ميزات مقياس المثلث ، الصيغة والمناطق ، والحساب

ل مثلث سكالين إنه مضلع ثلاثي الجوانب ، حيث يكون لكل شخص قياسات أو أطوال مختلفة ؛ لهذا السبب ، يُطلق عليه اسم scalene ، والذي يعني في اللاتينية التسلق.

المثلثات هي مضلعات تُعتبر الأسهل في الهندسة ، لأنها تتكون من ثلاثة جوانب وثلاثة زوايا وثلاثة رؤوس. في حالة مثلث scalene ، لأنه يحتوي على كل الجوانب المختلفة ، فإنه يعني أن زواياه الثلاث ستكون مختلفة أيضًا..

مؤشر

• 1 خصائص مثلثات السكالين
  • 1.1 المكونات
• 2 خصائص
  • 2.1 الزوايا الداخلية
  • 2.2 مجموع الجانبين
  • 2.3 جوانب غير متناسقة
  • 2.4 زوايا متضاربة
  • 2.5 الارتفاع ، الوسيط ، والمنصف والمنصف ليست مصادفة
  • 2.6 لم يكن من قبيل الصدفة تقويم العظام أو المخزن الحجري أو المخلب أو المخاط
  • 2.7 المرتفعات النسبية
• 3 كيفية حساب المحيط?
• 4 كيفية حساب المنطقة?
• 5 كيفية حساب الارتفاع?
• 6 كيفية حساب الجانبين?
• 7 تمارين
  • 7.1 التمرين الأول
  • 7.2 التمرين الثاني
  • 7.3 التمرين الثالث
• 8 المراجع

خصائص مثلثات scalene

مثلثات المقياس هي مضلعات بسيطة لأن أيا من جوانبها أو زواياها لها نفس المقياس ، على عكس المثلثات متساوية الأضلاع والمثلثات متساوية الأضلاع.

لأن جميع جوانبها وزواياها لها قياسات مختلفة ، فإن هذه المثلثات تعتبر مضلعات محدبة غير منتظمة.

وفقًا لسعة الزوايا الداخلية ، تصنف مثلثات scalene على النحو التالي:

• مقياس مثلث المستطيل: كل ​​جوانبها مختلفة. واحدة من زواياها مستقيم (90^أو) والآخرون حادون ومقاييس مختلفة.
• نطاق زاوية مثلث منفرج: جميع جوانبها مختلفة وواحدة من زواياها منفرجة (> 90^أو).
• مقياس زاوية مثلث الحاد: كل ​​جوانبها مختلفة. جميع زواياها حادة (< 90^أو) ، مع تدابير مختلفة.

من الخصائص الأخرى لمثلثات السكالين هي أنه بسبب عدم تناسق جوانبها وزواياها ، ليس لها محور تناظر.

المكونات

الوسيط: هو الخط الذي يترك من نقطة الوسط من جانب واحد ويصل إلى الرأس المقابل. يتفق الوسطاء الثلاثة عند نقطة تسمى النقطه الوسطى أو النقطه الوسطى.

المنصف: هو شعاع يقسم كل زاوية إلى زاويتين متساويتين في الحجم. تتوافق أجزاء من المثلث في نقطة تسمى الحوافز.

الوسيط: هو مقطع عمودي على جانب المثلث ، والذي ينشأ في منتصف هذا. هناك ثلاث طبليات في مثلث وتتفق في نقطة تسمى circumcenter.

الارتفاع: هو الخط الذي ينتقل من قمة الرأس إلى الجانب المعاكس وأيضًا هذا الخط عمودي على هذا الجانب. جميع المثلثات لها ثلاثة ارتفاعات تتزامن عند نقطة تسمى orthocenter.

خصائص

يتم تعريف أو تحديد مثلثات المقياس لأن لها العديد من الخصائص التي تمثلها ، والتي نشأت من النظريات التي اقترحها علماء الرياضيات العظماء. هم:

الزوايا الداخلية

مجموع الزوايا الداخلية يساوي دائمًا 180^أو.

مجموع الجانبين

يجب أن يكون مجموع تدابير الجانبين دائمًا أكبر من مقياس الجانب الثالث ، a + b> c.

