نظرية موivر حول ما يتكون ، التدريبات والتمارين التي تم حلها

ال نظرية موivر يطبق العمليات الأساسية للجبر ، مثل القوى واستخراج الجذور بأعداد معقدة. تم توضيح النظرية من قبل عالم الرياضيات الفرنسي المشهور أبراهام دي موفري (1730) ، الذي ربط الأعداد المركبة مع علم المثلثات.

أبراهام Moivre جعل هذا الارتباط من خلال تعبيرات الثدي وجيب التمام. قام هذا العالم الرياضي بإنشاء نوع من الصيغة التي من خلالها يمكن رفع عدد معقد z إلى القدرة n ، وهو عدد صحيح موجب أكبر من أو يساوي 1.

مؤشر

• 1 ما هي نظرية موivر؟?
• 2 مظاهرة
  • 2.1 قاعدة الاستقرائي
  • 2.2 فرضية الاستقرائي
  • 2.3 التحقق
  • 2.4 عدد صحيح سالب
• 3 تمارين حلها
  • 3.1 حساب القوى الإيجابية
  • 3.2 حساب القوى السلبية
• 4 المراجع

ما هي نظرية Moivre؟?

تنص نظرية موفير على ما يلي:

إذا كان لديك رقم مركب في النموذج القطبي z = r_ɵ, حيث r هي الوحدة النمطية للرقم المركب z ، وتسمى الزاوية itude السعة أو الوسيطة لأي رقم مركب مع 0 ≤ Ɵ ≤ 2π ، لحساب قوتها التاسعة ، فلن يكون من الضروري ضربها بمفردها n -رات ؛ أي أنه ليس من الضروري عمل المنتج التالي:

Z^ن = ض _* ض _* ض_{* ... *} ض = ص_{Ɵ *} ص_{Ɵ *} ص_{Ɵ * ... *} ص_ɵ   ن مرات.

على العكس من ذلك ، تقول النظرية أنه عند كتابة z في شكله المثلثي ، لحساب القوة التاسعة ، فإننا نواصل ما يلي:

إذا كانت z = r (cos Ɵ + i _* الخطيئة Ɵ) ثم ض^ن = ص^ن (cos n * Ɵ + i _* الخطيئة n * Ɵ).

على سبيل المثال ، إذا كانت n = 2 ، ثم z² = ص²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. إذا كان لديك هذا ن = 3 ، ثم ض³ = ض² _* ض. بالإضافة إلى ذلك:

ض³ = ص²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

بهذه الطريقة ، يمكن الحصول على النسب المثلثية للجيب وجيب التمام لمضاعفات الزاوية ، طالما أن النسب المثلثية للزاوية معروفة..

بنفس الطريقة ، يمكن استخدامه للعثور على تعبيرات أكثر دقة وأقل تشويشًا للجذر التاسع للرقم المركب z ، بحيث z^ن = 1.

لإظهار نظرية Moivre ، يتم استخدام مبدأ الاستقراء الرياضي: إذا كان عدد صحيح "a" له خاصية "P" ، وإذا كان لأي عدد صحيح "n" أكبر من "a" له خاصية "P" ، يرضي أن n + 1 له أيضًا خاصية "P" ، ثم جميع الأعداد الصحيحة أكبر من أو تساوي "a" لها خاصية "P".

عرض

بهذه الطريقة ، يتم إثبات النظرية من خلال الخطوات التالية:

قاعدة الاستقرائي

تحقق أولاً من n = 1.

مثل ض¹ = (r (cos Ɵ + i _* سين)))¹ = ص¹ (cos Ɵ + i _* سين Ɵ)¹ = ص¹ [كوس (1_* Ɵ) + أنا _* سين (1_* Ɵ)] ، لدينا أنه من أجل n = 1 تم الوفاء بالنظرية.

فرضية الاستقرائي

من المفترض أن الصيغة صحيحة لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة ، أي ، n = k.

ض^ك = (r (cos Ɵ + i _* سين)))^ك  = ص^ك (cos k Ɵ + i _* سين ك.

تجريب

ثبت أن ذلك صحيح بالنسبة لـ n = k + 1.

مثل ض^{ك + 1}= ض^ك _* z ، ثم z^{ك + 1} = (r (cos Ɵ + i _* سين)))^{ك + 1} = ص^ك (كوس كو + ط _* سين كو) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

ثم تتضاعف التعبيرات:

ض^{ك + 1} = ص^{ك + 1}((كوس كو)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(ط_*senƟ) + (i _* سين كو)_*(cosƟ) + (i _* سين كو)_*(ط_* senƟ)).

للحظة يتم تجاهل عامل r^{ك + 1},  والعامل المشترك أنا إزالتها:

(كوس كو)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(سين كو)_*(SenƟ).

