ميزات مثلث متساوي الأضلاع ، الخصائص ، الصيغ والمساحة



ل مثلث متساوي الأضلاع إنه مضلع ذو ثلاثة جوانب ، كلها متساوية ؛ وهذا هو ، لديهم نفس التدبير. لهذه الخاصية أعطيت اسم متساوي الأضلاع (الجوانب متساوية).

المثلثات هي مضلعات تُعتبر الأسهل في الهندسة ، لأنها تتكون من ثلاثة جوانب وثلاثة زوايا وثلاثة رؤوس. في حالة المثلث متساوي الأضلاع ، من خلال وجود جوانب متساوية ، يعني أن زواياه الثلاث ستكون كذلك.

مؤشر

  • 1 خصائص المثلثات متساوية الأضلاع
    • 1.1 جوانب متساوية
    • 1.2 المكونات
  • 2 خصائص
    • 2.1 الزوايا الداخلية
    • 2.2 الزوايا الخارجية
    • 2.3 مجموع الجانبين
    • 2.4 متطابق الجانبين
    • 2.5 الزوايا المتطابقة
    • 2.6 منصف ، الوسيط و الوسيط مصادفة
    • 2.7 المصعد والارتفاع متزامنان
    • 2.8 يتطابق مركز أوروسنتر ، بارسنتر ، إينسينتور أند سيرسنر
  • 3 كيفية حساب المحيط?
  • 4 كيفية حساب الارتفاع?
  • 5 كيفية حساب الجانبين?
  • 6 كيفية حساب المنطقة?
  • 7 تمارين
    • 7.1 التمرين الأول
    • 7.2 التمرين الثاني
    • 7.3 التمرين الثالث
  • 8 المراجع

خصائص المثلثات متساوية الأضلاع

الجانبين متساوية

المثلثات متساوية الأضلاع هي أشكال مسطحة ومغلقة ، تتكون من ثلاثة أجزاء من الخطوط المستقيمة. تصنف المثلثات حسب خصائصها ، بالنسبة إلى جوانبها وزواياها ؛ تم تصنيف متساوي الأضلاع باستخدام مقياس جوانبها كمعلمة ، لأن هذه متماثلة تمامًا ، أي أنها متطابقة.

المثلث متساوي الأضلاع هو حالة معينة من مثلث متساوي الساقين لأن اثنين من جوانبها متطابقان. هذا هو السبب في أن كل المثلثات متساوية الأضلاع متساوية الساقين ، لكن ليس كل المثلثات متساوية الأضلاع متساوية الأضلاع.

وبهذه الطريقة ، يكون للمثلثات متساوية الأضلاع نفس خصائص مثلث متساوي الساقين.

يمكن تصنيف المثلثات متساوية الأضلاع أيضًا من خلال سعة زواياها الداخلية مثلث الزاوية المتساوي الأضلاع ، الذي يحتوي على ثلاثة جوانب وثلاث زوايا داخلية بنفس المقياس. ستكون الزوايا حادة ، أي أنها ستكون أقل من 90أو.

المكونات

المثلثات بشكل عام لها العديد من الخطوط والنقاط التي تشكلها. يتم استخدامها لحساب المساحة والجوانب والزوايا والوسيط والمنصف والعمودي والارتفاع.

  • الوسيط: هو الخط الذي يترك من نقطة الوسط من جانب واحد ويصل إلى الرأس المقابل. يتفق الوسطاء الثلاثة عند نقطة تسمى النقطه الوسطى أو النقطه الوسطى.
  • المنصف: هو شعاع يقسم زاوية القمم إلى زاويتين متساويتين في الحجم ، ولهذا السبب يُعرف باسم محور التناظر. المثلث متساوي الأضلاع له ثلاثة محاور من التماثل.

في المثلث متساوي الأضلاع ، يتم رسم المنصف من قمة الزاوية إلى جانبه المقابل ، مما يؤدي إلى قطعه عند منتصفه. هذه تتفق في نقطة تسمى الحوافز.

  • الوسيط: هو مقطع عمودي على جانب المثلث الذي ينشأ في منتصف هذا. هناك ثلاثة أطباء في مثلث ويتفقون في نقطة تسمى circuncentro.
  • الارتفاع: هو الخط الذي ينتقل من قمة الرأس إلى الجانب المعاكس وأيضًا هذا الخط عمودي على هذا الجانب. جميع المثلثات لها ثلاثة ارتفاعات تتزامن عند نقطة تسمى orthocenter.

