أمثلة على نظرية فارينيون وتمارين حلها

ال نظرية فارينيون ينص على أنه في حالة وجود أي نقاط رباعية مرتبطة باستمرار على الجانبين ، يتم إنشاء رسم متوازي. صاغ هذه النظرية بيير فارينيون ونشرت في عام 1731 في الكتاب عناصر الرياضيات".

حدث نشر الكتاب بعد سنوات من وفاته. منذ أن كان فرينون هو الذي قدم هذه النظرية ، سميت متوازي الاضلاع باسمه. تستند النظرية إلى هندسة إقليدية وتعرض العلاقات الهندسية للرباعي.

مؤشر

• 1 ما هي نظرية فارينيون؟?
• 2 أمثلة
  • 2.1 المثال الأول
  • 2.2 المثال الثاني
• 3 تمارين حلها
  • 3.1 التمرين 1
  • 3.2 التمرين 2
  • 3.3 التمرين 3
• 4 المراجع

ما هي نظرية فارينيون؟?

ادعى Varignon أن الرقم الذي يتم تعريفه بالنقاط الوسطى للرباعي سوف يؤدي دائمًا إلى رسم متوازي ، وستكون مساحة ذلك دائمًا نصف مساحة الرباعي إذا كانت مسطحة ومحدبة. على سبيل المثال:

في الشكل ، يمكننا أن نرى رباعي الأطراف مع المنطقة X ، حيث يتم تمثيل نقاط المنتصف للجانبين E و F و G و H ، وعندما يتم ضمها ، تكون متوازي الاضلاع. ستكون مساحة رباعي الأطراف هي مجموع مناطق المثلثات التي يتم تشكيلها ، ونصفها يتوافق مع مساحة متوازي الاضلاع.

بما أن مساحة متوازي الاضلاع هي نصف مساحة المربعات الرباعية ، يمكن تحديد محيط المتوازي.

وهكذا ، فإن محيط يساوي مجموع أطوال الأقطار من رباعي الأضلاع. هذا لأن الوسيط الرباعي سيكون أقطار متوازي الاضلاع.

من ناحية أخرى ، إذا كانت أطوال الأضلاع الرباعية متماثلة تمامًا ، فإن متوازي الاضلاع سيكون ماسًا. على سبيل المثال:

من الشكل ، يمكن ملاحظة أنه من خلال الانضمام إلى نقاط المنتصف لجانبي رباعي الأطراف ، يتم الحصول على المعين. من ناحية أخرى ، إذا كانت الأقطار من رباعي الأطراف عموديًا ، فسيكون المخطط المتوازي مستطيلًا.

أيضا فإن متوازي الاضلاع يكون مربع عندما يكون للرباعي الأقطار بنفس الطول ويكون عمودياً.

لا يتم الوفاء بالنظرية فقط في المربعات الرباعية المسطحة ، بل يتم تنفيذها أيضًا في هندسة مكانية أو بأبعاد كبيرة ؛ وهذا هو ، في تلك الرباعية التي ليست محدبة. مثال على ذلك يمكن أن يكون المجسم الثماني ، حيث تكون النقاط الوسطى هي النقاط الوسطى لكل وجه وتشكل موازٍ.

بهذه الطريقة ، من خلال الانضمام إلى نقاط المنتصف للأشكال المختلفة ، يمكن الحصول على متوازي الاضلاع. هناك طريقة بسيطة للتحقق مما إذا كان هذا صحيحًا حقًا وهي أن الجانبين المعاكسين يجب أن يكونا متوازيين عند تمديدهما.

أمثلة

المثال الأول

إطالة الأطراف المعاكسة لإظهار أنها متوازي الاضلاع:

المثال الثاني

من خلال الانضمام إلى نقاط منتصف الماس نحصل على مستطيل:

يتم استخدام النظرية في توحيد النقاط الموجودة في منتصف جوانب رباعي الأطراف ، ويمكن استخدامها أيضًا لأنواع أخرى من النقاط ، كما في المثلث أو القسم الخماسي أو حتى عدد لا حصر له من الأقسام ( nth) ، من أجل تقسيم جوانب أي رباعي إلى شرائح متناسبة.

