خصائص وأنماط مثلث الزاوية الحادة

ال مثلثات مثلثات هم أولئك الذين زواياهم الداخلية الثلاث هي زوايا حادة. وهذا يعني أن قياس كل من هذه الزوايا أقل من 90 درجة. لعدم وجود زاوية صحيحة ، لدينا أن نظرية فيثاغورس لم تتحقق لهذا الشكل الهندسي.

لذلك ، إذا أردنا الحصول على نوع من المعلومات على أي من جوانبها أو زواياها ، فمن الضروري الاستفادة من النظريات الأخرى التي تسمح لنا بالوصول إلى البيانات المذكورة. تلك التي يمكننا استخدامها هي نظرية الجيب ونظرية جيب التمام.

مؤشر

• 1 الخصائص
  • 1.1 نظرية الجيب
  • 1.2 نظرية جيب التمام
• 2 أنواع
  • 2.1 مثلثات متساوية الأضلاع
  • 2.2 Isosceles مثلثات حادة
  • 2.3 مثلثات Scalene مثلث
• 3 حل المثلثات الحادة
  • 3.1 مثال 1
  • 3.2 مثال 2

ملامح

من بين خصائص هذا الشكل الهندسي يمكننا تسليط الضوء على الخصائص التي تعطى من خلال حقيقة بسيطة لكونها مثلث. من بين هؤلاء يجب علينا:

- المثلث هو مضلع ذو ثلاثة جوانب وثلاث زوايا.

- مجموع زواياها الداخلية الثلاث يساوي 180 درجة.

- مجموع اثنين من الجانبين هو دائما أكبر من الثلث.

كمثال ، دعنا نرى المثلث التالي ABC. بشكل عام ، نحدد جوانبها بأحرف صغيرة وزواياها بأحرف كبيرة ، بحيث يكون جانب واحد وزاوية عكسية لهما نفس الحرف.

بالنسبة للخصائص المعطاة بالفعل ، نعلم أن:

A + B + C = 180 درجة

a + b> c و a + c> b و b + c> a

السمة الرئيسية التي تميز هذا النوع من المثلث عن البقية هي ، كما ذكرنا سابقًا ، زاويته الداخلية حادة ؛ وهذا يعني أن قياس كل من زاويته أقل من 90 درجة.

المثلثات acutángulos ، جنبا إلى جنب مع المثلثات obtusángulos (تلك التي يكون فيها قياس زواياها أكبر من 90 درجة) ، هي جزء من مجموعة المثلثات المائلة. تتكون هذه المجموعة من مثلثات غير مستطيلة.

عند تشكيل مثلثات مائلة ، يتعين علينا حل المشكلات التي تنطوي على مثلثات حادة ، يجب علينا استخدام نظرية الجيب ونظرية جيب التمام.

نظرية الجيب

تنص نظرية الثدي على أن نسبة جانب واحد مع جيب الزاوية المقابلة لها تساوي ضعف نصف قطر الدائرة المكونة من الرؤوس الثلاثة للمثلث المذكور. هذا هو:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

نظرية جيب التمام

من ناحية أخرى ، تمنحنا نظرية جيب التمام هذه المساواة الثلاثة لأي مثلث ABC:

إلى²= ب² + ج² -2bc * cos (A)

ب²= أ² + ج² -2ac * cos (B)

ج²= أ² + ب² -2ab * cos (C)

تُعرف هذه النظريات أيضًا بقانون الجيب وقانون جيب التمام ، على التوالي.

من الخصائص الأخرى التي يمكن أن نقدمها للمثلثات acutángulos هي أن اثنين من هذه العناصر متساوية إذا استوفيا أحد المعايير التالية:

- إذا كان لديهم ثلاثة جوانب متساوية.

- إذا كان لديهم جانب واحد وزاويتان متساويتان.

- إذا كان لديهم وجهان وزاوية متساوية.

نوع

يمكننا تصنيفها بمثلثات بناءً على جوانبها. هذه يمكن أن تكون:

مثلثات متساوية الأضلاع

هم المثلثات التي لها جميع جوانبها المتساوية ، وبالتالي ، فإن جميع زواياها الداخلية لها نفس القيمة ، وهي A = B = C = 60 درجة.