كيف أنا² = -1 ، نستبدلها في التعبير ونحصل على:

(كوس كو)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(SenƟ).

الآن يتم ترتيب الجزء الحقيقي والخيال:

(كوس كو)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(SenƟ)].

لتبسيط التعبير ، يتم تطبيق الهويات المثلثية لمجموع الزوايا لجيب التمام والجيب ، وهي:

cos (A + B) = cos A _* كوس ب سين _* سين ب.

سين (أ + ب) = الخطيئة أ _* كوس ب - كوس أ _* كوس ب.

في هذه الحالة ، تكون المتغيرات هي الزاويتين Ɵ و kƟ. عند تطبيق الهويات المثلثية ، لدينا:

كوس كو _* cosƟ -  سين كو _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

سين كو _* كوس + كوس كوس _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

بهذه الطريقة ، يظل التعبير:

ض^{ك + 1} = ص^{ك + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* سين (kƟ + Ɵ))

ض^{ك + 1} = ص^{ك + 1}(cos [(k +1) Ɵ] + i _* سين [(ك +1))]).

وبالتالي ، يمكن إثبات أن النتيجة صحيحة بالنسبة إلى n = k + 1. بمبدأ الاستقراء الرياضي ، استنتج أن النتيجة صحيحة لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة ؛ هذا هو ، ن 1.

عدد صحيح سالب

يتم تطبيق نظرية Moivre أيضًا عند n ≤ 0. فكر في عدد صحيح سالب "n"؛ ثم يمكن كتابة "n" كـ "-m" ، أي ، n = -m ، حيث "m" عدد صحيح موجب. لذلك:

(cos Ɵ + i _* سين Ɵ)^ن = (cos Ɵ + i _* سين Ɵ) ^-م

للحصول على الأس "m" بطريقة إيجابية ، يتم كتابة التعبير بشكل عكسي:

(cos Ɵ + i _* سين Ɵ)^ن = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* سين Ɵ) ^م

(cos Ɵ + i _* سين Ɵ)^ن = 1 ÷ (cos mƟ + i _* سين ميو)

الآن ، يتم استخدام أنه إذا كان z = a + b * i هو رقم مركب ، فعندئذ ÷ z = a-b * i. لذلك:

(cos Ɵ + i _* سين Ɵ)^ن = cos (mƟ) - أنا _* سين (متر مكعب).

باستخدام cos (x) = cos (-x) و ذلك -sen (x) = sin (-x) ، يتعين علينا:

(cos Ɵ + i _* سين Ɵ)^ن = [cos (mƟ) - أنا _* سين (مƟ)]

(cos Ɵ + i _* سين Ɵ)^ن = cos (- mƟ) + i _* سين

(cos Ɵ + i _* سين Ɵ)^ن = cos (nƟ) - أنا _* سين (nƟ).

وبهذه الطريقة ، يمكننا القول أن النظرية تنطبق على جميع القيم الصحيحة لـ "n".

تمارين حلها

حساب القوى الإيجابية

واحدة من العمليات ذات الأعداد المركبة في شكلها القطبي هي الضرب بين اثنين من هذه ؛ في هذه الحالة ، يتم ضرب الوحدات النمطية وتتم إضافة الوسائط.

إذا كان لديك رقمين معقدة z₁ و ض₂ وتريد حساب (ض₁* ض₂)², ثم نمضي كما يلي:

ض₁ض₂ = [ص₁ (كوس Ɵ₁ + أنا _* سين Ɵ₁)] * [ص₂ (كوس Ɵ₂ + أنا _* سين Ɵ₂)]

يتم تطبيق خاصية التوزيع:

ض₁ض₂ = ص₁ ص₂ (كوس Ɵ_{1 *} كوس Ɵ₂ + أنا _* كوس Ɵ_{1 *} أنا _* سين Ɵ₂ + أنا _* سين Ɵ_{1 *} كوس Ɵ₂ + أنا²_* سين Ɵ_{1 *} سين Ɵ₂).

يتم تجميعها ، مع الأخذ المصطلح "i" كعامل شائع للتعبيرات:

ض₁ض₂ = ص₁ ص₂ [كوس Ɵ_{1 *} كوس Ɵ₂ + أنا (كوس Ɵ_{1 *} سين Ɵ₂ + سين Ɵ_{1 *} كوس Ɵ₂) + أنا²_* سين Ɵ_{1 *} سين Ɵ₂]

كيف أنا² = -1 ، يتم استبداله في التعبير:

ض₁ض₂ = ص₁ ص₂ [كوس Ɵ_{1 *} كوس Ɵ₂ + أنا (كوس Ɵ_{1 *} سين Ɵ₂ + سين Ɵ_{1 *} كوس Ɵ₂) - سين Ɵ_{1 *} سين Ɵ₂]

يتم إعادة تجميع المصطلحات الحقيقية مع خيال حقيقي وهمي:

ض₁ض₂ = ص₁ ص₂ [(كوس Ɵ_{1 *} كوس Ɵ₂ - سين Ɵ_{1 *} سين Ɵ₂) + i (cos Ɵ_{1 *} سين Ɵ₂ + سين Ɵ_{1 *} كوس Ɵ₂)]

أخيرًا ، يتم تطبيق الخصائص المثلثية:

ض₁ض₂ = ص₁ ص₂ [كوس (Ɵ₁ + ɵ₂) + أنا سين (Ɵ₁ + ɵ₂)].