خصائص

الخاصية الرئيسية للمثلثات متساوية الأضلاع هي أنها ستكون دائمًا مثلثات متساوية الأضلاع ، حيث تتشكل متساوي الساقين من جانبين متطابقين والأطراف متساوية الأطراف بثلاثة.

وبهذه الطريقة ، ورثت المثلثات متساوية الأضلاع جميع خصائص مثلث متساوي الساقين:

الزوايا الداخلية

مجموع الزوايا الداخلية يساوي دائمًا 180أو, وبما أن جميع زواياها متطابقة ، فإن كل واحدة منها ستقاس 60أو.

الزوايا الخارجية

سيكون مجموع الزوايا الخارجية دائمًا مساويًا 360 درجةأو, لذلك كل زاوية خارجية ستقاس 120أو. وذلك لأن الزوايا الداخلية والخارجية مكملة ، أي أن إضافتها ستكون دائمًا تساوي 180أو.

مجموع الجانبين

يجب أن يكون مجموع قياسات الجانبين دائمًا أكبر من مقياس الجانب الثالث ، أي a + b> c ، حيث a و b و c هي قياسات كل جانب.

الجانبين متطابقة

المثلثات متساوية الأضلاع لها جوانبها الثلاثة بنفس القياس أو الطول ؛ وهذا هو ، فهي متطابقة. لذلك ، في البند السابق لدينا = ب = ج.

زوايا متطابقة

تُعرف المثلثات متساوية الأضلاع أيضًا بأنها مثلثات متساوية الأضلاع ، لأن زواياها الداخلية الثلاثة متطابقة مع بعضها البعض. وذلك لأن جميع جوانبها لديها نفس الإجراء.

منصف ، الوسيط و mediatrix تتزامن

يقسم المنصف جانب المثلث إلى جزأين. في المثلثات متساوية الأضلاع ، سيتم تقسيم هذا الجانب إلى جزأين متساويين تمامًا ، أي ، سيتم تقسيم المثلث إلى مثلثين صحيحين متطابقين.

وبالتالي ، فإن المنسم المرسوم من أي زاوية في مثلث متساوي الأضلاع يتزامن مع الوسيط والمنصف في الجانب الآخر من تلك الزاوية.

على سبيل المثال:

يوضح الشكل التالي المثلث ABC بنقطة الوسط D التي تقسم أحد جوانبها إلى قسمين AD و BD.

عندما تقوم بسحب خط من النقطة D إلى القمة المقابلة ، تحصل بحكم تعريفها على القرص المضغوط الوسيط ، وهو نسبة إلى الرأس C والجانب AB.

نظرًا لأن مقطع CD يقسم المثلث ABC إلى مثلثين يساوي CDB و CDA ، فهذا يعني أننا سنواجه حالة التطابق: الجانب والزاوية والجانب وبالتالي فإن القرص المضغوط سيكون أيضًا منصف BCD.

عند رسم مقطع القرص المضغوط ، قسّم زاوية الرأس إلى زاويتين متساويتين تساوي 30أو, تستمر زاوية قمة A في قياس 60أو ويشكل القرص المضغوط المستقيم زاوية 90أو فيما يتعلق بنقطة الوسط د.

يشكل القرص المضغوط للقطعة زوايا لها نفس القياس للمثلثات ADC و BDC ، أي أنها مكملة بطريقة تجعل قياس كل منها:

Med (ADB) + Med (ADC) = 180أو

2 * المتوسط ​​(ADC) = 180أو

المتوسط ​​(ADC) = 180أو ÷ 2

المتوسط ​​(ADC) = 90أو.

وهكذا ، لديك أن الجزء CD هو أيضا منصف الجانب AB.

المنصف والطول متزامنان

عندما تقوم بسحب المنصف من قمة الزاوية إلى منتصف الجانب المقابل ، فإنه يقسم المثلث متساوي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين.

في هذه الطريقة التي يتم تشكيل زاوية 90أو (مستقيم). يشير هذا إلى أن مقطع الخط هذا عمودي تمامًا على هذا الجانب ، وبالتعريف سيكون هذا الخط هو الارتفاع.

بهذه الطريقة ، يتزامن منصف أي زاوية في مثلث متساوي الأضلاع مع الارتفاع النسبي على الجانب الآخر من تلك الزاوية.

Orthocenter ، barycenter ، incenter و circumcenter تتزامن

نظرًا لأن الطول والوسيط والمنصف والمنصف يمثلان في نفس الوقت بواسطة نفس الشريحة ، في مثلث متساوي الأضلاع ، تكون نقاط التقاء هذه القطاعات - مركز تقويم العظام ، مركز الثقب ، مركز التحذير - المركز في نفس النقطة:

كيفية حساب المحيط?