تمارين حلها

التمرين 1

لدينا في الشكل ABCD الرباعي للمنطقة Z ، حيث تكون نقاط المنتصف لجوانب هذا PQSR. تأكد من تشكيل متوازي الاضلاع من Varignon.

حل

يمكن التحقق من أنه عند الانضمام إلى نقاط PQSR ، يتم تشكيل متوازي الاضلاع من Varignon ، على وجه التحديد لأنه في البيان يتم إعطاء نقاط المنتصف للرباعي.

لإثبات ذلك ، يتم توحيد نقاط المنتصف PQSR ، لذلك يمكن أن نرى أنه يتم تشكيل رباعي الأطراف آخر. لإثبات أنه مخطط متوازي ، عليك فقط رسم خط مستقيم من النقطة C إلى النقطة A ، لذلك يمكنك أن ترى أن CA متوازٍ مع PQ و RS.

وبالمثل ، من خلال توسيع جوانب PQRS ، يمكن الإشارة إلى أن PQ و RS متوازيان ، كما هو موضح في الصورة التالية:

التمرين 2

لديها مستطيل بحيث أطوال جميع جوانبها متساوية. عند الانضمام إلى نقاط المنتصف لهذه الجوانب ، يتم تشكيل المعين ABCD ، الذي يتم تقسيمه بواسطة قطري AC = 7 سم و BD = 10 سم ، والذي يتزامن مع قياسات جوانب المستطيل. تحديد المناطق الماس والمستطيل.

حل

تذكر أن مساحة متوازي الأضلاع الناتج تمثل نصفًا رباعيًا ، يمكنك تحديد مساحة هذه النقاط مع العلم أن قياس الأقطار يتزامن مع جوانب المستطيل. لذلك عليك أن:

أب = د

CD = د

A_{المستطيل} = (أب _* CD) = (10 سم) _* 7 سم) = 70 سم²

A_{معين هندسي} = أ _{المستطيل} / 2

A_{معين هندسي} = 70 سم² / 2 = 35 سم²

التمرين 3

لدينا في الشكل رباعي الأطراف لديه اتحاد النقاط EFGH ، يتم إعطاء أطوال الشرائح. تحديد ما إذا كان اتحاد EFGH هو متوازي الاضلاع.

AB = 2.4 CG = 3.06

EB = 1.75 GD = 2.24

BF = 2.88 DH = 2.02

FC = 3.94 HA = 2.77

حل

بالنظر إلى أطوال الأجزاء ، من الممكن التحقق مما إذا كانت هناك نسبة تناسب بين القطاعات ؛ بمعنى أنه يمكننا معرفة ما إذا كانت هذه متوازية ، تتعلق بشرائح الرباعي بالطريقة التالية:

- AE / EB = 2.4 / 1.75 = 1.37

- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37

- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3.06 / 2.24 = 1.37

ثم يتم التحقق من التناسب ، منذ:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

وبالمثل ، عند التخطيط لخط من النقطة B إلى النقطة D ، يمكننا أن نرى أن EH موازية ل BD ، تمامًا مثل BD موازية ل FG. من ناحية أخرى ، EF موازية ل GH.

وبهذه الطريقة ، يمكن تحديد أن EFGH هو متوازي الاضلاع ، لأن الجانبين المتوازيين متوازيين.

مراجع

1. أندريس ، ت. (2010). الأولمبياد الرياضي Tresure. عارضة خشبية. نيويورك.
2. Barbosa، J. L. (2006). هندسة الإقليدية المسطحة. SBM. ريو دي جانيرو.
3. هوار ، إ. (1969). دراسة الهندسة. المكسيك: من أصل اسباني.
4. Ramo، G. P. (1998). حلول غير معروفة لمشاكل Fermat-Torricelli. ردمك - العمل المستقل.
5. فيرا ، واو (1943). عناصر الهندسة. بوغوتا.
6. فيليرز ، م (1996). بعض المغامرات في الهندسة الإقليدية. جنوب افريقيا.