في الختام:

(ض₁* ض₂)²= (ص₁ ص₂ [كوس (Ɵ₁ + ɵ₂) + أنا سين (Ɵ₁ + ɵ₂)])²

= ص₁²ص₂²[كوس 2 * (Ɵ₁ + ɵ₂) + أنا سين 2 * (Ɵ₁ + ɵ₂)].

التمرين 1

اكتب الرقم المركب في شكل قطبي إذا كانت z = - 2 -2i. ثم ، باستخدام نظرية Moivre ، احسب z⁴.

حل

يتم التعبير عن الرقم المركب z = -2 -2i بالشكل المستطيل z = a + bi ، حيث:

أ = -2.

ب = -2.

مع العلم أن الشكل القطبي هو z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ، تحتاج إلى تحديد قيمة الوحدة النمطية "r" وقيمة وسيطة "Ɵ". كما r = √ (a² + b²) ، يتم استبدال القيم المعطاة:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

ثم ، لتحديد قيمة "Ɵ" ، يتم تطبيق الشكل المستطيل لهذا ، والذي يتم تقديمه بواسطة الصيغة:

تان Ɵ = ب ÷ أ

تان Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

كما تان (Ɵ) = 1 وعليك أن<0, entonces se tiene que:

Ɵ = أركان (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

نظرًا لأن قيمة "r" و "Ɵ" قد تم الحصول عليها بالفعل ، يمكن التعبير عن العدد المركب z = -2 -2i بالشكل القطبي باستبدال القيم:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* سين (5Π / 4)).

الآن يتم استخدام نظرية Moivre لحساب z⁴:

ض⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* سين (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* سين (5Π)).

التمرين 2

ابحث عن منتج الأعداد المركبة من خلال التعبير عنها في شكلها القطبي:

z1 = 4 (cos 50^أو + أنا_* 50 سن^أو)

Z2 = 7 (كوس 100)^أو + أنا_* 100 سين^أو).

ثم ، قم بحساب (z1 * z2) ².

حل

أولاً يتم تكوين منتج الأرقام المعطاة:

ض₁ ض₂ = [4 (كوس 50^أو + أنا_* 50 سن^أو)] * [7 (cos 100^أو + أنا_* 100 سين^أو)]

ثم اضرب الوحدات معًا ، وأضف الوسائط:

ض₁ ض₂ = (4 _* 7)_* [كوس (50^أو + 100^أو) + أنا_* سين (50 سنة)^أو + 100^أو)]

التعبير مبسط:

ض₁ ض₂ = 28 _* (كوس 150^أو + (ط_* 150 سين^أو).

وأخيرا ، يتم تطبيق نظرية Moivre:

(z1 * z2) ² = (28 _* (كوس 150^أو + (ط_* 150 سين^أو)) ² = 784 (كوس 300)^أو + (ط_* 300 سين^أو)).

حساب القوى السلبية

لتقسيم رقمين معقدة z₁ و ض₂ في شكله القطبي ، يتم تقسيم الوحدة ويتم طرح الحجج. وبالتالي ، فإن الحاصل هو z₁ ÷ ض₂ ويتم التعبير عنها على النحو التالي:

ض₁ ÷ ض₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- ɵ₂) + أنا سين (Ɵ₁ - ɵ₂)]).

كما في الحالة السابقة ، إذا كنت تريد حساب (z1 ÷ z2) ³ أولاً يتم إنشاء القسمة ثم يتم استخدام نظرية Moivre.

التمرين 3

معين:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

احسب (z1 ÷ z2) ³.

حل

باتباع الخطوات الموضحة أعلاه ، يمكن الاستنتاج أن:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

مراجع

1. آرثر جودمان ، إل. إتش. (1996). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. بيرسون التعليم.
2. كراشر ، م. من نظرية Moivre للهويات علم حساب المثلثات. مشروع مظاهرات وولفرام.
3. Hazewinkel، M. (2001). موسوعة الرياضيات.
4. Max Peters، W. L. (1972). الجبر وعلم المثلثات.
5. بيريز ، سي دي (2010). بيرسون التعليم.
6. ستانلي ، ج. الجبر الخطي GRAW هيل.
7. , M. (1997). Precalculus. بيرسون التعليم.