يتم حساب محيط المضلع بمجموع الجوانب. نظرًا لأن المثلث متساوي الأضلاع في هذه الحالة يكون له جميع جوانبه بنفس القياس ، يتم حساب محيطه بالصيغة التالية:

ف = 3 * جانب.

كيفية حساب الارتفاع?

بما أن الارتفاع هو الخط العمودي على القاعدة ، فإنه يقسمه إلى جزأين متساويين عن طريق الامتداد إلى الرأس المقابل. وبالتالي يتم تشكيل اثنين من المثلثات الصحيحة على قدم المساواة.

يمثل الارتفاع (h) الجانب المعاكس (أ) ، نصف الجانب AC إلى الجانب المجاور (ب) والجانب BC يمثل الوتر (c).

باستخدام نظرية فيثاغورس ، يمكنك تحديد قيمة الارتفاع:

إلى2 + ب2= ج2

حيث:

إلى2 = الارتفاع (ح).

ب2 = الجانب ب / 2.

ج2 = الجانب.

استبدال هذه القيم في نظرية فيثاغورس ، ومسح الارتفاع الذي لدينا:

ح2 + ( ل / 2)2 = ل2

ح2 +  ل2/ 4 = ل2

ح2 = ل2  -  ل2/ 4

ح2 = (4*ل2 ل2) / 4

ح2 =  3*ل2/4

ح2 = √ (3*ل2/4)

إذا كانت الزاوية المتكونة من الجانبين المتطابقين معروفة ، يمكن حساب الارتفاع (يمثله الساق) من خلال تطبيق النسب المثلثية.

تسمى الأرجل معاكسة أو مجاورة اعتمادًا على الزاوية التي يتم أخذها كمرجع.

على سبيل المثال ، في الشكل السابق ، ستكون الكاتبة h معاكسة للزاوية C ، ولكن بجوار الزاوية B:

وبالتالي ، يمكن حساب الارتفاع باستخدام:

كيفية حساب الجانبين?

هناك حالات لا تكون فيها قياسات جوانب المثلث معروفة ، ولكن طولها والزوايا التي تشكلت في القمم.

لتحديد المنطقة في هذه الحالات ، من الضروري تطبيق نسب المثلثية.

عند معرفة زاوية أحد القمم ، يتم تحديد الأرجل وتستخدم نسبة المثلثية المقابلة:

وبالتالي ، ستكون الضلع AB ، عكس الزاوية C ، ولكن بجوار الزاوية A. اعتمادًا على الجانب أو الساق المقابل للارتفاع ، يتم مسح الجانب الآخر للحصول على قيمة هذا ، مع العلم أنه في مثلث متساوي الأضلاع الجانبين سوف يكون دائما بنفس الحجم.

كيفية حساب المنطقة?

يتم احتساب مساحة المثلثات دائمًا بنفس الصيغة ، مع ضرب القاعدة بالطول وقسمها على اثنين:

المساحة = (ب) * ح) ÷ 2

مع العلم أن الارتفاع يعطى بواسطة الصيغة:

تدريب

التمرين الأول

يبلغ طول جوانب مثلث متساوي الأضلاع ABC 20 سم لكل منهما. احسب ارتفاع ومساحة هذا المضلع.

حل

لتحديد مساحة هذا المثلث متساوي الأضلاع ، من الضروري حساب الارتفاع ، مع العلم أنه عند رسمه ، فإنه يقسم المثلث إلى مثلثين متساويين متساويين.

بهذه الطريقة ، يمكن استخدام نظرية فيثاغورس للعثور عليها:

إلى2 + ب2= ج2

حيث:

أ = 20/2 = 10 سم.

ب = الارتفاع.

ج = 20 سم.

يتم استبدال البيانات الموجودة في النظرية:

102 + ب2 = 202

100 سم + ب2 = 400 سم

ب2 = (400 - 100) سم

ب2 = 300 سم

ب = √ 300 سم

ب = 17.32 سم.

وهذا يعني أن ارتفاع المثلث يساوي 17.32 سم. من الممكن الآن حساب مساحة المثلث المعطى عن طريق استبدال الصيغة:

المساحة = (ب) * ح) ÷ 2

المساحة = (20 سم) * 17.32 سم) ÷ 2

المساحة = 346،40 سم2 ÷ 2

المساحة = 173.20 سم2.

