد كان هذا هو الحال لأنه ، من خلال هذه النظرية ، يشرح بطريقة بسيطة العلاقات الهندسية الموجودة في المثلث الأيمن ، حيث ترتبط ساقي هذا بإسقاطاتهم في الوتر..

مؤشر

• 1 الصيغ والمظاهرة
  • 1.1 نظرية الطول
  • 1.2 نظرية الساقين
• 2 العلاقة بين نظريات إقليدس
• 3 تمارين حلها
  • 3.1 مثال 1
  • 3.2 مثال 2
• 4 المراجع

الصيغ والمظاهرة

تقترح نظرية إقليدس أنه في كل مثلث يمين ، عندما يتم رسم خط - والذي يمثل الارتفاع المطابق لرأس الزاوية اليمنى فيما يتعلق بالتنويم المغنطيسي - يتشكل مثلثان الأيمن من الأصل.

ستكون هذه المثلثات متشابهة مع بعضها وستكون أيضًا مماثلة للمثلث الأصلي ، مما يعني أن جوانبها المتماثلة متناسبة مع بعضها البعض:

زوايا المثلثات الثلاثة متطابقة ؛ وهذا يعني ، عندما يتم تدويرها إلى 180 درجة على قمة الرأس ، تتزامن زاوية من جهة أخرى. هذا يعني أن الجميع سيكون على قدم المساواة.

وبهذه الطريقة يمكنك أيضًا التحقق من التشابه الموجود بين المثلثات الثلاثة ، من خلال المساواة في زواياها. من تشابه المثلثات ، يحدد إقليدس نسب هذه من نظريتين:

- نظرية الارتفاع.

- نظرية الساقين.

هذه النظرية لديها تطبيق واسع. في العصور القديمة كان يستخدم لحساب المرتفعات أو المسافات ، وهو ما يمثل تقدما كبيرا لعلم المثلثات.

يتم تطبيقه حاليًا في العديد من المجالات التي تستند إلى الرياضيات ، مثل الهندسة والفيزياء والكيمياء وعلم الفلك ، من بين العديد من المجالات الأخرى.

نظرية الارتفاع

تنص هذه النظرية على أنه في أي مثلث يمين ، يكون الارتفاع المرسوم من الزاوية اليمنى بالنسبة للوتر أقل من المتوسط ​​النسبي الهندسي (مربع الطول) بين توقعات الساقين التي تحدد نقص الوتر..

وهذا يعني أن مربع الطول سيكون مساوياً لضرب الساقين المسقطة التي تشكل تحت الوتر:

ح_ج² = م _* ن

عرض

بالنظر إلى مثلث ABC ، ​​وهو مستطيل في قمة C ، عند رسم الارتفاع ، يتم إنشاء مثلثين صحيحين مماثلين ، وهما ADC و BCD ؛ لذلك ، تتوافق جوانبها المقابلة:

في مثل هذه الطريقة التي الارتفاع ح_ج الذي يتوافق مع القرص المضغوط قطعة ، يتوافق مع الوتر AB = ج ، لذلك يتعين علينا:

وهذا بدوره يتوافق مع:

تطهير الوتر (ح_ج) ، لمضاعفة عضوين من المساواة ، عليك:

ح_{ج *} ح_{ج =} م _* ن

ح_ج² = م _* ن

وبالتالي ، يتم إعطاء قيمة الوتر من خلال:

نظرية الساقين

تنص هذه النظرية على أنه في أي مثلث قائم ، سيكون قياس كل ساق هو الوسط النسبي الهندسي (مربع كل ساق) بين قياس الضيق (كامل) وإسقاط كل منهما:

ب² = ج _* م

إلى² = ج_* ن

عرض

في حالة وجود مثلث ABC ، ​​وهو مستطيل في قمة C ، بحيث يكون انخفاض ضغط الدم لديك c ، عند تحديد الارتفاع (h) يتم تحديد توقعات الساقين a و b ، وهما الجزءان m و n على التوالي. تحت الوتر.

وبالتالي ، لدينا أن الارتفاع المرسوم على المثلث الأيمن ABC يولد مثلثين يمينين متماثلين ، هما ADC و BCD ، بحيث تكون الأطراف المقابلة متناسبة ، مثل هذا:

DB = n ، وهو إسقاط الضلع CB على أسفل الرحم.

م = م ، وهو إسقاط القسطرة AC على الوتر.