الجانبين غير متناسقة

جميع جوانب مثلثات scalene لها مقاييس أو أطوال مختلفة ؛ وهذا هو ، فهي غير مناسبة.

زوايا غير متناسقة

نظرًا لأن جميع جوانب مثلث scalene مختلفة ، فإن زواياها ستكون مختلفة أيضًا. ومع ذلك ، فإن مجموع الزوايا الداخلية يساوي دائمًا 180 درجة ، وفي بعض الحالات ، يمكن أن تكون إحدى زواياها منفرجة أو مستقيمة ، بينما تكون زواياها حادة في حالات أخرى..

الارتفاع ، الوسيط ، والمنصف والمنصف ليست مصادفة

مثل أي مثلث ، يحتوي scalene على عدة قطاعات من الخطوط المستقيمة التي يتكون منها ، مثل: الارتفاع ، الوسيط ، المنصف والمنصف.

نظرًا لخصوصية جوانبها ، لن يتزامن أي من هذه الخطوط في هذا النوع من المثلث في واحد.

Orthocenter ، barycenter ، incenter و circumcenter ليست من قبيل الصدفة

نظرًا لأن الطول والوسيط والمنصف والمنصف يمثلان بمقاطع مختلفة من الخطوط المستقيمة ، في مثلث scalene ، يمكن العثور على نقاط الالتقاء - orthocenter و centrocenter و incenter و circumcenter - في نقاط مختلفة (لا تتزامن).

استنادًا إلى ما إذا كان المثلث حادًا أو مستطيلًا أو سكايلنًا ، فإن جهاز تقويم العظام لديه مواقع مختلفة:

أ. إذا كان المثلث حادًا ، فسيكون مركز تقويم العظام داخل المثلث.

ب. إذا كان المثلث مستطيلًا ، فسوف يتزامن مركز تقويم العظام مع قمة الجانب المستقيم.

ج. إذا كان المثلث منفرجًا ، فسيكون مركز تقويم العظام في الخارج من المثلث.

المرتفعات النسبية

المرتفعات نسبة إلى الجانبين.

في حالة مثلث scalene ، سيكون لهذه الارتفاعات قياسات مختلفة. كل مثلث لديه ثلاثة ارتفاعات نسبية ولحسابهم يتم استخدام صيغة Heron.

كيفية حساب المحيط?

يتم حساب محيط المضلع بمجموع الجوانب.

كما هو الحال في مثل هذه الحالة ، يكون لمثلث scalene جميع جوانبه بقياس مختلف ، وسيكون محيطه:

P = جانب a + جانب b + جانب c.

كيفية حساب المنطقة?

يتم احتساب مساحة المثلثات دائمًا بنفس الصيغة ، مع ضرب القاعدة بالطول وقسمها على اثنين:

المنطقة = (القاعدة _* ح) ÷ 2

في بعض الحالات ، لا يُعرف ارتفاع مثلث scalene ، ولكن هناك صيغة اقترحها عالم الرياضيات Heron ، لحساب المنطقة التي تعرف قياس الجوانب الثلاثة للمثلث..

حيث:

• أ ، ب و ج ، تمثل جوانب المثلث.
• sp ، تقابل نصف نصف المثلث ، أي نصف المحيط:

sp = (a + b + c) ÷ 2

في حالة وجود قياس لجانبين فقط من المثلث والزاوية المشكلة بينهما ، يمكن حساب المساحة عن طريق تطبيق النسب المثلثية. لذلك عليك أن:

المنطقة = (الجانب _* ح) ÷ 2

حيث يكون الارتفاع (ح) هو نتاج جانب واحد ب جيب الزاوية المقابلة. على سبيل المثال ، بالنسبة لكل جانب ، ستكون المنطقة:

• المساحة = (ب) _* ج _* سين A) ÷ 2
• المنطقة = (أ) _* ج _* سين ب) ÷ 2.
• المنطقة = (أ) _* ب _* سين C) ÷ 2

كيفية حساب الارتفاع?

