نظرية ذات الحدين مظاهرة وأمثلة

ال نظرية ذات الحدين هي معادلة تخبرنا بكيفية تطوير تعبير عن النموذج (أ + ب)^ن لبعض العدد الطبيعي ن. الحدين ليس أكثر من مجموع عنصرين ، مثل (a + b). كما يسمح لنا أن نعرف لمدة تعطى من قبل أ^كب^{ن ك} ما هو المعامل الذي يذهب معها.

تُنسب هذه النظرية بشكل عام إلى المخترع الإنجليزي والفيزيائي والرياضيات السير إسحاق نيوتن. ومع ذلك ، فقد تم العثور على العديد من السجلات التي تشير إلى أن وجودها في الشرق الأوسط كان معروفًا بالفعل ، حوالي عام 1000.

مؤشر

• 1 أرقام اندماجي
• 2 مظاهرة
• 3 أمثلة
  • 3.1 الهوية 1
  • 3.2 الهوية 2
• 4 مظاهرة أخرى
  • 4.1 مظاهرة عن طريق الاستقراء
• 5 الفضول
• 6 المراجع

أرقام اندماجي

تخبرنا نظرية الحدين بما يلي:

في هذا التعبير ، a و b أرقام حقيقية و n رقم طبيعي.

قبل تقديم العرض التوضيحي ، دعونا نرى بعض المفاهيم الأساسية اللازمة.

يتم التعبير عن الرقم التوليفي أو توليفات n في k على النحو التالي:

يعبر هذا النموذج عن قيمة عدد المجموعات الفرعية التي تحتوي على عناصر k والتي يمكن اختيارها من مجموعة من العناصر n. يتم التعبير الجبري الخاص به بواسطة:

دعونا نرى مثالا: لنفترض أن لدينا مجموعة من سبع كرات ، اثنتان منها حمراء والباقي زرقاء.

نريد أن نعرف عدد الطرق التي يمكننا بها ترتيبها على التوالي. قد تكون إحدى الطرق هي وضع الأحمرين في الموضعين الأول والثاني ، وبقية الكرات في المواضع المتبقية.

على غرار الحالة السابقة ، يمكننا إعطاء الكرات الحمراء الموضع الأول والأخير على التوالي ، واحتلال الكرات الأخرى بالكرات الزرقاء.

الآن ، هناك طريقة فعالة لحساب عدد الطرق التي يمكننا بها ترتيب الكرات في صف واحد وهي تستخدم الأرقام التوافقية. يمكننا أن نرى كل موقف كعنصر في المجموعة التالية:

بعد ذلك ، من الضروري فقط اختيار مجموعة فرعية من عنصرين ، حيث يمثل كل عنصر من هذه العناصر الموضع الذي ستشغله الكرات الحمراء. يمكننا أن نجعل هذا الاختيار وفقا للعلاقة التي قدمها:

بهذه الطريقة ، لدينا 21 طريقة لفرز هذه الكرات.

ستكون الفكرة العامة لهذا المثال مفيدة جدًا في عرض نظرية ذات الحدين. دعونا نلقي نظرة على حالة معينة: إذا كانت n = 4 ، فلدينا (a + b)⁴, وهذا ليس أكثر من:

عندما نطور هذا المنتج ، لدينا مجموع المصطلحات التي تم الحصول عليها عن طريق ضرب عنصر من كل من العوامل الأربعة (أ + ب). وبالتالي ، سيكون لدينا المصطلحات التي ستكون من النموذج:

إذا أردنا الحصول على مدة النموذج إلى⁴, فقط اضرب بالطريقة التالية:

لاحظ أن هناك طريقة واحدة فقط للحصول على هذا العنصر ؛ ولكن ماذا يحدث إذا بحثنا الآن عن مدة النموذج إلى²ب²? نظرًا لأن "a" و "b" يمثلان أرقامًا حقيقية ، وبالتالي ، فإن القانون المبدئي صالح ، فلدينا طريقة للحصول على هذا المصطلح وهو الضرب مع الأعضاء كما هو موضح بواسطة الأسهم.

عادةً ما يكون تنفيذ كل هذه العمليات مملاً إلى حد ما ، ولكن إذا رأينا أن المصطلح "أ" هو مزيج حيث نريد أن نعرف عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار اثنين من "أ" من مجموعة من أربعة عوامل ، يمكننا استخدام فكرة المثال السابق. لذلك ، لدينا ما يلي:

لذلك ، نحن نعرف أنه في التطوير النهائي للتعبير (أ + ب)⁴ سيكون لدينا بالضبط 6a²ب². باستخدام نفس الفكرة للعناصر الأخرى ، عليك:

ثم نضيف التعبيرات التي تم الحصول عليها مسبقًا وعلينا:

إنه عرض رسمي للحالة العامة التي يكون فيها "n" أي رقم طبيعي.