ثم ، يتم تحديد hypotenuse c بواسطة مجموع أرجل إسقاطاته:

ج = م + ن

نظرًا للتشابه بين المثلثات ADC و BCD ، يتعين علينا:

ما ورد أعلاه هو نفسه:

عن طريق مسح الساق "a" لمضاعفة عضوي المساواة ، يجب على المرء أن:

إلى _* أ = ج _* ن

إلى² = ج _* ن

وبالتالي ، يتم إعطاء قيمة الساق "a" بواسطة:

وبالمثل ، من خلال تشابه المثلثات ACB و ADC ، يتعين علينا:

ما ورد أعلاه يساوي:

عن طريق مسح الساق "ب" لمضاعفة عضوي المساواة ، يجب على المرء أن:

ب _* ب = ج _* م

ب² = ج _* م

وبالتالي ، يتم إعطاء قيمة الساق "ب" بواسطة:

العلاقة بين نظريات إقليدس

ترتبط النظريات بالإشارة إلى الطول والساقين ببعضهما البعض لأن مقياس كليهما مصنوع فيما يتعلق بوتر أسفل المثلث الأيمن.

من خلال علاقة نظريات إقليدس ، يمكن أيضًا العثور على قيمة الارتفاع ؛ هذا ممكن عن طريق مسح قيم m و n من نظرية الساق ويتم استبدالها في نظرية الارتفاع. وبهذه الطريقة ، يكون الارتفاع مساوياً لتكاثر الساقين ، مقسومًا على الوتر السفلي:

ب² = ج _* م

م = ب² ÷ ج

إلى² = ج _* ن

ن = أ² ÷ ج

في نظرية الارتفاع ، يتم استبدال m و n:

ح_ج² = م _* ن

ح_ج² = (ب)² ÷ ج) _* (أ² ÷ ج)

ح_ج = (ب)²_* إلى²) ÷ ج

تمارين حلها

مثال 1

بالنظر إلى المثلث ABC ، ​​المستطيل في A ، حدد مقياس AC و AD ، إذا كان AB = 30 سم و BD = 18 سم

حل

في هذه الحالة ، لدينا قياسات إحدى الأرجل المسقطة (BD) وأحد أرجل المثلث الأصلي (AB). وبهذه الطريقة يمكنك تطبيق نظرية الساق للعثور على قيمة الضلع BC.

AB² = دينار بحريني _* BC

(30)² = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

قبل الميلاد = 900 ÷ 18

قبل الميلاد = 50 سم

يمكن العثور على قيمة القسطرة CD مع العلم أن BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 سم

من الممكن الآن تحديد قيمة القسطرة AC ، وتطبيق نظرية الساق مرة أخرى:

AC² = CD _* BD

AC² = 32 _* 50

AC² = 160

AC = 001600 = 40 سم

لتحديد قيمة الارتفاع (AD) ، يتم تطبيق نظرية الارتفاع ، نظرًا لأن قيم الأسطوانات المسقطة CD و BD معروفة:

AD² = 32 _* 18

AD² = 576

م = √576

م = 24 سم

مثال 2

حدد قيمة الارتفاع (h) للمثلث MNL ، المستطيل بالقيمة N ، مع العلم بقياسات الأجزاء:

NL = 10 سم

MN = 5 سم

مساء = 2 سم

حل

لديك قياس إحدى الأرجل المسقطة على الوتر (PM) ، بالإضافة إلى قياسات أرجل المثلث الأصلي. بهذه الطريقة ، يمكن تطبيق نظرية الساق للعثور على قيمة الساق الأخرى المسقطة (LN):

NL² = مساء _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

رر = 100 ÷ 5 = 20

كما نعلم بالفعل قيمة الساقين والوتر ، من خلال العلاقة بين نظري الارتفاع والساقين ، يمكن تحديد قيمة الارتفاع:

NL = 10

مليون = 5

LM = 20

ح = (ب)²_* إلى²) ÷ ج.

ع = (10²_* 5²)  ÷ (20)

ع = (100 _* 25) ÷ (20)

ع = 2500 ÷ 20

ع = 125 سم.

مراجع

1. براون ، E. (2011). الفوضى ، فركتلات وأشياء غريبة. صندوق الثقافة الاقتصادية.
2. Cabrera، V. M. (1974). الرياضيات الحديثة ، المجلد 3.
3. دانييل هيرنانديز ، دي. بي (2014). 3 سنوات الرياضيات كراكاس: سانتيانا.
4. موسوعة بريتانيكا ، أنا. (1995). الموسوعة الإسبانية: Macropedia. موسوعة بريتانيكا للنشر.
5. اقليدس ، ر. ب. (1886). عناصر إقليدس للهندسة.
6. Guardeño، A. J. (2000). ميراث الرياضيات: من إقليدس إلى نيوتن ، العباقرة من خلال كتبه. جامعة إشبيلية.