نظرًا لاختلاف جميع جوانب مثلث scalene ، لا يمكن حساب الارتفاع باستخدام نظرية فيثاغورس.

من صيغة Heron ، التي تستند إلى قياسات الجوانب الثلاثة للمثلث ، يمكن حساب المنطقة.

يمكن مسح الارتفاع من الصيغة العامة للمنطقة:

يتم استبدال الجانب بقياس الجانب a أو b أو c.

هناك طريقة أخرى لحساب الارتفاع عندما تكون قيمة إحدى الزوايا معروفة وهي تطبيق النسب المثلثية ، حيث يمثل الارتفاع ساقًا للمثلث..

على سبيل المثال ، عندما تكون الزاوية المقابلة للارتفاع معروفة ، سيتم تحديدها بواسطة الجيب:

كيفية حساب الجانبين?

عندما يكون لديك قياس الجانبين والزاوية المقابلة لهما ، فمن الممكن تحديد الجانب الثالث من خلال تطبيق نظرية جيب التمام.

على سبيل المثال ، في المثلث AB ، يتم رسم الارتفاع بالنسبة للجزء AC. وبهذه الطريقة ينقسم المثلث إلى مثلثين صحيحين.

لحساب الجانب c (الجزء AB) ، يتم تطبيق نظرية فيثاغورس لكل مثلث:

• بالنسبة للمثلث الأزرق ، عليك:

ج² = ح² + م²

كما m = b - n ، يتم استبداله:

ج² = ح² + ب² (ب - ن)²

ج² = ح² + ب² - 2 مليار+ ن².

• بالنسبة للمثلث الوردي ، يجب عليك:

ح² = أ² - ن²

يتم استبداله في المعادلة السابقة:

ج² = أ² - ن² + ب² - 2 مليار+ ن²

ج² = أ² + ب² - 2BN.

مع العلم أن ن = أ _* يتم استبدال cos C في المعادلة السابقة ويتم الحصول على قيمة الجانب c:

ج² = أ² + ب² - 2B_* إلى _* كوس جيم.

بموجب قانون جيب التمام ، يمكن حساب الجوانب على النحو التالي:

• إلى² = ب² + ج² - 2B_* ج _* كوس أ.
• ب² = أ² + ج² - و2_* ج _* كوس ب.
• ج² = أ² + ب² - 2B_* إلى _* كوس جيم.

هناك حالات لا تكون فيها قياسات جوانب المثلث معروفة ، ولكن طولها والزوايا التي تشكلت في القمم. لتحديد المنطقة في هذه الحالات ، من الضروري تطبيق نسب المثلثية.

عند معرفة زاوية أحد القمم ، يتم تحديد الأرجل وتستخدم نسبة المثلثية المقابلة:

على سبيل المثال ، ستكون القسطرة AB معاكسة للزاوية C ، ولكن بجوار الزاوية A. اعتمادًا على الجانب أو القثطار المقابل للارتفاع ، يتم مسح الجانب الآخر للحصول على قيمة هذا.

تدريب

التمرين الأول

احسب مساحة وارتفاع مثلث scalene ABC ، ​​مع العلم أن جوانبه هي:

= 8 سم.

ب = 12 سم.

ج = 16 سم.

حل

كما يتم إعطاء البيانات قياسات الجوانب الثلاثة من مثلث scalene.

لأنك لا تملك قيمة الارتفاع ، يمكنك تحديد المساحة عن طريق تطبيق صيغة Heron.

أولاً يتم احتساب نصف المقياس:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 سم + 12 سم + 16 سم) ÷ 2

sp = 36 سم ÷ 2

س = 18 سم.

الآن يتم استبدال القيم في صيغة Heron:

معرفة المنطقة يمكن حساب الارتفاع النسبي على الجانب ب. من الصيغة العامة ، قم بمسحها لديك:

المنطقة = (الجانب _* ح) ÷ 2

46 ، 47 سم² = (12 سم) _* ح) ÷ 2

ع = (2 _* 46.47 سم²) ÷ 12 سم

ع = 92.94 سم² ÷ 12 سم

ع = 7.75 سم.