هناك طريقة أكثر بساطة لحل التمرين وهي استبدال البيانات في الصيغة المباشرة للمنطقة ، حيث تكون قيمة الارتفاع ضمنيًا أيضًا:

التمرين الثاني

في الأرض التي لها شكل مثلث متساوي الأضلاع ، سيتم زرع الزهور. إذا كان محيط تلك الأرض يساوي 450 متر ، فقم بحساب عدد الأمتار المربعة التي تشغلها الأزهار.

حل

مع العلم أن محيط المثلث يتوافق مع مجموع جوانبه الثلاثة ، ولأن التضاريس لها شكل مثلث متساوي الأضلاع ، فإن الجوانب الثلاثة لهذا المثلث سيكون لها نفس القياس أو الطول:

P = جانب + جانب + جانب = 3 * ل

3 * ل = 450 م.

ل = 450 م ÷ 3

ل = 150 م.

الآن من الضروري فقط حساب ارتفاع هذا المثلث.

يقسم الارتفاع المثلث إلى مثلثين متطابقين ، حيث يمثل أحد الأرجل ارتفاعًا والنصف الآخر من القاعدة. بواسطة نظرية فيثاغورس ، يمكن تحديد الارتفاع:

إلى2 + ب2= ج2

حيث:

إلى = 150 م ÷ 2 = 75 م.

ج = 150 م.

ب = الارتفاع

يتم استبدال البيانات الموجودة في النظرية:

(75 م)2+ ب2 = (150 م)2

5625 م + ب2 = 22500 م

ب2 = 22500 م - 5625 م

ب2 = 1675 م

ب = 16.875 م

ب = 129.90 م.

وبالتالي فإن المنطقة التي ستحتل الأزهار ستكون:

المساحة = ب * ح ÷ 2

المساحة = (150 م) * 129.9 م) ÷ 2

المساحة = (19485 م)2) ÷ 2

المساحة = 9742.5 م2

التمرين الثالث

المثلث متساوي الأضلاع ABC مقسوم على مقطع خط يمتد من رأسه C إلى المنتصف D ، الموجود على الجانب الآخر (AB). هذا الجزء يقيس 62 متر. احسب مساحة ومحيط هذا المثلث متساوي الأضلاع.

حل

مع العلم أن المثلث متساوي الأضلاع مقسوم على قطعة خط تتوافق مع الارتفاع ، وبالتالي تشكل مثلثين متطابقين ، فإن هذا بدوره يقسم زاوية الرأس C إلى زاويتين بنفس المقياس ، 30أو كل واحد.

ارتفاع أشكال زاوية 90أو فيما يتعلق بالجزء AB ، وزاوية الرأس A ستقاس بعد ذلك 60أو.

ثم باستخدام كمرجع زاوية 30أو, يتم إنشاء ارتفاع CD كرجل مجاور للزاوية و BC كما تحت الوتر.

من هذه البيانات ، يمكن تحديد قيمة أحد جانبي المثلث ، باستخدام النسب المثلثية:

كما في المثلث متساوي الأضلاع ، كل الأطراف لها نفس القياس أو الطول تمامًا ، فهذا يعني أن كل جانب من جوانب المثلث متساوي الأضلاع ABC يساوي 71.6 متر. مع العلم أنه من الممكن تحديد منطقتك:

المساحة = ب * ح ÷ 2

المساحة = (71.6 م) * 62 م) ÷ 2

المساحة = 4،438.6 م2 ÷ 2

المساحة = 2219.3 م2

يتم إعطاء المحيط بواسطة مجموع جوانبه الثلاثة:

P = جانب + جانب + جانب = 3 * ل

ف = 3*ل

ف = 3 * 71.6 م

P = 214.8 م.

مراجع

  1. ألفارو رندون ، إيه آر (2004). الرسم الفني: دفتر الأنشطة.
  2. آرثر جودمان ، إل. إتش. (1996). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. بيرسون التعليم.
  3. بالدور ، أ. (1941). الجبر. هافانا: ثقافة.
  4. BARBOSA ، J. L. (2006). هندسة الإقليدية المسطحة. SBM. ريو دي جانيرو, .
  5. كوكسفورد ، A. (1971). هندسة التحول النهج. الولايات المتحدة الأمريكية: ليدلو براذرز.
  6. اقليدس ، ر. ب. (1886). عناصر إقليدس للهندسة.
  7. هيكتور تريجو ، ج. س. (2006). الهندسة وعلم المثلثات.
  8. ليون فرنانديز ، ج. س. (2007). هندسة متكاملة معهد المتروبوليتان التكنولوجي.
  9. سوليفان ، ج. (2006). الجبر وعلم المثلثات بيرسون التعليم.