عرض

لاحظ أن المصطلحات التي تبقى عند تطوير (a + b)^ن هي من النموذج ل^كب^{ن ك}, حيث k = 0،1 ، ... ، n. باستخدام فكرة المثال السابق ، لدينا طريقة لاختيار "k" المتغيرات "a" من العوامل "n":

باختيار هذه الطريقة ، نختار تلقائيًا متغيرات n-k "b". من هذا يتبع ذلك:

أمثلة

النظر (أ + ب)⁵, ماذا سيكون تطورها?

من خلال نظرية ذات الحدين علينا:

إن نظرية ذات الحدين مفيدة للغاية إذا كان لدينا تعبير نريد أن نعرف فيه معامل مصطلح معين دون الاضطرار إلى إجراء التطوير الكامل. كمثال يمكننا أن نأخذ السؤال التالي: ما هو معامل x⁷و⁹ في تطوير (س + ص)¹⁶?

من خلال نظرية ذات الحدين ، لدينا أن المعامل هو:

مثال آخر سيكون: ما هو معامل x⁵و⁸ في تطوير (3x-7y)¹³?

أولاً ، نعيد كتابة التعبير بطريقة مريحة. هذا هو:

ثم ، باستخدام نظرية ذات الحدين ، لدينا أن المعامل المطلوب هو عندما يكون لدينا k = 5

مثال آخر لاستخدامات هذه النظرية هو عرض بعض الهويات الشائعة ، مثل تلك المذكورة أدناه.

الهوية 1

إذا كان "n" رقمًا طبيعيًا ، فيتعين علينا:

في العرض التوضيحي ، نستخدم نظرية ذات الحدين ، حيث تأخذ كل من "a" و "b" قيمة 1. ثم لدينا:

بهذه الطريقة أثبتنا الهوية الأولى.

الهوية 2

إذا كان "n" هو رقم طبيعي ، إذن

من خلال نظرية ذات الحدين علينا:

مظاهرة أخرى

يمكننا أن نقدم عرضًا مختلفًا لنظرية ذات الحدين باستخدام الطريقة الاستقرائية وهوية pascal ، والتي تخبرنا أنه إذا كانت "n" و "k" عبارة عن أعداد صحيحة موجبة تلبي n n ، ثم:

مظاهرة عن طريق الاستقراء

أولاً دعنا نرى أن الأساس الاستقرائي يتحقق. إذا كانت n = 1 ، يتعين علينا:

في الواقع ، نرى أنه تم الوفاء به. الآن ، دع n = j بحيث يتحقق:

نريد أن نرى أنه بالنسبة إلى n = j + 1 ، يتم الوفاء بما يلي:

لذلك ، علينا أن:

بفرضية نعلم أن:

ثم ، باستخدام خاصية التوزيع:

بعد ذلك ، قمنا بتطوير كل من الملخصات التي لدينا:

الآن ، إذا جمعنا معًا بطريقة مريحة ، فعلينا:

باستخدام هوية باسكال ، علينا:

أخيرًا ، لاحظ أن:

لذلك ، نرى أن نظرية ذات الحدين تتحقق لكل "n" المنتمين إلى العدد الطبيعي ، وبهذا ينتهي الاختبار.

الفضول

يُطلق أيضًا على الرقم التوافقي (nk) معامل ذي الحدين لأنه بالتحديد المعامل الذي يظهر في تطور الحدين (a + b)^ن.

أعطى إسحاق نيوتن تعميمًا لهذه النظرية للحالة التي يكون فيها الأس عددًا حقيقيًا ؛ تعرف هذه النظرية بنظرية نيوتن ذات الحدين.

بالفعل في العصور القديمة كانت هذه النتيجة معروفة للحالة المعينة التي فيها n = 2. هذه الحالة مذكورة في عناصر من اقليدس.

مراجع

1. جونسون بو ريتشارد. الرياضيات المنفصلة PHH
2. Kenneth.H. روزن الرياضيات المنفصلة وتطبيقاتها. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. سيمور ليبشوتز دكتوراه ومارك ليبسون. الرياضيات المنفصلة. ماكجرو هيل.
4. رالف جريمالدي. الرياضيات المنفصلة والمتكاملة. أديسون ويسلي Iberoamericana
5. الأخضر ستار لويس ... الرياضيات المنفصلة و Combinatoria.Anthropos