كمثال على ذلك ، لنأخذ المثلث التالي ، الذي له قيمتان a و b و c بقيمة 4.

Isosceles مثلثات حادة

هذه المثلثات ، بالإضافة إلى وجود زوايا داخلية حادة ، تتميز بامتلاك وجهين متساويين والثالث ، والذي يعتبر عمومًا كقاعدة ، مختلف.

مثال على هذا النوع من المثلثات يمكن أن يكون واحدًا قاعدته 3 وثلاثة جوانب أخرى لها قيمة 5. مع هذه التدابير سيكون لها زوايا معاكسة للأطراف المتساوية بقيمة 72.55 درجة وزاوية عكسية ستكون القاعدة 34.9 درجة.

نطاق مثلثات acutángulos

هذه هي المثلثات التي لها جميع جوانبها المختلفة من اثنين إلى اثنين. لذلك ، جميع زواياها ، إلى جانب كونها أقل من 90 درجة ، تختلف من اثنين إلى اثنين.

المثلث DEF (الذي قياساته d = 4 و e = 5 و f = 6 وزاويته D = 41.41 ° و E = 55.79 ° و F = 82.8 °) هو مثال جيد على مثلث حاد مختلف الأضلاع.

قرار من المثلثات الحادة

كما قلنا من قبل ، لحل المشكلات التي تنطوي على مثلثات حادة ، فإن استخدام نظريات الجيب وجيب التمام أمر ضروري.

مثال 1

بالنظر إلى مثلث ABC مع الزوايا A = 30 ° و B = 70 ° والجانب a = 5 سم ، نريد أن نعرف قيمة الزاوية C والجانبين b و c.

أول ما نفعله هو استخدام حقيقة أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو 180 درجة ، من أجل الحصول على قيمة الزاوية C.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

نحن مسح C وتركنا:

C = 180 درجة - 100 درجة = 80 درجة

كما نعلم بالفعل الزوايا الثلاث وجانب واحد ، يمكننا استخدام نظرية الجيب لتحديد قيمة الجوانب المتبقية. من خلال النظرية لدينا:

a / sin (A) = b / sin (B) و / sin (A) = c / (sin (C)

نخلص b من المعادلة وعلينا:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0.940) / (0.5) ≈ 9.4

الآن نحن بحاجة فقط لحساب قيمة ج. نمضي بشكل مماثل كما في الحالة السابقة:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0.984) / (0.5) ≈ 9.84

وبالتالي نحصل على جميع بيانات المثلث. كما نرى ، يقع هذا المثلث في فئة مثلث مقياس scalene.

مثال 2

بالنظر إلى مثلث DEF ذي الجوانب d = 4cm و e = 5cm و f ​​= 6cm ، نريد أن نعرف قيمة زوايا المثلث المذكور..

في هذه الحالة سوف نستخدم قانون جيب التمام الذي يخبرنا بما يلي:

د²= ه² + F² - 2efcos (D)

من هذه المعادلة يمكننا مسح cos (D) ، والذي يعطينا نتيجة لذلك:

Cos (D) = ((4)² - (5)² -(6)²) / (- 2 * 5 * 6) = 0.75

من هنا لدينا D≈ 41.41 درجة

الآن باستخدام نظرية senom لدينا المعادلة التالية:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

تطهير الخطيئة (هـ) ، علينا:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0.66) / 4 ≈ 0.827

من هنا لدينا أن 55.79 درجة

أخيرًا ، باستخدام مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو 180 درجة ، لدينا ذلك F≈82.8 °.

1. لاندافيردي ، ف. د. (1997). الهندسة (إعادة طبع إد). تقدم.
2. Leake، D. (2006). مثلثات (مصور). هاينمان-رينتري.
3. ليل ج. خوان مانويل (2003). متري الهندسة plana.CODEPRE
4. رويز ،،. ، وبارانتس ، هـ (2006). هندستها. CR التكنولوجيا.
5. سوليفان ، م. (1997). علم المثلثات والهندسة التحليلية. بيرسون التعليم.