التمرين الثاني

بالنظر إلى مثلث scalene ABC ، ​​الذي يقيس:

• الجزء AB = 25 م.
• الجزء BC = 15 م.

عند قمة B تكون زاوية 50 °. حساب الارتفاع النسبي إلى الجانب ج ، محيط ومساحة هذا المثلث.

حل

في هذه الحالة لديك تدابير من الجانبين. لتحديد الارتفاع ، من الضروري حساب قياس الجانب الثالث.

منذ إعطاء الزاوية المقابلة للجوانب المعينة ، يمكن تطبيق قانون جيب التمام لتحديد قياس جانب AC (ب):

ب² = أ² + ج² - و2_*ج _* كوس ب

حيث:

أ = ق = 15 م.

ج = أب = 25 م.

ب = AC.

ب = 50^أو.

يتم استبدال البيانات:

ب² = (15)² + (25)² - 2_*(15)_*(25) _* كوس 50

ب² = (225) + (625) - (750) _* 0.6427

ب² = (225) + (625) - (482.025)

ب² = 367.985

ب = 367.985

ب = 19.18 م.

نظرًا لأن لديك بالفعل قيمة الجوانب الثلاثة ، احسب محيط هذا المثلث:

P = جانب a + جانب b + جانب c

P = 15 م + 25 م + 19 ، 18 م

P = 59.18 م

من الممكن الآن تحديد المنطقة من خلال تطبيق صيغة Heron ، ولكن يجب أولاً احتساب نصف المقياس:

sp = P ÷ 2

sp = 59.18 م ÷ 2

س = 29.59 م.

يتم استبدال قياسات الجانبين و semiperimeter في صيغة هيرون:

أخيرًا ، عند معرفة المنطقة ، يمكن حساب الارتفاع النسبي على الجانب c. من الصيغة العامة ، قم بمسحها ما يلي:

المنطقة = (الجانب _* ح) ÷ 2

143،63 م² = (25 م) _* ح) ÷ 2

ع = (2 _* 143،63 م²) ÷ 25 م

ع = 287.3 م² ÷ 25 م

ع = 11.5 م.

التمرين الثالث

في مثلث scalene ABC ، ​​يبلغ الجانب ب 40 سم ، والجانب 22 سم ، وفي الرأس A ، تتشكل زاوية 90^أو. احسب مساحة هذا المثلث.

حل

في هذه الحالة ، يتم إعطاء قياسات وجهي مثلث scalene ABC ، ​​وكذلك الزاوية التي تشكلت في الرأس A.

لتحديد المنطقة ، ليس من الضروري حساب قياس الجانب أ ، لأنه من خلال النسب المثلثية ، يتم استخدام الزاوية للعثور عليه.

نظرًا لأن الزاوية المقابلة للارتفاع معروفة ، فسيتم تحديد ذلك بواسطة المنتج على جانب واحد وجيب الزاوية.

استبدال في صيغة المنطقة عليك:

• المنطقة = (الجانب _* ح) ÷ 2
• ح = ج _* سين أ

المساحة = (ب) _* ج _* سين A) ÷ 2

المساحة = (40 سم) _* 22 سم _* سين 90) ÷ 2

المساحة = (40 سم) _* 22 سم _* 1) ÷ 2

المساحة = 880 سم² ÷ 2

المساحة = 440 سم².

مراجع

1. ألفارو رندون ، إيه آر (2004). الرسم الفني: دفتر الأنشطة.
2. أنجل رويز ، H. B. (2006). هندستها. CR التكنولوجيا, .
3. آنجيل ، إيه آر (2007). الجبر الابتدائي بيرسون التعليم,.
4. بالدور ، أ. (1941). الجبر. هافانا: ثقافة.
5. Barbosa، J. L. (2006). هندسة الإقليدية المسطحة. ريو دي جانيرو,.
6. Coxeter، H. (1971). أساسيات الهندسة المكسيك: ليموسا وايلي.
7. دانييل سي ألكساندر ، ج. م (2014). الهندسة الأولية لطلاب الكلية. Cengage التعلم.
8. هاربي ، د. (2000). موضوعات في نظرية المجموعة الهندسية. مطبعة جامعة شيكاغو.